Mərkəzi simmetriya

• 2.15
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Mərkəzi simmetriya

Şəkli kalka kağızına köçür, kağızı O nöqtəsində sancaqla bərkit və yarım dövrə fırlat. A nöqtəsi hara düşür? O-nun o biri tərəfinə, eyni məsafəyə: O parçanın tam ortasında qalır.

Bu dərsdə

• nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtəni pərgar və xətkeşlə quracaqsan;
• parçanın, şüanın, düz xəttin və üçbucağın simmetriki qurub uzunluqların saxlandığını görəcəksən;
• hansı fiqurların simmetriya mərkəzi olduğunu tapacaq və onu oxa nəzərən simmetriyadan ayıracaqsan.

• verilmiş fiqur
• simmetrik fiqur
• mərkəz O

Ş. 1Yarım dönmə180°

ABC üçbucağının O nöqtəsi ətrafında yarım dönməsi

Başla Yenidən Yenidən

1. ABC üçbucağının izi O ətrafında 180° fırlanır; hər təpə öz yarımçevrəsini cızır.
2. İz A₁B₁C₁ üçbucağı kimi O-nun o biri tərəfinə düşür.
3. AA₁, BB₁, CC₁ O-dan keçir və O hər birini yarıya bölür (eyni çərtiklər).

1. Yarım dönmə
2. Simmetrik nöqtə
3. Fiqurun simmetriki
4. Simmetriya mərkəzi
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Nöqtə O ətrafında necə dönür?

Sancaq O-dadır, A nöqtəsi isə kalkanın üzərindədir. Kağızı fırladanda A, mərkəzi O olan çevrə üzrə hərəkət edir: OA uzunluğu dəyişmir. Dönmə bucağını seç və A-nın hara düşdüyünə bax.

Dönmə bucağı

45° 90° 135° 180°

Ş. 2A-nın yolu — çevrəmərkəz O

A nöqtəsinin O ətrafında dönməsi

45°: A′ çevrənin üzərindədir, OA′ = OA. Amma A′ qırıq düz xəttin (AO-nun) üzərində deyil.

90°: OA′ OA-ya perpendikulyardır. A′ yenə AO düz xəttindən kənardadır.

135°: A′ düz xəttə yaxınlaşır, hələ üzərinə düşmür.

180° — yarım dönmə. A₁ AO düz xəttinin üzərinə, O-nun o biri tərəfinə düşür və OA₁ = OA. A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir, O isə AA₁-in ortasıdır.

Hər bucaqda OA′ = OA, çünki A çevrə üzrə gedir. Yalnız 180°-də A, O və A₁ bir düz xəttə düzülür. Bu nöqtəyə ad veririk.

2 · Qayda

Nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtə

Yadda saxla

O və A nöqtəsindən keçən düz xətt üzərində OA₁ ≅ OA şərtini ödəyən A₁ nöqtəsinə O nöqtəsinə nəzərən A nöqtəsi ilə simmetrik nöqtə deyilir. O nöqtəsi simmetriya mərkəzi adlanır.

OA₁ = OA

Başqa sözlə: A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir və O — AA₁ parçasının orta nöqtəsidir.

Ş. 3Qurma: xətkeş və pərgar

O-ya nəzərən A-ya simmetrik nöqtənin qurulması

Pərgarın ucu O-da, açılışı OA-ya bərabərdir. Çevrə düz xətti iki nöqtədə kəsir: biri A, digəri A₁.

Başla Yenidən Yenidən

1. A və O nöqtələrindən keçən düz xətti çək.
2. Mərkəzi O-da, radiusu OA olan çevrə çək.
3. Çevrə ilə düz xəttin ikinci kəsişmə nöqtəsi A₁-dir.

O özü-özünə simmetrikdir

O-nun O-ya nəzərən simmetriki O-nun özüdür: məsafə 0-dır.

Qarşılıqlıdır

A₁ A-ya simmetrikdirsə, A da A₁-ə simmetrikdir: yarım dönmə A₁-i yenidən A-ya qaytarır.

İki dəfə uzun

AA₁ = 2 · OA

Çünki AA₁ = OA + OA₁ və OA₁ = OA.

3 · Qayda

Fiqurun simmetrikini qururuq

Fiqurun simmetrikini qurmaq üçün onun əsas nöqtələrinin (ucların, təpələrin) simmetriklərini qurur, sonra onları eyni qaydada birləşdiririk. Fiquru seç.

Fiqur

Parça Şüa Düz xətt Üçbucaq

Ş. 4Fiqur və onun simmetrikimərkəz O

Fiqurların O nöqtəsinə nəzərən simmetrikləri

Parça: A və B-nin simmetrikləri A₁ və B₁-dir. AB parçası A₁B₁ parçasına çevrilir: hər ikisi 5 sm-dir.

Şüa: MN şüasının başlanğıcı M M₁-ə, N isə N₁-ə düşür. Alınan M₁N₁ şüası əks tərəfə yönəlir.

Düz xətt: P və Q-nun simmetriklərindən a₁ düz xətti keçir. O a-nın üzərində deyilsə, a₁ a-ya paraleldir.

Üçbucaq: təpələrin simmetrikləri A₁, B₁, C₁-dir. Alınan A₁B₁C₁ də üçbucaqdır və ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁.

Hər halda uyğun nöqtələri birləşdirən qırıq xətlər O-dan keçir və O onları yarıya bölür.

Xüsusiyyətlər

• Mərkəzi simmetriyada məsafə saxlanılır.
• Nöqtə nöqtəyə, düz xətt düz xəttə, şüa şüaya, parça özünə konqruyent parçaya çevrilir.
• Fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir.

AB = A₁B₁

4 · Qayda

Fiqurun simmetriya mərkəzi

Yadda saxla

Fiqurun hər bir nöqtəsinə O nöqtəsinə nəzərən simmetrik nöqtə də fiqura aiddirsə, bu fiqura O nöqtəsinə nəzərən mərkəzi simmetrik fiqur deyilir və O fiqurun simmetriya mərkəzi adlanır.

Belə fiqur O ətrafında yarım dönmədə özünə çevrilir: iz fiqurun öz üzərinə düşür.

Fiquru yoxla

Paraleloqram Düzbucaqlı Çevrə Parça Üçbucaq

Ş. 5Mərkəzi varmı?

Fiqurun simmetriya mərkəzi

Var: diaqonalların kəsişmə nöqtəsi. A C-yə, B D-yə simmetrikdir; AB tərəfindəki P nöqtəsinin simmetriki P₁ CD tərəfinə düşür.

Var: diaqonalların kəsişmə nöqtəsi. Düzbucaqlı da paraleloqramdır. Kvadratda da belədir.

Var: çevrənin mərkəzi. AA₁, BB₁, CC₁ diametrlərdir; çevrənin hər nöqtəsinin simmetriki yenə çevrədədir.

Var: parçanın orta nöqtəsi. A B-yə simmetrikdir, parçanın hər P nöqtəsi parçanın P₁ nöqtəsinə düşür.

Yoxdur. O-nu üçbucağın içində götürdük: simmetrik üçbucaq (qırıq) onunla üst-üstə düşmür, P₁ fiqurdan kənardadır. Hansı nöqtəni götürsək də belə olur.

Fiqurun mərkəzi varsa, yarım dönmədə fiqur öz yerinə düşür.

Düz xətt — var

Düz xəttin hər nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir.

Şüa — yoxdur

Yarım dönmədə şüa əks tərəfə yönəlir və özü ilə üst-üstə düşmür.

İki kəsişən düz xətt — var

Mərkəz onların kəsişmə nöqtəsidir.

5 · Hesabla

Simmetriya ilə ölçürük

Nümunə 1Üçbucağın simmetriki

ABC üçbucağında AB = 3 sm, BC = 4 sm, AC = 5 sm. O nöqtəsi üçbucaqdan kənardadır. O-ya nəzərən ABC-yə simmetrik üçbucağı qurun və onun perimetrini tapın.

Ş. 6ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁uzunluqlar sm ilə

ABC üçbucağına O-ya nəzərən simmetrik üçbucaq

1. A, B, C-dən O-dan keçən düz xətlər çəkib OA₁ = OA, OB₁ = OB, OC₁ = OC olan A₁, B₁, C₁ nöqtələrini qeyd edirik.
2. A₁, B₁, C₁-i birləşdiririk. Məsafə saxlanılır: A₁B₁ = 3 sm, B₁C₁ = 4 sm, A₁C₁ = 5 sm.
3. P = 3 + 4 + 5 = 12 sm — ABC-nin perimetri ilə eyni. P(A₁B₁C₁) = 12 sm

Nümunə 2Yarı və tam

a) A və A₁ O-ya nəzərən simmetrikdir, OA = 3,5 sm. AA₁-i tapın. b) AA₁ = 9 sm olsa, OA₁ nəyə bərabərdir?

Ş. 7O — AA₁-in ortası

OA və AA₁ parçaları

1. a) OA₁ = OA = 3,5 sm, deməli AA₁ = 3,5 + 3,5 = 7 sm.
2. b) O AA₁-i yarıya bölür: OA₁ = 9 : 2 = 4,5 sm. 7 sm; 4,5 sm

Nümunə 3Paraleloqramda perimetr

ABCD paraleloqramının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. AC = 10 sm, BD = 6 sm, AB = 4,5 sm. COD üçbucağının perimetrini tapın.

Ş. 8ΔAOB və ΔCODuzunluqlar sm ilə

Paraleloqramda AOB və COD üçbucaqları

1. O paraleloqramın simmetriya mərkəzidir: C A-ya, D B-yə simmetrikdir. Deməli O AC və BD-nin ortasıdır: OC = 10 : 2 = 5 sm, OD = 6 : 2 = 3 sm.
2. CD parçası AB-nin simmetrikidir, məsafə saxlanılır: CD = AB = 4,5 sm.
3. P(COD) = 5 + 3 + 4,5 = 12,5 sm. ΔCOD ΔAOB-nin simmetrikidir, perimetrləri eynidir. 12,5 sm

Nümunə 4Ədəd oxunda (xatırlatma)

Ədəd oxunda A nöqtəsi −1, O nöqtəsi 2 ədədinə uyğundur. O-ya nəzərən A-ya simmetrik A₁ nöqtəsi hansı ədədə uyğundur?

Ş. 9Eyni addımı bir də at

Ədəd oxunda simmetrik nöqtə

1. A-dan O-ya addım: 2 − (−1) = 3, yəni sağa 3 vahid.
2. O-dan eyni addımı bir də atırıq: 2 + 3 = 5.
3. Yoxlama: O AA₁-in ortasıdır, (−1 + 5) : 2 = 2. A₁ = 5

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Mərkəzi simmetriya güzgü deyil

Səhv

O-dan keçən xəttə görə əks etdirmək

Səhv: düz xəttə nəzərən güzgü əksi

Bu, oxa nəzərən simmetriyadır: fiqur eyni hündürlükdə qalır, sağ-sol yer dəyişir.

Düz

O ətrafında yarım dönmə

Düz: O nöqtəsinə nəzərən simmetriya

Hər təpə O-dan keçib o biri tərəfə gedir: fiqur O-nun altına, «baş aşağı» düşür.

İki simmetriyanın fərqi

Orta nöqtə A₁ deyil

Səhv

OA = 4 sm ⇒ AA₁ = 4 sm

A₁-i AO-nun ortasına, yaxud O-ya qədər qoymaq olmaz.

Düz

OA = 4 sm ⇒ AA₁ = 8 sm

A₁ O-dan o biri tərəfdədir, ortada O qalır.

«Oxu varsa, mərkəzi də var»

Səhv

bərabəryanlı üçbucağın mərkəzi var

Onun simmetriya oxu var, amma heç bir üçbucağın simmetriya mərkəzi yoxdur.

Düz

ox və mərkəz ayrı-ayrı yoxlanır

Paraleloqramın mərkəzi var, amma (ümumi halda) oxu yoxdur.

Ş. 10Ox ≠ mərkəz

Ox və mərkəz eyni şey deyil

7 · Həyatda

Xalçada və hərflərdə

Mərkəzi simmetriya xalça, parça və divar kağızı naxışlarında, memarlıq bəzəklərində (məsələn, Naxçıvandakı Möminə Xatun türbəsinin naxışlarında) tez-tez görünür. Yoxlama həmişə eynidir: şəkli fikrən O ətrafında yarım dövrə fırlat.

Ş. 11Xalça medalyonu

Xalça medalyonu

Yarım dönmədə mavi romb mavi romba, lime romb lime romba düşür: naxışın mərkəzi O-dur. Güzgüdə isə mavi romb lime rombun yerinə keçərdi — bu naxışın oxu yoxdur.

Ş. 12Hərflər

Simmetriya mərkəzi olan və olmayan hərflər

N və Z-in yalnız mərkəzi var, H və X-in həm mərkəzi, həm oxu var. A, T, Y-in oxu var, mərkəzi yox; L-in heç biri yoxdur.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan A₁ nöqtəsi O-ya nəzərən A-ya simmetrikdir, OA = 4 sm. AA₁ nə qədərdir? Sual 1 variantları 4 sm 8 sm 2 sm Düzdür! AA₁ = OA + OA₁ = 4 + 4 = 8 sm. O AA₁-in ortasıdır. O-dan A₁-ə qədər də 4 sm var. Həllə bax OA₁ = OA = 4 sm və A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir: AA₁ = 4 + 4 = 8 sm.
2. Asan Hansı fiqurun simmetriya mərkəzi yoxdur? Sual 2 variantları düzbucaqlı çevrə üçbucaq parça Düzdür! Üçbucaq yarım dönmədə özü ilə üst-üstə düşmür. Bu fiqurun mərkəzi var (Ş. 5). Hansı fiqurun izi yarım dönmədən sonra kənara çıxır? Həllə bax Düzbucaqlının mərkəzi diaqonalların kəsişməsi, çevrənin — mərkəzi, parçanın — orta nöqtəsidir. Üçbucağın simmetriya mərkəzi yoxdur.
3. Orta A və B nöqtələri O-ya nəzərən simmetrikdir, AB = 12 sm. OB nə qədərdir? Sual 3 variantları 6 sm 12 sm 24 sm Düzdür! O AB-ni yarıya bölür. AB parçasının bütövüdür. O onun harasındadır? Həllə bax Simmetrik nöqtələrdə O AB-nin orta nöqtəsidir: OB = 12 : 2 = 6 sm.
4. Orta MN parçası 7 sm-dir. M₁N₁ onun O nöqtəsinə nəzərən simmetrikidir. M₁N₁ nə qədərdir? Sual 4 variantları 14 sm 7 sm 3,5 sm Düzdür! Mərkəzi simmetriyada məsafə saxlanılır. Simmetriya uzunluğu nə ikiləşdirir, nə yarıya bölür. Xüsusiyyət 1-i xatırla. Həllə bax Parça özünə konqruyent parçaya çevrilir: M₁N₁ = MN = 7 sm.
5. Çətin ABCD paraleloqramının diaqonalları O-da kəsişir: AC = 14 sm, BD = 8 sm, AB = 6 sm. COD üçbucağının perimetri nə qədərdir? Sual 5 variantları 28 sm 17 sm 34 sm Düzdür! 7 + 4 + 6 = 17 sm. Üçbucağın tərəfləri diaqonalların yarılarıdır, bütöv diaqonallar deyil. Həllə bax O mərkəzdir: OC = 14 : 2 = 7 sm, OD = 8 : 2 = 4 sm, CD = AB = 6 sm (CD AB-nin simmetrikidir). P = 7 + 4 + 6 = 17 sm.
6. Çətin AB və A₁B₁ parçaları naməlum O nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir (A₁ A-ya, B₁ B-yə simmetrikdir). O nöqtəsini necə tapmaq olar? Sual 6 variantları AB₁ parçasının ortası AA₁ parçasının ortası AB parçasının ortası Düzdür! O simmetrik nöqtələri birləşdirən parçanın ortasıdır. Hansı nöqtələr bir-birinə simmetrikdir? O məhz onların arasındadır. Həllə bax A və A₁ simmetrikdir, deməli O AA₁-in orta nöqtəsidir (BB₁-in də). A və B₁ simmetrik cüt deyil, AB-nin ortası isə fiqurun öz nöqtəsidir.

9 · Yekun

Üç nəticə

• O — AA₁-in ortasıA, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir və OA₁ = OA. Qurmaq üçün: düz xətt + mərkəzi O olan çevrə.
• Uzunluqlar saxlanılırParça bərabər parçaya, fiqur konqruyent fiqura çevrilir; perimetr dəyişmir.
• Mərkəz — yarım dönmədə özünə düşməkParaleloqram, düzbucaqlı, çevrə, parça — var; üçbucaq, şüa — yoxdur. Ox və mərkəz ayrı şeylərdir.

Növbəti mövzu: 2.16 İki düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan bucaqlar.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», səh. 62–63: simmetrik nöqtənin qurulması və tərifi, simmetriya mərkəzi, mərkəzi simmetrik fiqur, Misal 1–2, Qeyd (Şəkil 13–17), mərkəzi simmetriyanın xüsusiyyətləri, çalışma 3-ün cavabları (səh. 220). «Yarım dönmə» və kalka izah üsuludur, dərslik termini deyil; ədəd oxu xatırlatması bu bölmədən kənardır. Bütün ədədlər (3, 4, 5 sm; 3,5 sm; 10, 6, 4,5 sm və s.) öyrətmək üçün seçilmişdir; şəkillər hesablanmış koordinatlarla çəkilib və etiketlər ölçülərlə uyğundur.