Çoxluq — dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin ki, dənizkənarı bir akvariumdasınız. Zal yarıqaranlıqdır, böyük şüşə hovuzdan mavi işıq süzülür, suyun içində xırda hava qabarcıqları yuxarı qalxır. Şüşənin o tayında bir balıq sürüsü fırlanır, dibdəki daşın arxasında səkkizayaq gizlənib, mərcanın yanında balaca dəniz atı dayanıb, qumun üstündə dəniz ulduzu uzanıb. Qonşu böyük hovuzda isə delfin üzür. Bələdçi sizə dönüb soruşur: «Bu canlıların hamısını bir yerə toplayan nədir?» Cavab sadədir: hamısı dənizdə yaşayır. Bəs riyaziyyatçı belə bir dəstəyə hansı adı verər? Və daha maraqlı bir sual: axşam hovuzu təmizləmək üçün suyu boşaldanda, içində bir dənə də canlı qalmayanda, o dəstə yox olurmu? Yoxsa riyaziyyatda onun da adı var? Bu dərsdə məhz bunu öyrənəcəyik. Söhbətimiz çoxluq haqqındadır: çoxluq nədir, onun elementləri hansılardır, çoxluğu necə yazırlar, iki çoxluq nə vaxt bərabər olur və bir çoxluq nə vaxt digərinin alt çoxluğu olur. Sonda isə yenə akvariuma, boş hovuzun yanına qayıdacağıq. Əvvəlcə əsas sözlə başlayaq: çoxluq. Riyaziyyatda çoxluq dedikdə müəyyən əşyaların, simvolların, ədədlərin və ya başqa obyektlərin toplusu başa düşülür. Akvariumdakı dəniz canlıları da belə bir toplu, yəni çoxluqdur. Dərsliyimiz gündəlik həyatdan da nümunələr verir: sinifdəki şagirdlər çoxluğu, bağçadakı güllər çoxluğu, hətta qalaktikadakı ulduzlar çoxluğu. Ədədlərdən də çoxluq düzəltmək olar: məsələn, natural ədədlər çoxluğu və tam ədədlər çoxluğu. Çoxluqlara qısa ad veririk, adətən böyük hərflə: A, B, C. İki məşhur çoxluğun isə öz daimi hərfi var. Natural ədədlər çoxluğu böyük N hərfi ilə, tam ədədlər çoxluğu isə böyük Z hərfi ilə göstərilir. Xatırlayaq: natural ədədlər saymaqda işlətdiyimiz bir, iki, üç və sairə ədədləridir, tam ədədlər çoxluğu isə mənfi tam ədədləri də əhatə edir. İndi çoxluğun içinə baxaq. Çoxluğu təşkil edən hər bir obyekt bu çoxluğun elementi adlanır. Gəlin bunu kiçik bir oyunla yoxlayaq. Qarşınızda üstünə böyük A hərfi yazılmış taxta qutu var, əlinizdə isə müxtəlif heyvanların şəkli çəkilmiş kartlar. Qutuya yalnız dənizdə yaşayanların kartı düşür. Balıq kartını qutuya atırsınız, sonra səkkizayağı, sonra dəniz atını. Qutudakı hər kart A çoxluğunun bir elementidir. Belə deyirik: balıq A çoxluğuna daxildir. Bəs əlinizdə qalan pişik kartı? Pişik dənizdə yaşamır, onu qutuya atmırıq. Deməli, pişik A çoxluğuna daxil deyil. Yazıda bu iki ifadənin xüsusi işarələri var, amma dinləyəndə onları elə sözlə deyirik: daxildir və daxil deyil. Hər obyekt üçün cavab bu ikisindən biridir, üçüncü yol yoxdur. Obyekt ya çoxluğun elementidir, ya da deyil. Ədədlərdə də eynidir. Dərslikdəki nümunəyə qulaq asın: beş ədədi natural ədədlər çoxluğuna daxildir. Mənfi beş isə natural ədədlər çoxluğuna daxil deyil, çünki natural ədədlər birdən başlayır və onların arasında mənfi ədəd yoxdur. Amma mənfi beş tam ədədlər çoxluğuna daxildir. Fikir verin: eyni ədəd bir çoxluğa daxil ola, digərinə isə daxil olmaya bilər. Ona görə həmişə soruşun: hansı çoxluğa? Yaxşı, bəs çoxluğu kağıza necə yazırıq? Bunun iki yolu var. Birinci yol elementləri bir-bir sadalamaqdır. Bu zaman elementlər fiqurlu mötərizənin içində, vergüllə ayrılaraq yazılır. Məsələn, birrəqəmli tək ədədlər çoxluğunu A hərfi ilə işarə edək. Onda A çoxluğu fiqurlu mötərizənin içində bir, üç, beş, yeddi və doqquz ədədlərindən ibarətdir. Cəmi beş element, hamısını rahatca sadalamaq olur. Amma elementlər çox olanda, ya da heç bitməyəndə, sadalamaq çətinləşir. Onda ikinci yola keçirik: çoxluğu elementlərinin ümumi xassəsini təsvir etməklə veririk. Məsələn, on ədədindən böyük tək ədədlər çoxluğu deyirik. Bu bir ifadə on bir, on üç, on beş, on yeddi və sonsuza qədər davam edən bütün belə ədədləri əhatə edir. Xassə akvariumun girişindəki lövhəyə bənzəyir: «Burada yalnız dəniz canlıları yaşayır». Lövhəni oxuyan hər kəs hansı canlının bu çoxluğa daxil olduğunu, hansının daxil olmadığını dəqiq bilir. Çoxluğu yazanda iki qaydanı unutmayın. Birincisi: çoxluqda hər element yalnız bir dəfə göstərilir. Dərslikdəki nümunə: «məsələ» sözünün yazılışında istifadə olunan hərflər çoxluğu. Bu sözdə «ə» hərfi üç dəfə gəlir, amma çoxluqda onu bir dəfə yazırıq. Təkrarlar çıxarılanda dörd hərf qalır, deməli bu çoxluğun dörd elementi var. İkincisi: elementlərin sırası əhəmiyyət daşımır. Kartları qutudan çıxarıb qarışdırın, sonra yenidən qoyun: qutuda yenə həmin kartlar var. Eləcə də iki, dörd, altı, səkkiz ədədlərindən ibarət çoxluğu səkkiz, altı, dörd, iki kimi də yazmaq olar. Bu, eyni bir çoxluqdur. İndi sayaq: çoxluğun neçə elementi var? Bəzən bu sualın cavabı asandır. Dərslikdən bir nümunə: iyirmidən kiçik ikirəqəmli sadə ədədlər. Bunlar on bir, on üç, on yeddi və on doqquzdur, cəmi dörd element. Elementlərinin sayı sonlu olan belə çoxluğa sonlu çoxluq deyilir. Bəs natural ədədlər? Bir, iki, üç, dörd… Bütün gecəni saysanız da, sonuncu ədədə çatmayacaqsınız, çünki hər ədəddən sonra yenə bir ədəd gəlir. Elementlərinin sayı sonsuz olan belə çoxluğa sonsuz çoxluq deyilir. Natural ədədlər çoxluğu sonsuz çoxluqdur. İndi isə ən qəribə çoxluq. Elə çoxluq da var ki, onun heç bir elementi yoxdur. Ona boş çoxluq deyilir. Dərslikdəki nümunə: bir ilə iki arasında yerləşən natural ədədlər çoxluğu. Bir ilə iki arasında bir dənə də natural ədəd yoxdur, deməli bu çoxluq boşdur. Yazıda boş çoxluğun da öz işarəsi var, üstündən çəp xətt keçən sıfıra bənzəyir. Biz isə onu sözlə deyirik: boş çoxluq. Diqqət, burada bir tələ var. Bir qutu açırsınız, içində tək bir kart var, kartın üstündə də sıfır yazılıb. Bu qutu boşdurmu? Xeyr! İçində bir kart var. Elementi yalnız sıfır ədədi olan çoxluq boş deyil, onun bir elementi var, o da sıfırdır. Boş çoxluqda isə heç nə yoxdur, hətta sıfır da. İndi iki çoxluğu müqayisə etməyi öyrənək. Dərslik deyir: eyni elementlərdən təşkil olunmuş çoxluqlar bərabər çoxluqlar adlanır. Təsəvvür edin, siz və sinif yoldaşınız hərəniz öz qutunuza kart yığmısınız. Sizin qutunuzda delfin, balıq və dəniz ulduzu var. Yoldaşınızın qutusunda isə dəniz ulduzu, delfin və balıq. Sıra başqadır, amma kartlar tamamilə eynidir. Deməli, bu iki çoxluq bərabərdir. Sizin çoxluğunuz A, yoldaşınızınkı B olsa, bunu adi bərabərlik işarəsi ilə yazırıq və belə oxuyuruq: A bərabərdir B. Bəs elementlərin sayı eyni olanda nə olur? Üçüncü bir dostun qutusunda da üç kart var: pişik, it və quş. Say eynidir, hər qutuda üç kart. Amma kartların özü başqadır, ona görə bu çoxluqlar bərabər deyil. Bərabərlik üçün say yox, elementlərin özü vacibdir: birinci qutudakı hər kart ikincidə, ikincidəki hər kart da birincidə olmalıdır. Son anlayışımız alt çoxluqdur. Onu bir klub misalında görək. Sinfinizdəki bütün şagirdlər bir çoxluqdur, onu A ilə işarə edək. Məktəbdə «Gənc dənizçilər» klubu açılır və sinfinizdən bir neçə şagird ora yazılır. Klub otağının qapısı açılır, sinfinizdən yazılan şagirdlər içəri keçir. Bu şagirdlərin çoxluğuna B deyək. B-nin hər bir elementi, yəni klubdakı hər şagird, həm də sizin sinfinizin şagirdidir. Belə olanda deyirik: B çoxluğu A çoxluğunun alt çoxluğudur. Qaydanı ümumi şəkildə deyək: bir çoxluğun hər bir elementi həm də ikinci çoxluğun elementidirsə, birinci çoxluq ikincinin alt çoxluğudur. Dərslikdəki nümunə: müstəvi dördbucaqlılar çoxluğu bütün müstəvi fiqurlar çoxluğunun alt çoxluğudur, çünki hər dördbucaqlı həm də müstəvi fiqurdur. Dərslikdə bunu şəkillə göstərirlər: böyük qapalı xəttin içində kiçik bir qapalı xətt çəkilir, kiçik çoxluq böyüyün içində qalır. Ədədlərlə də belədir: üç, dörd, beş çoxluğu iki, üç, dörd, beş, altı, yeddi çoxluğunun alt çoxluğudur. Burada iki maraqlı qayda da var. Birincisi: boş çoxluq istənilən çoxluğun alt çoxluğu hesab olunur. Kluba heç kim yazılmasa belə, o boş siyahıda sinfə aid olmayan bir nəfər də yoxdur. İkincisi: hər bir çoxluq özünün alt çoxluğudur. Bütün sinif kluba yazılsa, klubun üzvləri çoxluğu sinfin özü ilə eyni olar və yenə də alt çoxluq sayılar. Bir qarışıqlığa da diqqət edin. Delfin kartı dəniz canlıları qutusundadır, ona görə deyirik: delfin dəniz canlıları çoxluğuna daxildir. Amma içinə təkcə delfin kartı qoyulmuş kiçik qutu artıq ayrıca bir çoxluqdur. Belə kiçik çoxluq üçün başqa söz işlədirik: o, dəniz canlıları çoxluğunun alt çoxluğudur. Element üçün daxildir, çoxluq üçün isə alt çoxluğudur deyirik. Bəs kiçik bir çoxluğun bütün alt çoxluqlarını necə tapmalı? Dərslik belə bir yol göstərir. Sıfır, bir və iki ədədlərindən ibarət çoxluğu götürək. Əvvəlcə boş çoxluğu yazırıq. Sonra birelementli alt çoxluqları: təkcə sıfır, təkcə bir, təkcə iki. Sonra ikielementliləri: sıfırla bir, sıfırla iki, birlə iki. Ən sonda üçelementli alt çoxluğu, yəni çoxluğun özünü. Ölçüyə görə qruplaşdıranda heç bir alt çoxluq yaddan çıxmır. Gəlin öyrəndiklərimizi bir yerə yığaq. Çoxluq obyektlərin toplusudur, hər obyekt ya onun elementidir, ya da deyil: daxildir, ya daxil deyil. Çoxluğu elementlərini fiqurlu mötərizədə sadalamaqla, ya da ümumi xassəsini təsvir etməklə veririk; hər element bir dəfə yazılır, sıra əhəmiyyət daşımır. Çoxluq sonlu, sonsuz və ya boş ola bilər. Eyni elementlərdən ibarət çoxluqlar bərabərdir. Bir çoxluğun bütün elementləri digərində varsa, o, digərinin alt çoxluğudur. İndi akvariuma qayıdaq. Axşamdır, hovuzun suyu boşaldılıb, içində bir dənə də canlı yoxdur. O dəstə yox oldumu? Xeyr. Hovuzdakı canlılar çoxluğu indi də var, sadəcə o, boş çoxluqdur. Riyaziyyat hətta heç nəyə də ad verir. Yadda saxlayın: çoxluq sərhədi aydın olan bir qrupdur, hər şey üçün cavab ikisindən biridir: ya daxildir, ya daxil deyil. Növbəti dərsdə çoxluqlar üzərində əməllərlə tanış olacağıq.