Parçanın orta perpendikulyarı

• 2.14
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Parçanın orta perpendikulyarı

A və B evlərindən eyni uzaqlıqda quyu qazmaq lazımdır. Belə yer təkcə bir deyil: AB parçasının ortasından 90° bucaq altında keçən düz xəttin istənilən nöqtəsi yarayır. Bu xətt orta perpendikulyardır.

Bu dərsdə

• orta perpendikulyarı iki şərtlə tanıyacaqsan: parçanın ortasından keçir və ona perpendikulyardır;
• onu pərgar və xətkeşlə addım-addım quracaq, pərgarın açılışının niyə parçanın yarısından böyük olmalı olduğunu izah edəcəksən;
• onun hər nöqtəsinin parçanın uclarından bərabər uzaqlıqda olduğunu əsaslandırıb məsələlərdə istifadə edəcəksən.

• orta perpendikulyar
• pərgar qövsü
• bərabər məsafələr

Ş 1Quyu harada olsun?yuxarıdan görünüş

İki evdən eyni uzaqlıqda olan quyu

Başla Yenidən Yenidən

1. İki şərt
2. Tərif
3. Qurma
4. Xassə
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı xətt «orta» və «perpendikulyar»dır?

2.13-də nöqtədən düz xəttə perpendikulyar çəkdik. İndi bir parçaya baxaq: AB = 8 sm, O isə onun orta nöqtəsidir — AO = OB. Üç düz xətti növbə ilə seç və iki sualı yoxla: xətt O-dan keçirmi? AB ilə 90° bucaq əmələ gətirirmi? Şəklin altındakı xətkeşlə uzunluqları özün də ölç.

Düz xətt seç

l₁ l₂ l₃

Ş 2AB və üç düz xəttxətkeş: sm

AB parçası və üç düz xətt

l₁ O-dan keçir, amma AB ilə 60° bucaq əmələ gətirir.

l₂ AB-yə perpendikulyardır, amma K-dan keçir: AK = 3 sm, KB = 5 sm — K orta nöqtə deyil.

l₃ O-dan keçir (AO = OB = 4 sm) və AB ilə 90° əmələ gətirir. Yalnız o, hər iki şərti ödəyir.

Bir şərt azdır: lazım olan xətt həm ortadan keçməli, həm də perpendikulyar olmalıdır.

O nöqtəsindən AB-yə yalnız bir perpendikulyar çəkmək olar (2.13-dəki teorem). Deməli, hər iki şərti ödəyən xətt yeganədir. Ona ad verək.

2 · Qayda

Orta perpendikulyar nədir?

Yadda saxla

«Parçanın orta nöqtəsindən keçərək ona perpendikulyar olan düz xəttə parçanın orta perpendikulyarı deyilir.»

• Birinci şərt: xətt parçanın orta nöqtəsindən keçir — PO = OQ.
• İkinci şərt: xətt parçaya perpendikulyardır — CD ⊥ PQ.

PO = OQ, CD ⊥ PQ

Ş 3Adlar və işarələrdərslik, şəkil 12

Orta perpendikulyarın adları

Çərtiklər bərabər hissələri, O-dakı kvadrat isə 90° bucağı göstərir. Orta perpendikulyar düz xəttdir: o, iki tərəfə sonsuz uzanır.

3 · Qurma

Pərgar və xətkeşlə qururuq

Ortanı xətkeşin bölgüləri ilə ölçmək olar, amma həndəsədə xətti qururlar. Dərslik deyir: «Müəyyən şərtlərlə və alətlərlə hər hansı həndəsi fiqurun qurulmasını tələb edən təklifə qurma məsələsi deyilir.» Bizim alətlərimiz — pərgar və xətkeş; xətkeşlə yalnız düz xətt çəkirik.

Əvvəlcə: parçanı köçürmək

Hər hansı MN düz xəttində P nöqtəsini qeyd et. Pərgarı AB qədər aç, iti ucunu P-yə qoy və MN-i kəsən qövs çək: kəsişmə Q-dur, PQ ≅ AB.

Pərgarın «açılışı»

İti uc ilə qələm ucu arasındakı məsafə qövsün radiusudur. Açılışı dəyişməsək, iki qövsün radiusu eyni olur.

Ş 4Üç addımda orta perpendikulyarPQ = 6 sm, r = 4 sm

Orta perpendikulyarın pərgar və xətkeşlə qurulması

Başla Yenidən Yenidən

1. Pərgarın iti ucunu P-yə qoy və PQ-ni kəsən qövs çək. Radius PQ-nin yarısından böyük olsun (burada r = 4 sm > 3 sm).
2. Açılışı dəyişmədən iti ucu Q-ya qoy və ikinci qövsü çək.
3. Qövslərin kəsişmə nöqtələrini C və D adlandır, xətkeşlə CD düz xəttini çək. CD PQ-nin orta perpendikulyarıdır, O isə PQ-nin ortasıdır.

Pərgarı nə qədər açaq?

Dərslikdə radius «PQ parçasının yarısından kiçik olmayan» götürülür. Bu ifadə bir halı da buraxır: radius düz yarıya bərabər ola bilər. Üç açılışı müqayisə et — P-dən çəkilən qövs PQ üzərində P-dən r qədər, Q-dan çəkilən Q-dan r qədər uzağa çatır (mavi zolaqlar).

Radius seç

2 sm 3 sm 4 sm

Ş 5Üç açılışPQ = 6 sm

Pərgarın üç açılışı

2 + 2 = 4 < 6. Qövslər bir-birinə çatmır, ortada 2 sm-lik boşluq qalır — kəsişmə nöqtəsi yoxdur.

3 + 3 = 6. Qövslər yalnız O nöqtəsində toxunur. Bir nöqtədən sonsuz sayda düz xətt keçir, ikinci nöqtə olmadan CD-ni çəkə bilmirik.

4 + 4 = 8 > 6. Qövslər iki nöqtədə — C və D-də kəsişir. CD düz xətti orta perpendikulyardır.

Ona görə praktikada pərgarı yarıdan böyük açırıq: r > PQ : 2. PQ-dən böyük olması şərt deyil.

Niyə CD məhz orta perpendikulyardır?

Dərslik bunu isbat etmir; 6-cı sinifdə öyrəndiyin konqruyentlik əlamətləri ilə əsaslandıraq (Ş 4-dəki qırıq mavi xətlər).

1. Hər dörd qırıq xətt radius qədərdir: CP = CQ = DP = DQ = r.
2. CPD və CQD üçbucaqlarında CP = CQ, DP = DQ, CD ortaqdır — üç tərəfə görə konqruyentdirlər. Deməli, ∠PCO = ∠QCO.
3. PCO və QCO üçbucaqlarında CP = CQ, ∠PCO = ∠QCO, CO ortaqdır — iki tərəf və aralarındakı bucağa görə konqruyentdirlər.
4. Deməli, PO = OQ və ∠COP = ∠COQ. Bu iki qonşu bucağın cəmi 180°-dir, hər biri 90°-dir.

4 · Xassə

Hər nöqtə uclardan eyni uzaqdır

AB = 12 sm, ℓ onun orta perpendikulyarıdır. M nöqtəsini ℓ boyunca yuxarı-aşağı apar və narıncı parçaları müqayisə et. Sonuncu seçim ℓ üzərində olmayan N nöqtəsidir.

Nöqtə seç

M₃ M₂ M₁ O M₄ N

Ş 6M ℓ boyuncaxətkeş: sm

M nöqtəsi orta perpendikulyar boyunca

M₃A = M₃B = 10 sm. M₃ O-dan 8 sm yuxarıdadır.

M₂A = M₂B = 7,5 sm. M₂ O-dan 4,5 sm yuxarıdadır.

M₁A = M₁B = 6,5 sm. M₁ O-dan 2,5 sm yuxarıdadır.

OA = OB = 6 sm. O-nun özü də ℓ üzərindədir. Bu, ən qısa haldır: A-dan ℓ-ə AO perpendikulyar, AM isə maildir və mail perpendikulyardan uzundur (2.13).

M₄A = M₄B = 7,5 sm. M₄ AB-nin o biri tərəfindədir, O-dan 4,5 sm aşağıda — M₂ ilə eyni məsafələr.

NA = 13 sm, NB = 5 sm. N ℓ üzərində deyil və B-yə daha yaxındır.

ℓ üzərindəki hər nöqtədə iki narıncı parça bərabərdir; seçdiyin nöqtə nə qədər yuxarıdadırsa, onlar o qədər uzundur.

Xassə

Parçanın orta perpendikulyarı üzərindəki hər nöqtə parçanın uclarından bərabər uzaqlıqdadır.

M ∈ ℓ ⇒ MA = MB

Niyə?Konqruyent üçbucaqlar

M ℓ üzərindədir, O ℓ ilə AB-nin kəsişmə nöqtəsidir. Ş 6-dakı iki narıncı rəngli üçbucağa — MOA və MOB-yə bax.

1. O AB-nin ortasıdır: AO = OB.
2. ℓ ⊥ AB, deməli ∠MOA = ∠MOB = 90°.
3. MO hər iki üçbucağın ortaq tərəfidir.
4. İki tərəf və aralarındakı bucağa görə (6-cı sinif) △MOA ≅ △MOB, deməli onların üçüncü tərəfləri də bərabərdir. MA = MB

Qatla və bax

Vərəqi ℓ boyunca qatla: AB özü üzərinə düşür (90°), O yerində qalır və A B-nin üstünə gəlir. MA parçası MB ilə üst-üstə düşür.

2.13 ilə əlaqə

MO AB-yə perpendikulyar, MA və MB maildir. Onların proyeksiyaları bərabərdir (OA = OB), ona görə maillər də bərabərdir.

Qurma da bu fikirdən istifadə edir: C və D nöqtələri P-dən və Q-dan eyni məsafədədir (radius qədər) və CD-nin özü orta perpendikulyar olur.

5 · Hesabla

Xassə ilə məsələ həll edirik

Nümunə 1AMB üçbucağının perimetri

M nöqtəsi AB parçasının orta perpendikulyarı üzərindədir. AB = 8 sm, MA = 9 sm. AMB üçbucağının perimetrini tapın.

Ş 7M orta perpendikulyar üzərində

AMB üçbucağı

1. M orta perpendikulyar üzərindədir: MB = MA = 9 sm.
2. Perimetr üç tərəfin cəmidir: MA + MB + AB = 9 + 9 + 8. P(AMB) = 26 sm

Nümunə 2Ən kiçik tam açılış

PQ = 11 sm. Orta perpendikulyarı qurmaq üçün pərgarın ən kiçik tam santimetrlik açılışı neçədir?

1. Qövslərin iki nöqtədə kəsişməsi üçün r + r > 11, yəni r > 5,5 sm olmalıdır.
2. Yoxla: 5 + 5 = 10 < 11 — qövslər çatmır; 5,5 + 5,5 = 11 — yalnız toxunur (həm də tam deyil); 6 + 6 = 12 > 11 — iki kəsişmə. r = 6 sm

Daha böyük açılış da yarayır, məsələn 8 sm. Ən kiçik tam qiymət 6 sm-dir.

Nümunə 3Bir tərəf «köçür»

ABC üçbucağında AB = 12 sm, BC = 15 sm, AC = 8 sm. AB tərəfinin orta perpendikulyarı BC tərəfini D nöqtəsində kəsir. ADC üçbucağının perimetrini tapın.

Ş 8AD = BDmiqyasla

ABC üçbucağı və AB-nin orta perpendikulyarı

1. D AB-nin orta perpendikulyarı üzərindədir: AD = BD (iki çərtik).
2. P(ADC) = AD + DC + AC = BD + DC + AC.
3. BD və DC birlikdə BC-ni təşkil edir: BD + DC = BC = 15 sm.
4. P(ADC) = 15 + 8. P(ADC) = 23 sm

AB = 12 sm cavaba lazım olmadı: o, yalnız üçbucağın formasını müəyyən edir.

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Bir şərtlə kifayətlənmək

Səhv

ortadan keçir ⇒ orta perpendikulyardır

Ortadan keçən çəp xətt (Ş 2-də l₁) 90° əmələ gətirmir.

Düz

ortadan keçir və 90°

İki şərt birlikdə lazımdır; perpendikulyar, amma ortadan keçməyən xətt (l₂) də yaramır.

Ş 9Ortadan keçmək azdır

Səhv və düz xətt

Pərgarı düz yarıya açmaq

Səhv

PQ = 6 sm, r = 3 sm

Qövslər yalnız O-da toxunur, CD üçün ikinci nöqtə yoxdur (Ş 5, «3 sm»).

Düz

r > PQ : 2, məsələn 4 sm

Qövslər C və D nöqtələrində kəsişir.

MA-nı AB-nin yarısı saymaq

Səhv

AB = 12 sm ⇒ MA = 6 sm

6 sm AO-dur — O-dan A-yadək olan məsafə.

Düz

MA > AO, əgər M ≠ O

A-dan ℓ düz xəttinə AO perpendikulyar, AM isə maildir; mail perpendikulyardan uzundur (2.13). Ş 6-da M₁A = 6,5 sm.

7 · Həyatda

Fənəri harada qoyaq?

İki ev yolun eyni tərəfindədir. Yolun kənarında elə yerdə fənər qoymaq istəyirik ki, hər iki qapıdan eyni uzaqlıqda olsun.

1. Qapıları birləşdir: AB parçası.
2. AB-nin orta perpendikulyarını qur (pərgar və xətkeşlə, kağızdakı planda).
3. Onun yolun kənarı ilə kəsişmə nöqtəsi L-dir. L orta perpendikulyar üzərindədir, deməli LA = LB. LA = LB = 15 m

Ölçmədən tən yarı

Taxtanı, lenti və ya üçbucağın tərəfini tən yarıya bölmək üçün xətkeşin bölgüləri lazım deyil: orta perpendikulyar ortanı özü göstərir.

Ş 10Yol kənarında fənərxətkeş: m

Yol kənarında fənər

Planda 1 bölgü 1 m-dir. A qapısından L-ə də, B qapısından L-ə də 15 m-dir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan l düz xətti AB parçasının orta nöqtəsindən keçir və AB ilə 70° bucaq əmələ gətirir. l AB-nin orta perpendikulyarıdırmı? Sual 1 variantları Bəli, ortadan keçir Xeyr, 90° deyil Xeyr, ortadan keçmir Düzdür! İkinci şərt — perpendikulyarlıq ödənmir. Hər iki şərti ayrıca yoxla: l ortadan keçir, bəs bucaq 90°-dirmi? Həllə bax Orta perpendikulyar həm ortadan keçir, həm 90° əmələ gətirir. l ortadan keçir, amma bucaq 70°-dir. Deməli, l orta perpendikulyar deyil.
2. Asan M nöqtəsi AB parçasının orta perpendikulyarı üzərindədir, MA = 11 sm. MB nə qədərdir? Sual 2 variantları 5,5 sm 11 sm 22 sm Düzdür! Orta perpendikulyarın nöqtəsi uclardan bərabər uzaqdır. Bölmək və ya vurmaq lazım deyil: xassəni xatırla — MA ilə MB necə əlaqəlidir? Həllə bax M orta perpendikulyar üzərindədir, ona görə MB = MA = 11 sm.
3. Orta PQ = 9 sm. Pərgarın hansı açılışında P və Q mərkəzli qövslər iki nöqtədə kəsişər? Sual 3 variantları 3 sm 4,5 sm 5 sm Düzdür! 5 + 5 = 10 > 9. r + r-i 9 ilə müqayisə et. Bərabər olanda qövslər yalnız toxunur. Həllə bax 3 + 3 = 6 < 9 — qövslər çatmır; 4,5 + 4,5 = 9 — yalnız ortada toxunur; 5 + 5 = 10 > 9 — iki kəsişmə nöqtəsi. Radius yarıdan (4,5 sm) böyük olmalıdır.
4. Orta AB = 14 sm. AB-nin orta perpendikulyarı üzərindəki M nöqtəsi üçün MA = 10 sm. AMB üçbucağının perimetri nə qədərdir? Sual 4 variantları 24 sm 27 sm 34 sm Düzdür! 10 + 10 + 14 = 34 sm. Üçbucağın üç tərəfi var: MA, MB və AB. MB nəyə bərabərdir? Həllə bax MB = MA = 10 sm (xassə). P = MA + MB + AB = 10 + 10 + 14 = 34 sm. 24 sm-də MB unudulub, 27 sm-də AB əvəzinə onun yarısı götürülüb.
5. Çətin ABC üçbucağında AB = 10 sm, BC = 13 sm, AC = 9 sm. AB tərəfinin orta perpendikulyarı BC-ni D nöqtəsində kəsir. ADC üçbucağının perimetri nə qədərdir? Sual 5 variantları 22 sm 27 sm 32 sm Düzdür! AD = BD, ona görə P(ADC) = BC + AC. AD-ni BD ilə əvəz et: AD + DC birlikdə hansı tərəfə bərabər olur? Həllə bax D orta perpendikulyar üzərindədir: AD = BD. P(ADC) = AD + DC + AC = BD + DC + AC = BC + AC = 13 + 9 = 22 sm. 32 sm ABC-nin perimetridir; AB lazım deyil.
6. Çətin PQ = 10 sm. Orta perpendikulyarı qurarkən P və Q mərkəzli, radiusu 6 sm olan qövslər C və D nöqtələrində kəsişdi. PCQD dördbucaqlısının perimetri nə qədərdir? Sual 6 variantları 12 sm 24 sm 34 sm Düzdür! Dörd tərəfin hər biri radiusdur: 4 · 6 = 24 sm. PCQD-nin tərəfləri PC, CQ, QD, DP-dir. PQ isə onun diaqonalıdır. Həllə bax PC = CQ = QD = DP = 6 sm (eyni açılış). Perimetr 4 · 6 = 24 sm. PQ = 10 sm dördbucaqlının diaqonalıdır, tərəfi deyil (34 sm-də o da toplanıb).

9 · Yekun

Üç nəticə

• İki şərtOrta perpendikulyar parçanın ortasından keçir və ona perpendikulyardır.
• Qurma: r > yarıP və Q-dan eyni radiuslu qövslər; kəsişmə nöqtələrini birləşdir.
• MA = MBOrta perpendikulyarın hər nöqtəsi parçanın uclarından bərabər uzaqdır.

Növbəti mövzu: 2.15 Mərkəzi simmetriya — O nöqtəsi yenə əsas rolda olacaq.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif» (Şərq-Qərb), səh. 60–61: qurma məsələsi, orta perpendikulyarın tərifi, verilmiş parçaya konqruyent parçanın və orta perpendikulyarın qurulma alqoritmləri, şəkil 5–12. Dərslikdə radius «yarısından kiçik olmayan» deyilir; burada yarıdan böyük götürülür, çünki düz yarıda qövslər yalnız toxunur. Bərabər uzaqlıq xassəsi və qurmanın niyə işlədiyi dərslikdə ayrıca yazılmayıb — 6-cı sinfin konqruyentlik əlamətləri ilə əsaslandırılır. Bütün ədədlər (24 m, 12 sm, 15 m və s.) öyrətmək üçün seçilib; şəkillər miqyasla çəkilib və etiketlər ölçülərlə uyğundur.