Normal paylanma

• 6.62
• 11-ci sinif
• Statistika

Normal paylanma

Körpələrin boyu, quş yumurtalarının kütləsi, imtahan balları: qiymətlərin çoxu ortaya yaxındır, kənarda isə azdır. Ortadan bir standart meyil sağa və sola — məlumatın 68%-i, iki — 95%-i, üç — 99,7%-i.

Bu dərsdə

• normal paylanma əyrisinin xassələrini izah edəcəksən: simmetriya, orta = median = moda;
• 68–95–99,7 qaydası ilə intervala düşən faizi, sayı və ehtimalı tapacaqsan;
• ədədi orta və standart meyil dəyişəndə əyrinin necə dəyişdiyini görəcəksən.

Normal paylanma əyrisi və 68–95–99,7 qaydası

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. 68–95–99,7
4. Hesabla
5. Əyrinin forması
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sütunlardan əyriyə

Tutaq ki, doğum evində 1000 körpənin boyu ölçülüb. Boyların ədədi ortası x̄ = 50 sm, standart meyli σ = 2 sm-dir. Hər 1 sm-lik aralığa neçə körpə düşdüyünü sayıb histoqram quraq.

Xatırla: standart meyil σ qiymətlərin ortadan nə qədər səpələndiyini ölçür. Qiymətlər bir-birindən uzaq olduqca σ böyük, ortanın ətrafında sıxlaşdıqca kiçik olur (σ = √σ², σ² = Σ(x − x̄)²/n).

Hansı aralığa baxaq?

48–52 sm 46–54 sm 44–56 sm

1000 körpənin boyunun histoqramı və normal paylanma əyrisi

Başla Yenidən Yenidən

48–52 sm (x̄ − σ … x̄ + σ): 150 + 191 + 191 + 150 = 682 körpə, yəni təxminən 68%.

46–54 sm (x̄ − 2σ … x̄ + 2σ): 682 + 92 + 44 + 92 + 44 = 954 körpə, təxminən 95%.

44–56 sm (x̄ − 3σ … x̄ + 3σ): 954 + 17 + 5 + 17 + 5 = 998 körpə, təxminən 99,7%.

Hər sütun 1 sm-lik aralıqdakı körpələrin sayıdır. Saylar normal paylanma modelindən hesablanıb və yuvarlaqlaşdırılıb.

Üç şey diqqəti çəkir: sütunlar 50 sm-də ən hündürdür, sağ və sol tərəf eynidir, ortadan uzaqlaşdıqca sütunlar sürətlə alçalır. Sütunların üstündən keçən hamar zəng formalı xətt normal paylanma əyrisidir. Ölçmələr çox olanda histoqram bu əyriyə getdikcə daha çox oxşayır.

2 · Qayda

Normal paylanmanın xassələri

Yadda saxla

Tezlik qrafiki ədədi ortaya nəzərən simmetrik zəng formasında olan paylanmaya normal paylanma deyilir.

• Əyri ədədi ortaya nəzərən simmetrikdir: məlumatın yarısı x̄-dan solda, yarısı sağdadır.
• Ədədi orta = median = moda; ədədi orta əyrinin maksimumuna uyğundur.
• Əyri iki ədədlə qurulur: ədədi orta x̄ (yeri) və standart meyil σ (eni).
• Məlumatın demək olar hamısı x̄-dan üç standart meyil məsafədədir.

Normal paylanma əyrisinin hissələri

Simmetriya xətti zirvədən keçir: orta, median və moda eyni nöqtədir.

Niyə üçü bərabərdir? Moda ən çox təkrarlanan qiymətdir — əyrinin ən hündür nöqtəsi. Median məlumatı iki bərabər yarıya bölür — simmetrik əyridə bu, simmetriya xəttidir. Ədədi orta da simmetriya mərkəzindədir. Əyilmiş paylanmada bu üç ədəd ayrılır; bunu əvvəlki mövzuda gördün.

3 · 68–95–99,7

Hər zolağın payı

68–95–99,7 qaydası

Normal paylanmada məlumatın

• 68%-i ədədi ortadan bir standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − σ … x̄ + σ;
• 95%-i iki standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − 2σ … x̄ + 2σ;
• 99,7%-i üç standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − 3σ … x̄ + 3σ.

Əyri simmetrik olduğu üçün hər interval yarı-yarıya bölünür. Beləcə əyrinin altı səkkiz zolağa ayrılır:

Normal paylanma əyrisinin səkkiz zolağı

Başla Yenidən Yenidən

«+2σ» yazısı x̄ + 2σ nöqtəsini bildirir. Bütün zolaqların cəmi 100%-dir.

Zolaqları əzbərləmək lazım deyil — onları qaydadan çıxarmaq olur:

Zolaqlar qaydadan

Dərslikdəki bəzi şəkillərdə kənar zolaqlar yuvarlaqlaşdırılaraq 2% və 0,5% yazılıb. Biz 2,35% və 0,15% götürürük: onda cəmlər 95%, 99,7% və 100% ilə dəqiq uyğun gəlir.

Hər tərəfdə yarı

x̄-dan kiçik: 50%

0,15 + 2,35 + 13,5 + 34 = 50. Sağ tərəf də 50%-dir.

Bir σ-dan kənar

x̄ + σ-dan böyük: 16%

50% − 34% = 16%. Deməli, x̄ + σ-dan kiçik 84%-dir.

İki σ-dan kənar

x̄ + 2σ-dan böyük: 2,5%

2,35% + 0,15% = 2,5%; iki tərəfdə birlikdə 5%.

4 · Hesabla

Faizi necə tapırıq?

Üsul həmişə eynidir: intervalın sərhədlərini x̄ və σ ilə ifadə et, sonra həmin sərhədlər arasındakı zolaqları topla.

Nümunə 1İnterval faizi

Çörəkxanada bişən çörəklərin kütləsi normal paylanıb: x̄ = 500 q, σ = 10 q. Çörəklərin neçə faizi: a) 510 q-dan yüngüldür; b) 480 q ilə 510 q arasındadır?

1. Sərhədləri σ ilə yazırıq: 510 = 500 + 10 = x̄ + σ, 480 = 500 − 2 · 10 = x̄ − 2σ.
2. a) x̄ + σ-dan solda qalan bütün zolaqlar: 0,15 + 2,35 + 13,5 + 34 + 34 = 84. Qısa yol: 50% + 34%. a) 84%
3. b) x̄ − 2σ ilə x̄ + σ arası üç zolaqdır: 13,5 + 34 + 34 = 81,5. b) 81,5%

480 q ilə 510 q arasındakı sahə

Rənglənmiş sahə b) bəndinin cavabıdır: 13,5% + 34% + 34% = 81,5%.

Nümunə 2Say və ehtimal

Həmin gün 2000 çörək bişib. a) Təxminən neçə çörək 520 q-dan ağırdır? b) Təsadüfi götürülən çörəyin 490 q-dan yüngül olma ehtimalı nə qədərdir?

1. a) 520 = x̄ + 2σ; ondan sağda iki zolaq: 2,35% + 0,15% = 2,5%.
2. Say = faiz × ümumi say: 0,025 · 2000 = 50. a) təxminən 50 çörək
3. b) 490 = x̄ − σ; ondan solda: 0,15 + 2,35 + 13,5 = 16%. Təsadüfi seçilən çörəyin bu hissəyə düşmə ehtimalı həmin paydır. b) 0,16

5 · Əyrinin forması

x̄ yeri, σ eni dəyişir

Ədədi orta dəyişəndə əyri formasını saxlayıb sola və ya sağa sürüşür. Ədədi orta eyni qalıb standart meyil dəyişəndə əyri dartılır və ya sıxılır.

Niyə σ böyüyəndə əyri həm də alçalır? Əyri altındakı bütün sahə həmişə 100%-dir. Qiymətlər daha geniş yayılanda eyni 100% daha geniş əraziyə paylanır — ona görə zirvə enir.

Üç normal paylanma əyrisi

A: x̄ = 20, σ = 5; B: x̄ = 50, σ = 5; C: x̄ = 50, σ = 10.

A → B: x̄ böyüdü

sağa sürüşmə

σ eyni olduğu üçün forma, hündürlük və en dəyişmir.

B → C: σ böyüdü

alçaq və enli

Mərkəz yerində qalır. σ kiçik olsaydı, əyri hündür və dar olardı.

6 · Diqqət

95% iki tərəfə aiddir

Sual: x̄ = 500 q, σ = 10 q olduqda çörəklərin neçə faizi 500 q ilə 520 q arasındadır?

Səhv düşüncə

520 = x̄ + 2σ, deməli 95%

95% x̄ − 2σ ilə x̄ + 2σ arasındadır — yəni ortanın hər iki tərəfində.

Düzgün

34% + 13,5% = 47,5%

x̄-dan x̄ + 2σ-ya qədər yalnız sağ yarıdır: 95% : 2 = 47,5%.

Yoxlama vərdişi: cavabı vermədən əvvəl intervalı əyrinin üzərində təsəvvür et. İnterval x̄-dan başlayırsa, cavab 50%-dən böyük ola bilməz.

7 · Həyatda

Hansı maşın daha dəqiq qablaşdırır?

Fabrikdə çayı iki maşın qablaşdırır, qutuların üstündə «100 q» yazılıb. Hər iki maşında qutunun orta kütləsi 102 q-dır, amma A maşınında σ = 1 q, B maşınında σ = 2 q. Fərz edək ki, kütlə normal paylanır. Qutuların neçə faizi 100 q və ondan yüngüldür?

İki maşında qutu kütləsinin paylanması

Hər iki əyri eyni miqyasdadır; qırmızı sahə — 100 q və daha yüngül qutular.

100 q və daha yüngül qutular

A maşınında 100 = 102 − 2 · 1, yəni x̄ − 2σ; ondan solda 2,35% + 0,15% = 2,5%. B maşınında 100 = 102 − 2, yəni x̄ − σ; ondan solda 50% − 34% = 16%.

Orta kütlə eynidir, amma kiçik σ çəkisi əskik qutuların sayını altı dəfədən çox azaldır. Ona görə istehsalçı üçün yalnız orta deyil, standart meyil də vacibdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Normal paylanmada ədədi orta 60-dır. Median neçədir? Cavab variantları 60 30 σ bilinmədən tapılmaz Düzdür! Normal paylanmada orta = median = moda. Yox. Simmetrik əyridə median da simmetriya xəttindədir — σ lazım deyil. Həllə bax Normal paylanma əyrisi ədədi ortaya nəzərən simmetrikdir, ona görə median = moda = ədədi orta = 60.
2. Asan x̄ = 50, σ = 4. Məlumatın 95%-i hansı intervaldadır? Cavab variantları 46–54 42–58 38–62 Əla! 50 ± 2 · 4. Yox. 46–54 bir σ (68%), 38–62 üç σ (99,7%) intervalıdır; 95% üçün iki σ götür. Həllə bax 95% — x̄ − 2σ ilə x̄ + 2σ arası: 50 − 8 = 42, 50 + 8 = 58.
3. Orta x̄ = 50, σ = 4. Qiymətlərin neçə faizi 50 ilə 54 arasındadır? Cavab variantları 34% 68% 50% Düzdür: x̄-dan x̄ + σ-ya bir zolaq. Yox. 68% hər iki tərəfdir, 50% isə x̄-dan sağdakı bütün hissədir; burada yalnız bir zolaq var. Həllə bax 54 = 50 + 4 = x̄ + σ. x̄ ilə x̄ + σ arası 68% : 2 = 34%-dir.
4. Orta x̄ = 50, σ = 4. Qiymətlərin neçə faizi 58-dən böyükdür? Cavab variantları 5% 2,5% 47,5% Əla! 2,35% + 0,15% = 2,5%. Yox. 5% iki quyruğun cəmidir, 47,5% isə x̄ ilə 58 arasıdır. Yalnız sağ quyruğu götür. Həllə bax 58 = 50 + 8 = x̄ + 2σ. Ondan sağda iki zolaq: 2,35% + 0,15% = 2,5% (yəni (100% − 95%) : 2).
5. Çətin Sınaq imtahanında 400 şagird iştirak edib; ballar normal paylanıb, x̄ = 70, σ = 5. Təxminən neçə şagird 65 ilə 80 arasında bal toplayıb? Cavab variantları 272 326 380 Düzdür! 81,5% · 400 = 326. Yox. 272 — 68%, 380 — 95% götürəndə alınır. 65 = x̄ − σ, 80 = x̄ + 2σ: interval simmetrik deyil, zolaqları say. Həllə bax 65 = x̄ − σ, 80 = x̄ + 2σ. Zolaqlar: 34% + 34% + 13,5% = 81,5%. Say: 0,815 · 400 = 326 şagird.
6. Çətin İki normal paylanmanın ədədi ortası eynidir. P əyrisi hündür və dar, Q əyrisi alçaq və enlidir. Hansında standart meyil böyükdür? Cavab variantları P-də Q-da eynidir, çünki ortalar eynidir Düzdür! Enli əyri — böyük σ. Yox. Hündürlük σ-nın böyüklüyü demək deyil; orta yeri, σ isə eni müəyyən edir. Həllə bax Qiymətlər ortadan nə qədər çox səpələnirsə, əyri o qədər enli və alçaq olur. Q enlidir, deməli onun σ-sı böyükdür.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Simmetrik zəngNormal paylanmada orta = median = moda; hər tərəfdə məlumatın 50%-i.
• 68 – 95 – 99,7Zolaqlar: 34%, 13,5%, 2,35%, 0,15%. Sərhədi x̄ və σ ilə yaz, zolaqları topla.
• x̄ — yer, σ — enx̄ əyrini sürüşdürür; σ böyüdükcə əyri alçalır və genişlənir.

Növbəti mövzu: 6.63 Qutu-qulp diaqramı

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Normal paylanma», səh. 269–273; standart meyil: «Statistik göstəricilər», səh. 264. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.