Normal paylanma

Mətn (transkript)

Mağazada iki qutu şirə yan-yana durur. Hər ikisinin üzərində eyni yazı var: üç yüz yetmiş beş millilitr. Amma bilirsinizmi, zavodda heç bir qutu tam eyni dolmur? Biri bir az çox, biri bir az az alınır. Təsəvvür edin ki, bu qutuları iki şirkət doldurur, A və B. Hər iki şirkətin qutularında orta hesabla üç yüz yetmiş səkkiz millilitr şirə olur, yəni yazılandan üç millilitr çox. İlk baxışdan hər ikisi alıcıya qarşı dürüstdür. Amma sual belədir: hansı şirkətin alıcısı daha tez-tez yazılandan az şirə alacaq? Orta eynidirsə, fərq haradan gələ bilər? Bu dinləmə dərsində cavabı birlikdə tapacağıq. Bunun üçün statistikanın ən məşhur əyrilərindən biri ilə tanış olacağıq: normal paylanma ilə. Və görəcəksiniz ki, bu sualın cavabını bir ədəd yox, iki ədəd verir. Gəlin şirədən bir anlıq uzaqlaşaq və insanlara baxaq. Bir məktəbin bütün on birinci sinif şagirdlərini boylarına görə qruplara ayırdığımızı düşünün. Ən çox şagird hansı qrupa düşəcək? Əlbəttə, orta boylulara. Bir az uzun və bir az qısa olanlar da xeyli olacaq. Çox uzun və çox qısa olanlar isə tək-tük. İndi hər qrupun sayını bir sütun kimi təsəvvür edin. Ortada ən hündür sütun durur, hər iki tərəfə getdikcə sütunlar alçalır. Bu sütunların təpələrini hamar bir xətlə birləşdirsək, zəngə oxşayan əyri alınır: ortada uca bir təpə, iki yanda isə sakitcə enən yamaclar. Bu əyriyə normal paylanma əyrisi deyilir. Yeni doğulan körpələrin boyu və kütləsi, qan təzyiqi, böyük şirkətlərdə maaşlar da çox vaxt belə paylanır. Bu əyrinin ən vacib xüsusiyyəti simmetriyadır. Əyrini tən ortadan qatlasaq, sol yarısı sağ yarısının üstünə tam düşər. Ona görə də təpə nöqtəsində üç ölçü üst-üstə düşür: ədədi orta, median və moda. Ən çox rast gəlinən qiymət ortanın özüdür, qiymətlərin yarısı ondan kiçik, yarısı isə ondan böyükdür. Keçən mövzuda gördüyümüz sağa və ya sola əyilmiş paylanmalarda bu üç ölçü bir-birindən ayrılırdı. Normal paylanmada isə onlar bir yerdə dayanır. Bu formanı evdə də görmək olar. İki oyun zəri atın və xalları toplayın. Cəm ikidən on ikiyə qədər ola bilər. Amma iki də, on iki də yalnız bir yolla alınır, yeddi isə altı müxtəlif yolla. Ona görə yeddi ən tez-tez düşür, kənarlara getdikcə isə ehtimal azalır. Nəticələri sütunlarla çəksəniz, yenə ortası uca, kənarları alçaq bir forma görəcəksiniz. Normal paylanmaya bənzəyən bir forma. Bəs hər normal paylanma eyni görünürmü? Xeyr. Maraqlısı budur ki, istənilən normal əyrini cəmi iki ədəd tam müəyyən edir. Birincisi ədədi ortadır: o, əyrinin təpəsinin harada durduğunu göstərir. İkincisi standart meyildir, onu yunan hərfi siqma ilə işarə edirlər. Xatırlayaq: standart meyil qiymətlərin ortadan nə qədər səpələndiyini ölçür. Qiymətlər ortanın ətrafında sıx toplanıbsa, siqma kiçikdir. Bir-birindən uzaq düşübsə, siqma böyükdür. Ornitoloqlar, yəni quşları öyrənən alimlər, quş yumurtalarını tərəzidə çəkirlər. Dərslikdəki nümunədə bu yumurtaların orta kütləsi qırx dörd qrama yaxındır, standart meyil isə bir qramdan da azdır. Yəni yumurtaların çoxu ortaya çox yaxındır. Belə məlumatın əyrisi dar və uca bir zəng olur. İndi ortanı dəyişək, siqmanı isə saxlayaq. Bu zaman əyrinin forması dəyişmir, o, bütöv halda sağa və ya sola sürüşür. Necə ki, rəfdəki kitabı yerindən tərpədirsən, kitab yenə həmin kitabdır. Əksinə, ortanı saxlayıb siqmanı böyütsək, əyri dartılır: alçalır və enlənir. Siqmanı kiçiltsək, sıxılır: daralır və ucalır. Niyə enlənən əyri alçalmalıdır? Çünki əyrinin altındakı sahə bütün məlumatı, yəni yüz faizi təmsil edir. Sahə dəyişmirsə, en artanda hündürlük azalmalıdır. Dərslik bunu gündəlik misallarla düşündürür. Bir qutu çayın həqiqi kütləsini götürün: fabrik qutuları demək olar ki, eyni doldurur, ona görə də əyri dar olar. İndi isə on altı yaşlı gənclərin illik gəlirini düşünün: biri hələ heç qazanmır, biri isə artıq xeyli qazanır. Bu əyri çox daha enli olacaq. Ortanın yeri bir şeyi danışır, əyrinin eni isə tamam başqa şeyi. İndi isə bu dərsin ən güclü alətinə gəlirik. Normal paylanmada məlumatın necə yerləşdiyini üç ədəd deyir. Qiymətlərin təxminən altmış səkkiz faizi ortadan bir standart meyil məsafəsində yerləşir. Doxsan beş faizi iki standart meyil məsafəsində. Doxsan doqquz tam onda yeddi faizi isə üç standart meyil məsafəsində. Buna altmış səkkiz, doxsan beş, doxsan doqquz tam onda yeddi qaydası deyilir. Yəni demək olar ki, bütün məlumat ortanın hər iki tərəfində üç siqmalıq zolağa sığır. Bir misalla yoxlayaq. Sınaq imtahanında orta bal yetmiş iki, standart meyil isə altı bal olsun. Onda şagirdlərin təxminən altmış səkkiz faizi altmış altı ilə yetmiş səkkiz bal arasında toplayıb. Zolağı bir siqma da genişləndirsək, altmışla səksən dörd arasında şagirdlərin doxsan beş faizi olacaq. Üç siqmada, yəni əlli dördlə doxsan arasında isə demək olar ki, hamı var. Doxsandan yuxarı bal toplayan çox az adam olacaq. Simmetriya bizə daha çox şey deyir. Altmış səkkiz faiz ortanın iki tərəfinə bərabər bölünür: hər tərəfə otuz dörd faiz. Bir siqma ilə iki siqma arasındakı hər zolağa on üç tam onda beş faiz düşür. İki siqma ilə üç siqma arasındakı hər zolağa iki tam yüzdə otuz beş faiz. Üç siqmadan kənarda isə hər tərəfdə cəmi sıfır tam yüzdə on beş faiz qalır. Bu kiçik ədədi yadda saxlayın, şirə hekayəsinin sonunda bizə lazım olacaq. Bu zolaqlardan daha bir faydalı nəticə çıxır. Ortadan bir siqma yuxarıdakı nöqtədən o yana nə qədər məlumat qalır? Sağ yarı əlli faizdir, onun otuz dörd faizi orta ilə bir siqma arasındadır. Deməli, bir siqmadan yuxarıda təxminən on altı faiz qalır, yəni təxminən hər altı nəfərdən biri. Simmetriyaya görə eyni şey aşağı tərəfdə də doğrudur. Bu ədədlər real həyatda proqnoz verməyə imkan yaradır. Dərslikdə min səkkiz yüz gəncin əl-göz reaksiya vaxtı verilir. Reaksiya vaxtı, deyək ki, işıq yanan kimi düyməni basmağa sərf olunan vaxtdır. Bu gənclərin orta reaksiya vaxtı sıfır tam yüzdə otuz beş saniyə, standart meyil isə sıfır tam yüzdə beş saniyədir. Sıfır tam yüzdə iyirmi beşlə sıfır tam yüzdə qırx beş saniyə arasında neçə gənc olar? Hər iki sərhəd ortadan düz iki siqma uzaqdadır. Deməli, gənclərin təxminən doxsan beş faizi, yəni min yeddi yüzdən bir az çox adam bu aralığa düşür. Bəs təsadüfi seçilmiş bir gəncin reaksiyasının sıfır tam yüzdə qırx saniyədən yavaş olma ehtimalı nə qədərdir? Bu sərhəd ortadan bir siqma yuxarıdadır. Deməli, ehtimal təxminən on altı faizdir. Gördünüzmü? Hər nəticəni bir-bir saymadan, yalnız iki ədədi, ortanı və siqmanı bilməklə, böyük bir qrupun necə paylandığını təxmin edirik. Normal paylanmanın gücü elə budur. Yalnız bir şərtlə: məlumat həqiqətən zəng formasında paylanmalıdır. Paylanma bir tərəfə əyilibsə, bu faizlər işləmir. İndi şirə qutularına qayıdaq. Hər iki şirkətdə orta həcm üç yüz yetmiş səkkiz millilitrdir, qutunun üzərində isə üç yüz yetmiş beş yazılıb. Orta ilə yazı arasındakı fərq üç millilitrdir. Amma bu üç millilitr hər şirkət üçün tamam başqa məsafədir. A şirkətində standart meyil bir millilitrdir. Onda üç millilitr düz üç siqma deməkdir. Üç siqmadan aşağıda isə, xatırlayırsınız, cəmi sıfır tam yüzdə on beş faiz qalır, yəni min qutudan bir-iki qutu. B şirkətində isə standart meyil üç millilitrdir. Onda həmin üç millilitr cəmi bir siqmadır. Bir siqmadan aşağıda isə on altı faiz qalır, yəni təxminən hər altı qutudan biri. Deməli, orta eyni olsa da, B şirkətinin alıcısı yazılandan az şirəni xeyli tez-tez alır. Sualın cavabını orta yox, səpələnmə verdi. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Normal paylanmanı iki ədəd təsvir edir: orta əyrinin yerini, standart meyil isə onun enini göstərir. Altmış səkkiz, doxsan beş və doxsan doqquz tam onda yeddi qaydası isə bu iki ədədi faizlərə çevirir. Addım-addım həll olunan məsələlər üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Növbəti dəfə bir məhsulun üzərindəki rəqəmi görəndə özünüzdən soruşun: orta nədir və səpələnmə nə qədərdir?