ABC üçbucağında ∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c və sin ∠A = 3/√10. (2a − b) / (a + 3b) ifadəsinin qiymətini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Nisbətdən tərəflərə
Əsas fikir
«ABC düzbucaqlı üçbucağında iti bucaqların triqonometrik nisbətləri arasında aşağıdakı asılılıqlar mövcuddur.» (∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c.)
3. Əsas eynilik.
sin² ∠A + cos² ∠A = 1
İsbatı (dərslik): sin² ∠A + cos² ∠A = a² : c² + b² : c² = (a² + b²) : c², Pifaqor teoreminə görə a² + b² = c², deməli cəm 1-dir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqSinusa görə tərəflərlə yazılmış kəsr
ABC üçbucağında ∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c və sin ∠A = 3/√10. (2a − b) / (a + 3b) ifadəsinin qiymətini tapın.
- sin ∠A = a : c = 3/√10, ona görə a = 3k, c = √10 · k götürək (k > 0).
- cos² ∠A = 1 − 9/10 = 1/10, cos ∠A = 1/√10 = b : c, deməli b = k (Pifaqorla da: b² = 10k² − 9k² = k²).
- (2a − b) / (a + 3b) = (6k − k) / (3k + 3k) = 5k : 6k = 5/6.
- Cavab: 5/6
Həll fiquru
sin ∠A = 3/√10: a = 3k, c = √10·k, onda b = k.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
a² + b² = 9k² + k² = 10k² = c² ✓; k ixtisar olunur, nəticə üçbucağın ölçüsündən asılı deyil.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- −1/10a ilə b yerini dəyişib (a = 1, b = 3 götürülüb). sin ∠A = BC : AB = a : c-dir, ona görə a = 3k.
- 6/5Kəsr çevrilib: (a + 3b) : (2a − b) hesablanıb.
- 1/3Surətdə 2 əmsalı unudulub: (3 − 1) : 6.
- 5/4Məxrəcdə 3 əmsalı unudulub: 5 : (3 + 1).