Paralel düz xətlər və köklərin sayı

1 · Əsas fikir

Toxunan düz xətt — sərhəd

Əsas fikir

Dərslik («Qrafik üsul»): x² + px + q = 0 tənliyini x² = −px − q şəklində yazırıq. y = x² parabolası ilə y = −px − q düz xəttinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri tənliyin kökləridir.

• İki ortaq nöqtətənliyin iki müxtəlif kökü var.
• Bir ortaq nöqtə (toxunma)tənliyi ödəyən ədəd yeganədir.
• Ortaq nöqtə yoxdurtənliyin həqiqi kökü yoxdur.

y = kx + b düz xətlərində k eyni olanda onlar paraleldir; b düz xəttin y oxunu kəsdiyi nöqtədir. b artdıqca düz xətt yuxarı, azaldıqca aşağı sürüşür.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqParalel düz xətlər və köklərin sayı

Şəkildə y = x² parabolası və ona (−2; 4) nöqtəsində toxunan y = −4x − 4 düz xətti verilmişdir. b-nin hansı qiymətlərində tənliyin iki müxtəlif həqiqi kökü var?

x² + 4x − b = 0

1. Tənliyi x² = −4x + b şəklində yazırıq. Köklər y = x² ilə y = −4x + b düz xəttinin ortaq nöqtələrinin absisləridir.
2. b-nin bütün qiymətlərində bu düz xətlərin bucaq əmsalı −4-dür: hamısı şəkildəki toxunana paraleldir, b isə onların y oxunu kəsdiyi nöqtədir.
3. b = −4 olduqda düz xətt şəkildəki toxunandır: bir ortaq nöqtə, yeganə kök (x = −2).
4. b > −4 olduqda düz xətt toxunandan yuxarıdadır və parabolanı iki nöqtədə kəsir — iki müxtəlif kök. b < −4 olduqda aşağıdadır, ortaq nöqtə yoxdur.
5. Cavab: b > −4

y = −4x + b paralel düz xətləri

Bütün y = −4x + b düz xətləri paraleldir. b = −4: toxunur (bir kök). b = 0 kimi daha böyük b: iki kəsişmə (iki kök). b = −8 kimi daha kiçik b: ortaq nöqtə yoxdur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Nümunələr: b = 0 ⇒ x² + 4x = x(x + 4) = 0, x = 0 və x = −4 — iki kök ✓. b = −5 ⇒ x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 > 0 — kök yoxdur ✓. Ümumi yoxlama (tam kvadrat ayırma): x² + 4x − b = (x + 2)² − (b + 4); (x + 2)² = b + 4 bərabərliyinin iki həlli yalnız b + 4 > 0 olduqda var.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• b < −4b kiçildikcə y = −4x + b düz xətti toxunandan aşağı sürüşür və parabola ilə ortaq nöqtəsi qalmır. Məsələn, b = −5: x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 > 0 — kök yoxdur.
• b = −4b = −4 olduqda düz xətt şəkildəki toxunandır: bir ortaq nöqtə, yeganə kök x = −2.
• b > 4Sərhəd düz xəttin sərbəst həddi −4-dür, 4 yox. Məsələn, b = 0 da iki kök verir: x² + 4x = 0, x = 0 və x = −4.
• b > 0Düz xəttin y oxunu müsbət hissədə kəsməsi lazım deyil. b = −3 üçün də iki kök var: x² + 4x + 3 = 0, x = −1 və x = −3.