Köklərin cəmi və diskriminant

1 · Əsas fikir

Hər t-ni yoxlayırıq

Əsas fikir

Tənlikdə eyni ifadə bir neçə dəfə təkrarlanırsa, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik — dərslikdə: «yeni dəyişən daxil etməklə tənliyi həll edin». Plan:

1. Əvəzləmə: təkrarlanan ifadə = t.
2. t-yə görə kvadrat tənliyi həll edirik: t₁, t₂.
3. «Əvəzləməni nəzərə alırıq»: hər t üçün x-i tapırıq.
4. «x-in qiymətlərini ilkin tənlikdə yerinə yazmaqla həllin doğruluğunu yoxlayırıq.»

x² + px = t əvəzləməsində t mənfi də ola bilər, ona görə t-ni işarəyə görə rədd etmirik. Əvəzinə hər t üçün x² + px − t = 0 tənliyinin diskriminantını yoxlayırıq: D < 0 olan tənliyin həqiqi kökü yoxdur və o, köklərin cəminə heç nə qatmır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKöklərin cəmi və diskriminant

Tənliyin köklərinin cəmini tapın.

(x2 + 4x)2 + (x2 + 4x) − 30 = 0

1. x² + 4x = t: t² + t − 30 = 0.
2. Hasili −30, cəmi −1 olan ədədlər 5 və −6-dır: (t − 5)(t + 6) = 0, t₁ = 5, t₂ = −6.
3. x² + 4x = 5 → x² + 4x − 5 = 0 → (x + 5)(x − 1) = 0 → x = 1, x = −5.
4. x² + 4x = −6 → x² + 4x + 6 = 0, D = 16 − 24 = −8 < 0: həqiqi kök yoxdur.
5. Tənliyin kökləri 1 və −5-dir, cəmi 1 + (−5) = −4.
6. Cavab: −4

y = x² + 4x parabolası: y = 5 düz xətti onu x = −5 və x = 1 nöqtələrində kəsir, y = −6 xətti isə parabolanın ən aşağı nöqtəsindən (−4) aşağıdadır və onu kəsmir

y = x² + 4x parabolası. x² + 4x ifadəsinin ən kiçik qiyməti −4-dür: y = 5 xətti parabolanı iki nöqtədə kəsir, y = −6 xətti isə ona çatmır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 1: x² + 4x = 5, 25 + 5 − 30 = 0 ✓. x = −5: 25 − 20 = 5, yenə 25 + 5 − 30 = 0 ✓. Başqa kök yoxdur: x² + 4x = (x + 2)² − 4 ≥ −4, ona görə x² + 4x heç vaxt −6 ola bilməz.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −8Hər iki tənliyə Viyet teoremi tətbiq olunub: −4 + (−4). Amma x² + 4x + 6 = 0 tənliyinin D = 16 − 24 < 0, həqiqi kökü yoxdur, ona görə cəmə heç nə qatmır.
• −5−5 köklərin hasilidir: 1 · (−5). Sual cəmi soruşur: 1 + (−5) = −4.
• −1−1 = 5 + (−6) — bu, t₁ + t₂ cəmidir. Sual x-lərin cəmini soruşur.
• 4Viyet teoremində işarə səhvi: x² + 4x − 5 = 0 üçün x₁ + x₂ = −4, 4 yox.