Statistik göstəricilər

• 6.60
• 11-ci sinif
• Statistika və ehtimal

Statistik göstəricilər

10 işçinin həftəlik orta maaşı 150 manatdır. Amma biri 80, biri 300 manat alır. Maaşlar ortadan nə qədər uzaqlaşır? Bunu bir ədəd deyir: standart meyil σ ≈ 64,92 manat.

Bu dərsdə

• ədədi orta, median, moda və ən böyük fərqi tapacaq, hansının nə vaxt daha uyğun olduğunu biləcəksən;
• meyilləri, dispersiyanı və standart meyili cədvəllə, tezlik cədvəlində də hesablayacaqsan;
• σ-nın böyük və ya kiçik olmasının məlumatın səpələnməsi haqqında nə dediyini izah edəcəksən.

Ədədi orta tarazlıq nöqtəsidir, standart meyil isə səpələnməni ölçür

Başla Yenidən Yenidən

1. Xatırla
2. Kəşf et
3. Qayda
4. Hesabla
5. Tezlik cədvəli
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Xatırla

Mərkəzi göstəricilər

Statistik məlumatı təhlil etmək üçün əvvəlcə onun mərkəzini göstərən ədədlərdən istifadə edirik. Hero şəklindəki 10 maaşı sıraya düzək: 80, 90, 95, 110, 120, 150, 160, 175, 220, 300.

Ədədi orta x̄

1500 : 10 = 150

Bütün qiymətlərin cəmi saya bölünür. Kənaraçıxmalar (məsələn, 300) ona təsir edir və yanlış nəticəyə apara bilər.

Median

(120 + 150) : 2 = 135

Sıralanmış məlumatı aşağı və yuxarı yarıya bölür. Kənaraçıxma olanda daha etibarlıdır, az sayda məlumat üçün də yararlıdır.

Moda

yoxdur

Ən çox təkrarlanan qiymətdir. Burada hər maaş bir dəfədir. Məlumatın bir neçə modası ola bilər və ya heç olmaya bilər; kateqorial məlumat (cins, rəng) üçün əlverişlidir.

Ən böyük fərq

300 − 80 = 220

Ən böyük və ən kiçik qiymətin fərqi. Yalnız iki ucu görür, aradakı qiymətlər ona təsir etmir.

Orta, median və moda «mərkəz haradadır?» sualına cavab verir. Amma qiymətlərin bu mərkəzin ətrafında sıx, yoxsa dağınıq yerləşdiyini demirlər.

2 · Kəşf et

Eyni orta, fərqli səpələnmə

Aşağıdakı üç histoqramın hər birində ədədi orta x̄ = 5-dir. Hər kvadrat bir qiymətdir. Mərkəz eynidir, amma qiymətlərin ortadan uzaqlığı tamamilə fərqlidir.

Hansı histoqrama baxaq?

A B C

A histoqramı: σ = 0 B histoqramı: σ ≈ 1,1 C histoqramı: σ ≈ 2,8

A: hər qiymət ortaya bərabərdir, heç biri ortadan uzaqlaşmır. Səpələnmə yoxdur: σ = 0.

B: qiymətlər 5-in ətrafında sıxlaşıb, ən uzağı ortadan cəmi 2 vahid aralıdır: σ ≈ 1,1.

C: qiymətlər iki uca toplanıb, çoxu ortadan 3 vahid uzaqdır: σ ≈ 2,8, B-dəkindən təxminən 2,5 dəfə böyük.

Mavi qırıq xətt ədədi ortadır, laym zolaq ortadan bir standart meyil sola və sağa uzanır. Qiymətlər ortadan nə qədər uzaqdırsa, zolaq o qədər enlidir. Tezliklər dərslikdəki histoqramlardan götürülüb.

Deməli, məlumatı təsvir etmək üçün mərkəzdən başqa bir ədəd də lazımdır: qiymətlərin ortadan orta hesabla nə qədər uzaq olduğunu göstərən ədəd. Bu, standart meyildir.

3 · Qayda

Meyil, dispersiya, standart meyil

Hər qiymətin ortadan nə qədər aralı olduğunu onun meyili göstərir: x − x̄. Ortadan kiçik qiymətin meyili mənfidir.

2, 3, 5, 10 məlumatının meyilləri və onların kvadratları

Başla Yenidən Yenidən

Sol meyillər (−3, −2) ilə sağ meyil (+5) bir-birini sıfırlayır. Kvadratların sahələri isə hamısı müsbətdir: 9 + 4 + 0 + 25 = 38.

Meyillərin cəmi həmişə 0-dır. Səbəbi: x̄ = Σx : n, yəni Σx = n · x̄, ona görə

Σ(x − x̄) = Σx − n · x̄ = 0.

Ədədi orta ədəd oxunun tarazlıq nöqtəsidir: sol və sağ meyillər bərabər «çəkir».

Cəm 0 olduğu üçün yeni məlumat vermir. Ona görə meyilləri kvadrata yüksəldirik: kvadrat mənfi olmur və ortadan uzaq qiymətə daha böyük çəki verir.

2, 3, 5, 10: x̄ = 20 : 4 = 5meyillər: −3 − 2 + 0 + 5 = 0kvadratlar: 9 + 4 + 0 + 25 = 38

Yadda saxla

Dispersiya — meyillərin kvadratları cəminin məlumatın qiymətləri sayına nisbətidir, σ2 ilə işarə olunur. Standart meyil dispersiyanın kvadrat köküdür, σ («siqma») ilə işarə olunur:

σ2 = Σ(x − x̄)2n / σ = √σ2

n — məlumatın qiymətlərinin sayı. Nümunədə σ2 = 38 : 4 = 9,5, σ = √9,5 ≈ 3,08.

Niyə kök alırıq?

vahid

Kvadratlar vahidi də kvadrata yüksəldir (manat²). Kök alanda σ yenidən məlumatın öz vahidində olur (manat) və onu qiymətlərlə müqayisə etmək olur.

σ nə deyir?

böyük σ — dağınıq

Qiymətlər bir-birindən uzaqdırsa, σ böyükdür; ortanın ətrafında sıxlaşıbsa, kiçikdir. Hamısı eynidirsə, σ = 0.

4 · Hesabla

Maaşların standart meyli

Nümunə 1Cədvəllə hesabla

10 işçinin həftəlik maaşı (manat): 120, 160, 90, 175, 110, 80, 220, 150, 300, 95. Meyilləri, dispersiyanı və standart meyili tapın.

1. Ədədi orta: Σx = 1500, x̄ = 1500 : 10 = 150.
2. Hər maaşdan ortanı çıxırıq, məsələn 120 − 150 = −30, sonra meyili kvadrata yüksəldirik: (−30)2 = 900. Maaşlar, meyillər və kvadratlar Maaş x Meyil x − x̄ (x − x̄)2 120 −30 900 160 10 100 90 −60 3600 175 25 625 110 −40 1600 80 −70 4900 220 70 4900 150 0 0 300 150 22500 95 −55 3025 Σ = 1500 0 42150
3. Meyillərin cəmi 0 çıxdı — hesabı yoxlamaq üçün yaxşı işarədir. Dispersiya: σ2 = 42150 : 10 = 4215.
4. Standart meyil: σ = √4215 ≈ 64,92. σ ≈ 64,92 manat

Maaşlar x̄ ± σ və x̄ ± 2σ zolaqlarına görə

300 manat ortadan 150 manat yuxarıdır: bu, 2σ ≈ 129,8-dən də çoxdur. 90 manat isə ortadan 60 manat aşağıdır — təxminən bir standart meyil.

Bir qiymətin ortadan «neçə σ» uzaq olduğu onun nə qədər qeyri-adi olduğunu göstərir. Bu məlumatda maaşların çoxu laym zolağın içindədir, 300 manat isə açıq-aşkar kənaraçıxmadır.

5 · Tezlik cədvəli

Qruplaşmış məlumatda σ

Məlumat tezlik cədvəlində verilibsə, hər qiyməti ayrıca yazmırıq: qiyməti onun tezliyinə f vururuq. Düsturlar belə olur:

x̄ = Σx · f : nσ = √(Σ(x − x̄)2 · f : n)

Nümunə 2Dərs buraxanlar

50 gün ərzində bir sinifdə hər gün dərs buraxan şagirdlərin sayı x və günlərin sayı f cədvəldədir. Standart meyili tapın.

Hər gün dərs buraxanlar

Dərs buraxanların histoqramı

Üfüqi ox — gündə dərs buraxanların sayı, sütunun üstündəki ədəd — günlərin sayı.

1. Σx · f = 91, n = 50, x̄ = 91 : 50 = 1,82 ≈ 1,8.
2. Hər qiymətin meyilini kvadrata yüksəldib tezliyə vururuq, məsələn (0 − 1,8)2 · 10 = 3,24 · 10 = 32,4, (6 − 1,8)2 · 4 = 17,64 · 4 = 70,56. Cəm: 145,4.
3. σ2 = 145,4 : 50 = 2,908, σ = √2,908 ≈ 1,71. (x̄ = 1,82 ilə dəqiq hesablasaq da σ ≈ 1,71 alınır.) σ ≈ 1,71 şagird

Kalkulyatorda bu hesab üçün x̄ və σn düymələri var. Bəzi kalkulyatorlarda σn−1 düyməsi də olur — o, n − 1-ə bölür. Bu dərsdə, dərslikdə olduğu kimi, n-ə bölürük.

6 · Diqqət

Meyillərin ortası səpələnmə deyil

Səhv düşüncə

(−30 + 10 + … − 55) : 10 = 0

«Orta meyil 0-dır, deməli maaşlar səpələnməyib» — yanlışdır: meyillərin cəmi hər məlumatda 0-dır.

Düzgün

√(42150 : 10) ≈ 64,92

Əvvəl meyilləri kvadrata yüksəlt, cəmlə, n-ə böl, sonra kök al.

σ² ilə σ fərqlidir

4215 ≠ 64,92

Dispersiya manat² ilə ölçülür, standart meyil manatla. «Maaşlar ortadan təxminən nə qədər uzaqdır?» sualının cavabı σ-dır.

Tezliyi unutma

(x − x̄)2 · f

Tezlik cədvəlində hər kvadratı tezliyə vur və cəmi qiymətlərin sayına (Σf) böl, sətirlərin sayına yox.

7 · Həyatda

Hansı futbolçu daha stabildir?

İki futbolçu 5 mövsümdə eyni sayda — 70 qol vurub, hər birinin ortası mövsümdə 14 qoldur. Məşqçi isə bilmək istəyir: hansının nəticəsi daha stabildir, yəni ildən ilə az dəyişir?

Mövsümlər üzrə qollar

A: Σ(x − x̄)2 = 4 + 1 + 1 + 0 + 4 = 10, σ = √(10 : 5) = √2 ≈ 1,41B: Σ(x − x̄)2 = 64 + 64 + 16 + 36 + 4 = 184, σ = √(184 : 5) = √36,8 ≈ 6,07

İki futbolçunun qolları eyni oxda

Orta eynidir, amma A-nın qolları ortanın yanında, B-nin qolları isə ondan uzaqdadır.

A futbolçusunun standart meyli B-ninkindən 4 dəfədən çox kiçikdir: onun nəticəsi daha stabildir. Eyni yolla iki şirkətdə maaşların nə qədər bərabər paylandığını və ya iki sinfin imtahan nəticələrinin nə qədər fərqli olduğunu müqayisə etmək olar.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 4, 7, 7, 9, 13 məlumatının ən böyük fərqi neçədir? Cavab variantları 13 9 8 Düzdür! 13 − 4 = 9. Yox. Ən böyük fərq — ən böyük və ən kiçik qiymətin fərqidir, ən böyük qiymət və ya orta deyil. Həllə bax Ən böyük qiymət 13, ən kiçiyi 4: 13 − 4 = 9. (8 isə ədədi ortadır: 40 : 5 = 8.)
2. Asan 2, 4, 9 məlumatında 9 qiymətinin meyili neçədir? Cavab variantları −4 9 4 Əla! x̄ = 5, 9 − 5 = 4. Yox. Meyil = qiymət − orta. Əvvəl ortanı tap: 15 : 3 = 5. Həllə bax x̄ = (2 + 4 + 9) : 3 = 5. Meyil: 9 − 5 = 4. Yoxlama: −3 − 1 + 4 = 0.
3. Orta 2, 4, 4, 6 məlumatının standart meyli neçədir? Cavab variantları 2 ≈ 1,41 ≈ 1,63 Düzdür! σ = √2 ≈ 1,41. Yox. Kvadratların cəmini n = 4-ə böl və sonda kök almağı unutma. Həllə bax x̄ = 16 : 4 = 4. Meyillər −2, 0, 0, 2; kvadratlar 4, 0, 0, 4, cəmi 8. σ² = 8 : 4 = 2, σ = √2 ≈ 1,41. (2 — dispersiyadır, 1,63 isə 3-ə bölməklə alınır.)
4. Orta A: 9, 10, 10, 11 və B: 4, 8, 12, 16. Hər ikisinin ortası 10-dur. Hansının standart meyli böyükdür? Cavab variantları A B bərabərdir Düzdür! B-nin qiymətləri ortadan çox uzaqdır. Yox. Orta eyni olsa da, σ qiymətlərin ortadan uzaqlığından asılıdır. Həllə bax A: kvadratlar 1, 0, 0, 1 → σ² = 0,5, σ ≈ 0,71. B: kvadratlar 36, 4, 4, 36 → σ² = 20, σ ≈ 4,47. B-nin σ-sı böyükdür.
5. Çətin Məlumatın hər qiyməti 10 dəfə artırılır. Standart meyil necə dəyişər? Cavab variantları dəyişməz 10 dəfə artar 100 dəfə artar Əla! Hər meyil 10 dəfə artır, ona görə σ da 10 dəfə artır. Yox. Ortanın və hər meyilin nə olduğunu düşün; 100 dəfə artan σ deyil, σ²-dir. Həllə bax Orta da 10 dəfə artır, ona görə hər meyil 10x − 10x̄ = 10(x − x̄) olur. Kvadratlar 100 dəfə artır, σ² 100 dəfə, σ = √(100σ²) isə 10 dəfə artır.
6. Çətin Tezlik cədvəli: x = 1, 2, 3; f = 2, 6, 2. Standart meyil neçədir? Cavab variantları ≈ 0,63 ≈ 0,82 0,4 Düzdür! σ = √0,4 ≈ 0,63. Yox. Hər kvadratı tezliyə vur, cəmi n = 10-a böl və kök al. Həllə bax n = 10, x̄ = (2 + 12 + 6) : 10 = 2. Kvadratlar tezliklə: 1 · 2 + 0 · 6 + 1 · 2 = 4. σ² = 4 : 10 = 0,4, σ ≈ 0,63. (0,82 — tezlikləri nəzərə almadan 1, 2, 3 üçün alınır, 0,4 isə dispersiyadır.)

Xülasə

Yadda qalanlar

• x̄, median, modaMərkəzi göstərir; kənaraçıxma olanda median daha etibarlıdır, kateqorial məlumatda moda.
• Σ(x − x̄) = 0Meyillərin cəmi həmişə sıfırdır, ona görə kvadratlarını götürürük.
• σ = √(Σ(x − x̄)2 : n)Standart meyil qiymətlərin ortadan nə qədər uzaq olduğunu ölçür: dağınıq məlumat — böyük σ.

Növbəti mövzu: 6.61 Məlumatın paylanma formaları

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik (ETN, CC BY-NC-SA 4.0), «Dispersiya. Standart meyil», səh. 264–266. Maaş nümunəsi, üç histoqramın tezlikləri və dərs buraxma cədvəli dərslikdəndir; 2, 3, 5, 10 məlumatı, futbolçuların qolları və yoxlama sualları bu dərs üçün seçilib.