Eyler-Venn diaqramının köməyi ilə məsələ həlli · Dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: bazar ertəsi səhəridir, altıncı sinifdə birinci dərs başlayır. Nərmin müəllimə jurnalı masaya qoyur və gülümsəyir: «Uşaqlar, yazda sinifliklə ekskursiyaya gedəcəyik. Əvvəlcə bilmək istəyirəm, kim harada olub.» «Kim Şəkidə olub? Əlinizi qaldırın.» Sinif nümayəndəsi Orxan əlləri sayır: on iki. Müəllimə yenə soruşur: «Bəs kim Qəbələdə olub?» Bu dəfə doqquz əl qalxır. Orxan tez hesablayır: on iki üstəgəl doqquz, iyirmi bir. Sonra çaşıb qalır. Bu gün sinifdə cəmi iyirmi şagird var, əl isə iyirmi bir dəfə qalxıb. Üstəlik, arxa partada oturan Aydan deyir ki, o, bu iki şəhərin heç birində olmayıb. Daha iki nəfər də heç birində olmayıb. Qalxan əllərlə əl qaldırmayanları toplasaq, iyirmi dörd alınır. Bəs sinifdə iyirmi nəfər varsa, bu dörd artıq adam haradan gəldi? Bu sualın cavabı bugünkü dərsimizdədir: Eyler-Venn diaqramının köməyi ilə məsələ həlli. Keçən dərslərdə çoxluqları, onların kəsişməsini, birləşməsini və fərqini öyrəndik. Bu gün həmin şəkillə saymağı öyrənəcəyik. Birinci addım: şəkli çəkmək. Əvvəlcə bir az tarix. Bu şəkli ilk dəfə kim fikirləşib? Dərsliyimiz deyir ki, çoxluqları dairələrlə, onların elementlərini isə nöqtələrlə təsvir etməyi ilk dəfə Leonard Eyler təklif edib. Eyler on səkkizinci əsrdə yaşamış riyaziyyatçıdır. Sonralar ingilis alimi Con Vennin işləri sayəsində bu diaqramlardan geniş istifadə olunmağa başlanıb. Diaqramın adı da buradandır: Eyler-Venn diaqramı. Nərmin müəllimə də lövhədə belə bir şəkil çəkir. Əvvəlcə böyük bir düzbucaqlı: bu, bütün sinifdir, iyirmi şagirdin hamısı onun içindədir. Sonra düzbucaqlının içində iki dairə. Sol dairə Şəkidə olanlardır, sağ dairə Qəbələdə olanlar. Dairələr bir-birinin üstünə bir az keçir və ortada badama oxşar ortaq hissə yaranır. İndi şəkildə dörd yer var. Sol dairənin ortaqdan kənar hissəsi: yalnız Şəkidə olanlar. Ortadakı badam: həm Şəkidə, həm də Qəbələdə olanlar. Sağ dairənin kənar hissəsi: yalnız Qəbələdə olanlar. Bir də dairələrdən kənarda, amma düzbucaqlının içində qalan yer: bu iki şəhərin heç birində olmayanlar. Ən vacib fikir budur: hər şagird bu dörd yerdən yalnız birində dayanır. Heç kim iki yerdə birdən olmur, heç kim də şəkildən kənarda qalmır. İkinci addım: şəkli doldurmaq. Nərmin müəllimə daha bir sual verir: «Kim həm Şəkidə, həm də Qəbələdə olub?» Dörd əl qalxır. Müəllimə dördü ortadakı badam hissəyə yazır. Doldurmağa həmişə ortadan başlayırıq, çünki ortaq hissə hər iki dairəyə aiddir. Ortanı bilmədən kənar hissələri düzgün tapmaq olmur. İndi sol dairəyə baxaq. Şəkidə olanlar cəmi on iki nəfərdir, onların dördü artıq ortadadır. Deməli, yalnız Şəkidə olanlar on ikidən dörd çıxsın, səkkiz nəfərdir. Sağ dairədə də eyni iş görülür: Qəbələdə olanlar doqquz nəfərdir, dördü ortadadır, yalnız Qəbələdə olanlar beş nəfər qalır. Dairələrdən kənara Aydanı və o biri iki nəfəri, yəni üç şagirdi yazırıq. Şəkil hazırdır: solda səkkiz, ortada dörd, sağda beş, kənarda üç. İndi dörd hissəni bir-bir toplayaq. Səkkiz üstəgəl dörd, on iki. Üstəgəl beş, on yeddi. Üstəgəl üç, iyirmi. Düz iyirmi şagird: sinifdə nə qədər varsa, o qədər. Üçüncü addım: Orxan harada yanıldı? Ortadakı dörd nəfəri xatırlayın. Müəllimə «Kim Şəkidə olub?» deyəndə onlar əl qaldırdılar. «Kim Qəbələdə olub?» deyəndə yenə əl qaldırdılar. Deməli, on iki ilə doqquzu toplayanda Orxan bu dörd nəfəri iki dəfə saydı. Artıq adamlar elə buradan gəldi. Səhvi düzəltmək asandır: iki dəfə sayılan dördü bir dəfə çıxırıq. İyirmi birdən dörd çıxsın, on yeddi. Bu, heç olmasa bir şəhərdə olanların sayıdır. Heç birində olmayan üç nəfəri də əlavə edək: on yeddi üstəgəl üç, yenə iyirmi. Diqqət edin: iki ayrı yol eyni cavaba gətirdi. Qaydanı sözlə yadda saxlayın: iki qrupun saylarını toplayın, ortaq hissəni bir dəfə çıxın, onda heç olmasa bir qrupa daxil olanları taparsınız. İki tipik səhvdən qaçın: ortaq hissəni heç çıxmamaq və ya onu iki dəfə çıxmaq. Bir də, dairələrdən kənarda qalanları unutmayın. Dördüncü addım: sualı diqqətlə dinləmək. Bu məsələlərdə hər söz şəklin bir hissəsini göstərir. «Hər ikisi» ortadakı badamdır. «Yalnız» sözü dairənin ortaqdan kənar hissəsidir. «Heç biri» dairələrdən kənardır. «Heç olmasa biri» isə hər iki dairənin bütün sahəsidir. Keçən dərsin adları da burada işləyir. Ortadakı badam iki çoxluğun kəsişməsidir. «Yalnız Şəkidə olanlar» Şəki və Qəbələ çoxluqlarının fərqidir. Hər iki dairənin bütün sahəsi isə onların birləşməsidir. Gəlin bir neçə sual verək. Neçə nəfər Şəkidə olub, Qəbələdə olmayıb? Bu, yalnız Şəki hissəsidir: səkkiz nəfər. Neçə nəfər bu şəhərlərdən yalnız birində olub? Burada iki kənar hissəni toplayırıq: səkkiz üstəgəl beş, on üç. Ortadakı dörd nəfər bura daxil deyil, çünki onlar iki şəhərdə olublar. Bəs neçə nəfər heç olmasa bir şəhərdə olub? Dairələrin içindəki üç hissənin hamısı: on yeddi. Şəkil eynidir, ədədlər eynidir, amma sual dəyişəndə cavab da dəyişir. Ona görə cavab verməzdən əvvəl özünüzdən soruşun: sual şəklin hansı hissəsini istəyir? Beşinci addım: cavabı yoxlamaq. Dərsliyimiz belə məsələləri dörd mərhələdə həll etməyi məsləhət görür. Birincisi, məsələni anla: nə məlumdur, nəyi tapmaq lazımdır? İkincisi, plan qur: hansı çoxluqlar var və onları diaqramda necə təsvir edəcəksən? Üçüncüsü, həll et: diaqramı doldur və axtarılanı tap. Dördüncüsü, cavabın doğruluğunu yoxla. Yoxlamanın sadə bir yolu var: hər dairənin hissələrini toplayıb şərtdəki ədədlə müqayisə edin. Şəki dairəsində səkkiz və dörd var, birlikdə on iki: düzdür. Qəbələ dairəsində beş və dörd, birlikdə doqquz: bu da düzdür. Bütün hissələr birlikdə iyirmi: sinifdəki şagirdlərin sayı qədər. Orxan rahat nəfəs alır: hər şey yerindədir. Altıncı addım: üç dairə. Nərmin müəllimə son sualını verir: «Kim Lənkəranda olub?» Altı əl qalxır. Müəllimə o iki dairənin altına üçüncü dairə çəkir, elə çəkir ki, o, hər iki dairənin üstünə keçsin. İndi lap ortada kiçik bir hissə yaranır: üç dairənin üçü də oradan keçir. Onun ətrafında üç ortaq parça var, hər biri yalnız iki dairəyə aiddir. Hər dairənin bir də yalnız özünə məxsus kənar hissəsi var. Qayda dəyişmir: ortadan kənara doğru doldururuq. Məlum olur ki, üç şəhərin üçündə də olanlar iki nəfərdir: onları lap ortaya yazırıq. Lənkəranda və Şəkidə olub, Qəbələdə olmayan bir nəfər var. Lənkəranda və Qəbələdə olub, Şəkidə olmayan da bir nəfər. Bəs yalnız Lənkəranda olanlar neçədir? Lənkəran dairəsində cəmi altı nəfər var. Onlardan ikisi ortadadır, ikisi də ortaq parçalarda. Altıdan dörd çıxsın, iki nəfər qalır. Bu iki nəfər kimdir? Onlar əvvəl heç bir şəhərdə olmayanlar saydığımız üç şagirdin ikisidir. Üçüncü dairə çəkiləndə onlar kənardan Lənkəran dairəsinin içinə keçdilər. Üç dairənin heç birinə düşməyən yalnız bir nəfər qaldı: Aydan. Gəlin, qısaca təkrar edək. Düzbucaqlı hamıdır, dairələr qruplardır. Ortaq hissə hər iki qrupa aid olanlardır, dairələrdən kənar isə heç birinə aid olmayanlar. Diaqramı həmişə ortadan kənara doğru doldururuq. İki qrupun saylarını toplayanda ortaq hissə iki dəfə sayılır, ona görə onu bir dəfə çıxırıq. Sonda hər dairəni və ümumi sayı yoxlayırıq. İndi Orxanın sualına cavab verə bilərik. İyirmi nəfərlik sinifdə iyirmi bir əl ona görə qalxdı ki, həm Şəkidə, həm də Qəbələdə olan dörd nəfər əlini iki dəfə qaldırdı. Əl qaldırmayan üç nəfər isə dairələrdən kənarda dayanırdı. Hər şagirdi diaqramda öz yerinə qoysanız, heç kim iki dəfə sayılmaz, heç kim də unudulmaz. Eyler-Venn diaqramının bütün sirri elə budur.