Köklərin kvadratları cəmi

Viyet teoremi ilə köklərin simmetrik ifadəsini hesablamaq, 8-ci sinif: köklərin kvadratları cəmini cəmin kvadratı düsturu vasitəsilə köklərin cəmi və hasili ilə ifadə etmək. Sual tənliyi həll etmədən ifadənin qiymətini tapmağı, həqiqi köklərin varlığını diskriminantla yoxlamağı və (x₁ + x₂)² açılışındakı ikiqat hasili unutmamağı məşq etdirir.

Tənliyin kökləri x₁ və x₂-dir. Tənliyi həll etmədən x₁² + x₂² ifadəsinin qiymətini tapın.

x^{2}-7x+3=0

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Viyet teoremi

Əsas fikir

Dərslikdəki teorem: «Çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, köklərinin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir.»

x² + px + q = 0 x₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q

Cəmin kvadratı: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂². Buradan

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKöklərin kvadratları cəmi

x² − 7x + 3 = 0: x₁² + x₂² = ?

Həqiqi köklər varmı? D = 49 − 4 · 3 = 37 > 0 — iki həqiqi kök var.
Viyet teoremi: x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 3.
Düstur: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
Hesablayırıq: 7² − 2 · 3 = 49 − 6 = 43.
Cavab: x₁² + x₂² = 43

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Köklər x = (7 ± √37)/2-dir. Kvadratları toplayanda 2 · 7 · √37 hədləri silinir: x₁² + x₂² = ((7 + √37)² + (7 − √37)²)/4 = (2 · 49 + 2 · 37)/4 = 172/4 = 43.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

49Bu, yalnız (x₁ + x₂)²-dir. Onun içində 2x₁x₂ var, onu çıxmaq lazımdır.
552x₁x₂ çıxılmayıb, əlavə olunub: 49 + 6.
37Bu, (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ ifadəsidir (diskriminanta bərabərdir), kvadratlar cəmi deyil.
46İkiqat hasil yerinə bir dəfə hasil çıxılıb: 49 − 3. Açılışda 2x₁x₂ var.