x⁴ və x² olan tənlik

1 · Əsas fikir

x² = t əvəzləməsi

Əsas fikir

Tənlikdə eyni ifadə bir neçə dəfə təkrarlanırsa, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik — dərslikdə: «yeni dəyişən daxil etməklə tənliyi həll edin». Plan:

1. Əvəzləmə: təkrarlanan ifadə = t.
2. t-yə görə kvadrat tənliyi həll edirik: t₁, t₂.
3. «Əvəzləməni nəzərə alırıq»: hər t üçün x-i tapırıq.
4. «x-in qiymətlərini ilkin tənlikdə yerinə yazmaqla həllin doğruluğunu yoxlayırıq.»

x4 = (x²)², ona görə x² = t yazanda x4 = t² olur. Müsbət t-dən iki kök alınır: x = ±kök altında t.

x², kök altında x və |x| mənfi ola bilməz. Ona görə t = x², t = kök altında x və t = |x| əvəzləmələrində yalnız t ≥ 0 olan qiymətlər kök verir; mənfi t rədd edilir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqx⁴ və x² olan tənlik

Tənliyin köklərini tapın.

x4 − 13x2 + 36 = 0

1. Əvəzləmə: x² = t, onda x⁴ = t². Tənlik t² − 13t + 36 = 0 şəklinə düşür.
2. Hasili 36, cəmi 13 olan ədədlər 4 və 9-dur: (t − 4)(t − 9) = 0, t₁ = 4, t₂ = 9.
3. Əvəzləməni nəzərə alırıq: x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3. Hər iki t müsbətdir, ona görə dörd kök alınır.
4. Cavab: ±2; ±3 (yəni −3; −2; 2; 3)

Yeni dəyişən t-nin ədəd oxu: t = 4 və t = 9 hər ikisi t ≥ 0 zolağındadır, onlardan x = ±2 və x = ±3 alınır

Hər iki t mənfi deyil (mavi zolaq), ona görə hər birindən iki x alınır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = ±2: x⁴ = 16, x² = 4, 16 − 52 + 36 = 0 ✓. x = ±3: x⁴ = 81, x² = 9, 81 − 117 + 36 = 0 ✓. Cüt qüvvətlərdə x və −x eyni qiymət verir, ona görə mənfi köklər də uyğun gəlir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2; 3x² = 4 və x² = 9 tənliklərinin hər birinin iki kökü var. (−2)⁴ − 13 · (−2)² + 36 = 16 − 52 + 36 = 0, deməli −2 də kökdür; −3 də eyni yolla yoxlanır.
• 4; 9Bunlar t-nin qiymətləridir, x-in yox. Əvəzləməni nəzərə almaq lazımdır: x² = 4 və x² = 9. Yoxlama: x = 4 olarsa, 256 − 208 + 36 = 84 ≠ 0.
• −4; −9t² − 13t + 36 üçhədlisi (t + 4)(t + 9) kimi səhv ayrılıb və t-nin qiymətləri cavab kimi yazılıb. Doğrusu: (t − 4)(t − 9), çünki cəm +13, hasil +36-dır. Yoxlama x = −4: 256 − 208 + 36 = 84 ≠ 0.
• ±4; ±9Burada x² = t əvəzinə x = ±t yazılıb. x² = 4 olduqda x = ±2 (2² = 4); 4² = 16 ≠ 4.