Natural katetlərin halları

1 · Əsas fikir

Katetlərin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir

Əsas fikir

Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir»:

c2 = a2 + b2

Burada c — hipotenuz (düz bucağın qarşısındakı, ən böyük tərəf), a və b — katetlərdir. «Düzbucaqlı üçbucaqda tərəflərdən ikisi verildikdə üçüncü tərəfi Pifaqor teoreminə əsasən tapmaq olar.»

Hipotenuz kök altında n olarsa, c2 = n (çünki (kök altında n)2 = n). Natural katetlər üçün a2 + b2 = n bərabərliyini ödəyən iki tam kvadrat axtarırıq.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqNatural katetlərin halları

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu verilib:

c = kök altında 325

Katetlərin uzunluqları natural ədədlərdir. Katetlərin uzunluqları üçün neçə müxtəlif hal mümkündür? Katetlərin yerini dəyişmək yeni hal sayılmır.

1. Teorem: a2 + b2 = (kök altında 325)2 = 325, a və b natural ədədlərdir.
2. Yerdəyişməni saymamaq üçün a ≤ b götürürük: onda 2a2 ≤ 325, a2 ≤ 162, yəni a = 1, 2, …, 12.
3. Hər a üçün 325 − a2 tam kvadratdırmı? a = 1: 324 = 182 ✓; a = 6: 289 = 172 ✓; a = 10: 225 = 152 ✓. Qalanları — 321, 316, 309, 300, 276, 261, 244, 204, 181 — tam kvadrat deyil.
4. Üç hal: 1 və 18, 6 və 17, 10 və 15.
5. Cavab: 3

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

12 + 182 = 1 + 324 = 325 ✓; 62 + 172 = 36 + 289 = 325 ✓; 102 + 152 = 100 + 225 = 325 ✓. Hər üç halda hipotenuz kök altında 325 alınır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 0325 tam kvadrat deyil, amma hipotenuzun natural olması tələb olunmur — yalnız katetlər natural olmalıdır. a2 + b2 = 325 bərabərliyinin natural həlləri var, məsələn, 1 + 324 = 325.
• 1Yalnız bir cüt tapılıb (məsələn, 10 və 15: 100 + 225 = 325). Bütün mümkün katetləri yoxlamaq lazımdır: 1 + 324 və 36 + 289 də uyğundur.
• 2Bir hal buraxılıb. a ≤ b olarsa, 2a2 ≤ 325, yəni a = 1, 2, …, 12 hamısı yoxlanmalıdır; 1, 6 və 10 uyğundur.
• 6Hər cüt katetlərin yeri dəyişdirilərək iki dəfə sayılıb (1 və 18, 18 və 1 …). Şərtə görə bu, yeni hal deyil.