Kvadratların cəmini sadələşdirmək

1 · Əsas fikir

Mötərizələri açıb əsas eyniliyi tətbiq edək

Əsas fikir

«ABC düzbucaqlı üçbucağında iti bucaqların triqonometrik nisbətləri arasında aşağıdakı asılılıqlar mövcuddur.» (∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c.)

3. Əsas eynilik.

sin² ∠A + cos² ∠A = 1

İsbatı (dərslik): sin² ∠A + cos² ∠A = a² : c² + b² : c² = (a² + b²) : c², Pifaqor teoreminə görə a² + b² = c², deməli cəm 1-dir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKvadratların cəmini sadələşdirmək

A iti bucaqdır. (sin ∠A + cos ∠A)² + (sin ∠A − cos ∠A)² ifadəsini sadələşdirin.

1. (sin ∠A + cos ∠A)² = sin² ∠A + 2 sin ∠A · cos ∠A + cos² ∠A.
2. (sin ∠A − cos ∠A)² = sin² ∠A − 2 sin ∠A · cos ∠A + cos² ∠A.
3. Toplayanda 2 sin ∠A · cos ∠A hədləri qarşılıqlı silinir: 2 sin² ∠A + 2 cos² ∠A = 2(sin² ∠A + cos² ∠A).
4. Əsas eyniliyə görə mötərizədəki cəm 1-dir, ifadə 2-yə bərabərdir.
5. Cavab: 2

Həll fiquru

sin ∠A = a : c, cos ∠A = b : c; a² + b² = c² olduğundan sin² ∠A + cos² ∠A = 1.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

∠A = 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2. (1/2 + √3/2)² + (1/2 − √3/2)² = (1 + 3)/4 · 2 = 2 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 1İki mötərizənin hər birində sin² ∠A + cos² ∠A var; cəm 1 + 1 = 2-dir, 1 deyil.
• 0Mötərizələr çıxılıb kimi «ixtisar» edilib. Kvadratlar toplanır və hər biri müsbətdir.
• 4 sin ∠A · cos ∠ABu, kvadratların fərqidir: (s + c)² − (s − c)² = 4sc. Burada isə cəm verilib.
• 2 + 4 sin ∠A · cos ∠Aİkinci mötərizə (s − c)² = s² + 2sc + c² kimi açılıb; doğrusu s² − 2sc + c².