Kökləri dəyişdirilmiş tənlik qurmaq

1 · Əsas fikir

Viyet teoremi

Əsas fikir

Dərslikdəki teorem: «Çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, köklərinin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir.»

x² + px + q = 0 x₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q

Viyet teoreminin tərsi: m və n ədədlərinin cəmi −p-yə, hasili q-yə bərabərdirsə, onlar x² + px + q = 0 tənliyinin kökləridir. Başqa sözlə, istənilən m və n ədədləri bu tənliyin kökləridir:

x² − (m + n)x + m · n = 0

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKökləri dəyişdirilmiş tənlik qurmaq

x² − 3x − 2 = 0; yeni köklər x₁ + 2 və x₂ + 2

1. Köhnə tənlik: D = 9 + 8 = 17 > 0; x₁ + x₂ = 3, x₁ · x₂ = −2.
2. Yeni köklərin cəmi: (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = (x₁ + x₂) + 4 = 3 + 4 = 7.
3. Yeni köklərin hasili: (x₁ + 2)(x₂ + 2) = x₁x₂ + 2x₁ + 2x₂ + 4 = x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4.
4. Hesablayırıq: −2 + 2 · 3 + 4 = 8.
5. Tərs teoremə görə: x² − 7x + 8 = 0.
6. Cavab: x² − 7x + 8 = 0

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Köhnə köklər (3 ± √17)/2-dir; hər birinə 2 əlavə etsək (7 ± √17)/2 alınır. x² − 7x + 8 = 0 tənliyində D = 49 − 32 = 17, kökləri (7 ± √17)/2 — eynidir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• x² + 7x + 8 = 0İkinci əmsal cəmin əksi olmalıdır: −7.
• x² − 7x + 2 = 0Hasildə 2(x₁ + x₂) həddi unudulub: −2 + 4 = 2. Mötərizələri açanda dörd hasil alınır.
• x² − 5x + 8 = 0Cəmdə 2 yalnız bir dəfə əlavə olunub. Hər kökə 2 əlavə edilir, cəm 4 artır: 3 + 4 = 7.
• x² − 7x + 4 = 0Hasildə 2 · 2 = 4 həddi unudulub: −2 + 6 = 4.