Faiz məsələləri

• 2.52
• 7‑ci sinif
• Situasiya məsələləri

Faiz məsələləri

Şəhərin yeni velosiped icarəsi xidmətinin 15 000 istifadəçisi var. İki proqnoz da «hər il 60% artım» deyir, amma 4 ildən sonra biri 51 000, digəri 98 304 istifadəçi gözləyir. Fərq bir sualdadır: 60% nədən götürülür?

Bu dərsdə

• sadə faiz artımında və azalmasında son məbləği tapacaq, ayları ilin hissəsinə çevirəcək, düsturdan S0, r və n‑i ifadə edəcəksən;
• mürəkkəb faiz artımını il-il və qüvvətli düsturla hesablayacaq, son məbləğdən ilkin məbləğə qayıdacaqsan;
• məsələnin mətnindəki «ilkin məbləğin» və «əvvəlki ildəki məbləğin» sözlərindən artımın növünü tanıyacaqsan.

Sadə və mürəkkəb artım: bərabər pillələr və böyüyən pillələr

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Sadə faiz
3. Hesabla
4. Mürəkkəb faiz
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Faiz nədən hesablanır?

Proqnoz A deyir: hər il ilkin sayın 60%‑i qədər yeni istifadəçi gəlir. Proqnoz B deyir: hər il əvvəlki ilin sayının 60%‑i qədər. İli seç və bax: faiz hansı sütundan götürülür?

İli seç

1‑ci il 2‑ci il 3‑cü il 4‑cü il

Faiz hansı sütundan götürülür

1‑ci il. Sadə: 15 000 + 15 000‑in 60%‑i (9000) = 24 000.

Mürəkkəb: 15 000 + 15 000‑in 60%‑i (9000) = 24 000. Birinci il hər ikisi eynidir — baza hələ eynidir.

2‑ci il. Sadə: 24 000 + 15 000‑in 60%‑i (9000) = 33 000.

Mürəkkəb: 24 000 + 24 000‑in 60%‑i (14 400) = 38 400.

3‑cü il. Sadə: 33 000 + 15 000‑in 60%‑i (9000) = 42 000.

Mürəkkəb: 38 400 + 38 400‑ün 60%‑i (23 040) = 61 440.

4‑cü il. Sadə: 42 000 + 15 000‑in 60%‑i (9000) = 51 000.

Mürəkkəb: 61 440 + 61 440‑ın 60%‑i (36 864) = 98 304.

Qalın çərçivə — faizin götürüldüyü sütun; tam rəngli blok — həmin ilin artımı. Mavi ox həmişə ən yuxarıdakı (0‑cı il) sütundan çıxır, narıncı ox isə hər dəfə bir əvvəlki sətirdən.

Sadə artımda faizin bazası dəyişmir, ona görə hər il eyni ədəd — 9000 — əlavə olunur. Mürəkkəb artımda baza hər il böyüyür, ona görə artımın özü də böyüyür: 9000, 14 400, 23 040, 36 864. 4 ildən sonra fərq 47 304 istifadəçidir. Dərslikdə bu iki hal iki ad daşıyır: sadə faiz artımı və mürəkkəb faiz artımı.

2 · Qayda

Sadə faiz artımı

Yadda saxla

Dərslik belə deyir: «sonda bankdan götürülən məbləğ banka qoyulan ilkin məbləğin hər hansı faizi qədər artırılır (və ya azaldılır). Belə tip məsələlər sadə faiz artımı məsələləri adlanır.»

Sn = S0 · (1 + r · n100 / )

Azalmada: Sn = S0 · (1 − r · n100 / ).

S0 — ilkin qiymət, Sn — son qiymət, r — vahid zaman müddətində faiz dərəcəsini göstərən ədəd, n — zaman.

Düstur haradan gəlir? Bir ildə artım S0‑ın r%‑idir, yəni S0 · r100 / . Faiz hər il yenə S0‑dan götürülür, ona görə n ildə bu eyni ədəd n dəfə əlavə olunur:

Sn = S0 + S0 · r · n100 / = S0 · (1 + r · n100 / )

Proqnoz A belə idi: 15 000 · (1 + 60 · 4100 / ) = 15 000 · 3,4 = 51 000.

Hər il eyni artım

S0 · r100 /

Sadə artımda hər dövrün artımı eynidir.

Aylar — ilin hissəsi

m ay = m12 / il

Faiz illikdirsə, n il ilə yazılır: ayları 12‑yə bölürük.

Azalma

1 − r · n100 /

Məbləğ hər dövrdə ilkin məbləğin r%‑i qədər azalır.

3 · Hesabla

Sadə faizlə hesablayırıq

Əvvəl düsturun yerinə ədədləri yazırıq, sonra mötərizənin içini hesablayırıq. İl-il yoxlama düsturla eyni nəticə verməlidir.

Nümunə 1Bir neçə il

Səadət 3500 manatı illik sadə 16% artımla banka qoydu. 3 ildən sonra hesabında neçə manat olacaq?

1. Hər il artım ilkin məbləğin 16%‑idir: 3500 · 16100 / = 560 manat.
2. İl-il: 3500 → 4060 → 4620 → 5180 — hər pillə eynidir.
3. Düsturla: S3 = 3500 · (1 + 16 · 3100 / ) = 3500 · 1,48 = 5180. 5180 manat

Nümunə 2Aylarla

Kənan 4800 manat kredit götürdü: illik sadə 13%, müddət 10 ay. 10 aydan sonra nə qədər qaytarmalıdır?

1. Faiz illikdir, ona görə müddəti illə yazırıq: 10 ay = 1012 / = 56 / il.
2. Artım: 4800 · 13100 / · 56 / = 624 · 56 / = 520 manat.
3. Qaytarılacaq məbləğ: 4800 + 520 = 5320. 5320 manat

Nümunə 3Sadə azalma

Noutbukun qiyməti 1600 manatdır. Onun dəyəri hər il ilkin qiymətin 24%‑i qədər azalır. 3 ildən sonra noutbukun dəyəri nə qədər olar?

1. Azalma düsturu: S3 = 1600 · (1 − 24 · 3100 / ).
2. Mötərizə: 1 − 72100 / = 0,28.
3. S3 = 1600 · 0,28 = 448. Yoxlama: hər il −384: 1216 → 832 → 448. 448 manat

Düsturdan r, n və S0‑ı ifadə edirik. S0‑ı sol tərəfə keçirək: Sn − S0 = S0 · r · n100 / . Hər iki tərəfi 100‑ə vuraq: 100(Sn − S0) = S0 · r · n. Buradan:

r = 100(Sn − S0)S0 · n / n = 100(Sn − S0)S0 · r / S0 = Sn : (1 + r · n100 / )

Nümunə 4Faiz dərəcəsini tap

Sadə faizlə 3100 manat 3 ildə 4681 manat oldu. İllik faiz dərəcəsi neçədir?

1. Artım: 4681 − 3100 = 1581 manat.
2. r = 100 · 15813100 · 3 / = 158 1009300 / = 17. 17%

Nümunə 5Müddəti tap

İllik sadə 22% ilə 2600 manat neçə ildən sonra 4888 manat olar?

1. Artım: 4888 − 2600 = 2288 manat.
2. n = 100 · 22882600 · 22 / = 228 80057 200 / = 4. 4 il

4 · Qayda

Mürəkkəb faiz artımı

Yadda saxla

Dərslik belə deyir: «Alınan məbləğ hər sonrakı zaman anında yaranan məbləğin faizi qədər artırılır … Belə məsələlərə mürəkkəb faiz artımı məsələləri deyilir.»

Sn = S0 · (1 + r100 / )n

Hesablamağın iki yolu var: il-il (faizi tap, əlavə et, yeni məbləğin faizini tap, əlavə et …) və düsturla.

Qüvvət haradan gəlir? Bir ildə məbləğ öz r%‑i qədər artır:

S + S · r100 / = S · (1 + r100 / )

Deməli, hər il məbləği eyni vuruğa vururuq. n il — n dəfə vurma, yəni (1 + r100 / )n. Proqnoz B: 15 000 · 1,64 = 15 000 · 6,5536 = 98 304.

Sadə: hər il eyni ədəd əlavə olunur

1. 15 000
2. +900024 000
3. +900033 000
4. +900042 000
5. +900051 000

Mürəkkəb: hər il eyni vuruğa vurulur

1. 15 000
2. ×1,624 000
3. ×1,638 400
4. ×1,661 440
5. ×1,698 304

İki artımı yan-yana qoyaq

5 · Hesabla

Mürəkkəb faizlə hesablayırıq

Nümunə 6İl-il və düsturla

Lalə 6500 manatı hər il əvvəlki ildəki məbləğin 16%‑i qədər artım verən banka qoydu. 2 ildən sonra hesabında nə qədər olacaq?

1. 1‑ci il: 6500 + 6500 · 16100 / = 6500 + 1040 = 7540.
2. 2‑ci il faiz artıq 7540‑dan götürülür: 7540 + 7540 · 16100 / = 7540 + 1206,4 = 8746,4.
3. Düsturla: S2 = 6500 · 1,162 = 6500 · 1,3456 = 8746,4 — eyni nəticə. 8746,4 manat

Nümunə 7Eyni şərt, iki hesab

1700 manat 26% ilə 2 il saxlanır. Sadə və mürəkkəb artımda son məbləğləri müqayisə edin.

1. Sadə: 1700 · (1 + 26 · 2100 / ) = 1700 · 1,52 = 2584.
2. Mürəkkəb: 1700 · 1,262 = 1700 · 1,5876 = 2698,92.
3. Fərq: 2698,92 − 2584 = 114,92. Bu, birinci ilin artımının (442) 26%‑idir: 2‑ci ildə faiz həm də 442‑nin üstünə gəlir — «faizin faizi». mürəkkəb 114,92 manat çox

Nümunə 8Geri qayıt

Hər il əvvəlki ildəki məbləğin 23%‑i qədər artan əmanət 2 ildən sonra 7867,08 manat oldu. İlkin məbləğ nə qədər idi?

1. Düstur: 7867,08 = S0 · 1,232 = S0 · 1,5129.
2. S0 = 7867,08 : 1,5129 = 5200. Yoxlama: 5200 · 1,5129 = 7867,08. 5200 manat

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Mürəkkəbi sadə kimi hesablamaq

Səhv

7600 · (1 + 13 · 2100 / ) = 9576

Şərt «hər il əvvəlki ildəki məbləğin 13%‑i» deyir — bu mürəkkəb artımdır, sadə düstur yaramır.

Düz

7600 · 1,132 = 7600 · 1,2769 = 9704,44

2‑ci ilin faizi 8588‑dən götürülür, 7600‑dən yox.

Ayı il saymaq

Səhv

4200 · (1 + 24 · 7100 / ) = 11 256

7 ay 7 il deyil. Faiz illikdirsə, aylar ilin hissəsinə çevrilir.

Düz

4200 · 24100 / · 712 / = 588; 4200 + 588 = 4788

7 ay = 712 / il; 24% illik faizdir.

Geri qayıdanda faizi son məbləğdən çıxmaq

Səhv

3364 − 3364 · 0,16 = 2825,76

16% son məbləğdən yox, ilkin məbləğdən götürülmüşdü; son məbləğin 16%‑i (538,24) başqa ədəddir.

Düz

3364 : 1,16 = 2900

Yoxlama: 2900 + 2900 · 16100 / = 2900 + 464 = 3364.

Yalnız faiz hissəsini qüvvətə yüksəltmək

Səhv

3400 · (1 + 0,352) = 3816,5

Qüvvət bütün mötərizəyə aiddir, təkcə faiz hissəsinə yox.

Düz

3400 · 1,352 = 3400 · 1,8225 = 6196,5

Hər il bütün məbləğ 1,35‑ə vurulur (35% artım).

7 · Həyatda

Hansı bankı seçək?

Ailə 8000 manatı əmanətə qoymaq istəyir. A bankı: hər il ilkin məbləğin 22%‑i (sadə artım). B bankı: hər il əvvəlki ildəki məbləğin 19%‑i (mürəkkəb artım). A-nın faizi böyükdür — deməli, həmişə A sərfəlidir?

İki bank təklifi: düz xətt və yuxarı əyilən xətt

BaşlaYenidənYenidən

Şaquli ox 8000 manatdan başlayır. A düz xəttdir (hər il +1760), B yuxarı əyilir: onun artımı hər il böyüyür.

Hesabdakı məbləğ, manat

B sütununda məbləğlər qəpiyə (0,01 manat) qədər yuvarlaqlaşdırılıb; A sütunu dəqiqdir.

1–2 il üçün A sərfəlidir, 3‑cü ildən isə B: «faizin faizi» daha böyük faiz dərəcəsini də keçir. Ona görə bank seçəndə həm faizin növünə, həm də müddətə baxırıq.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Bank faizi hər ilin sonunda hesabdakı həmin anki məbləğdən hesablayır. Son məbləği hansı düsturla tapmaq olar? Cavab variantları S0 · (1 + r · n100 / ) S0 · (1 + r100 / )n S0 · (1 + r100 / ) · n Düzdür! Faiz cari məbləğdən — mürəkkəb artım. Faiz hər il yeni məbləğdən götürülür: hər il eyni vuruğa vurulur, yəni qüvvət. Həllə bax «Həmin anki məbləğdən» — mürəkkəb faiz artımıdır. Hər il məbləğ (1 + r/100)‑ə vurulur, n ildə n dəfə: S0 · (1 + r/100)n. Birinci düstur sadə artım üçündür (faiz yalnız S0‑dan), üçüncüdə isə qüvvət əvəzinə n-ə vurulub.
2. Asan 2300 manat illik sadə 13% artımla 2 il bankda qaldı. Son məbləğ neçə manatdır? Cavab variantları 2599 manat 2898 manat 598 manat 2936,87 manat Əla! 2300 · 1,26 = 2898. Bütün 2 ili və ilkin məbləği nəzərə al; sadə artımda faiz hər il 2300‑dən götürülür. Həllə bax S2 = 2300 · (1 + 13 · 2/100) = 2300 · 1,26 = 2898 manat. 2599 — yalnız 1 il; 598 — yalnız artım; 2936,87 — mürəkkəb artım kimi hesablanıb (2300 · 1,132).
3. Orta 5700 manata illik sadə 16% faiz hesablanır. 4 aydan sonra hesabda nə qədər olar? Cavab variantları 9348 manat 6064,8 manat 304 manat 6004 manat Düzdür! 4 ay = 1/3 il, artım 304. Faiz illikdir: 4 ayı ilin hissəsinə çevir — 4/12 il. Həllə bax 4 ay = 4/12 = 1/3 il. Artım: 5700 · 16/100 · 1/3 = 304; son məbləğ 5700 + 304 = 6004 manat. 9348 — 4 ay 4 il sayılıb; 6064,8 — 4 ay 0,4 il yazılıb; 304 — yalnız artım.
4. Orta 8500 manat hər il əvvəlki ildəki məbləğin 13%‑i qədər artır. 2 ildən sonra neçə manat olar? Cavab variantları 10 710 manat 10 853,65 manat 9605 manat 8643,65 manat Əla! 8500 · 1,2769 = 10 853,65. «Əvvəlki ildəki məbləğin» — mürəkkəb artım: 2 dəfə 1,13‑ə vur. Həllə bax S2 = 8500 · 1,132 = 8500 · 1,2769 = 10 853,65 manat (il-il: 8500 → 9605 → 10 853,65). 10 710 — sadə artım kimi; 9605 — yalnız 1 il; 8643,65 — yalnız faiz hissəsi kvadrata yüksəldilib (1 + 0,132).
5. Çətin Sadə faiz artımı ilə 6400 manat 3 ildə 9472 manat oldu. İllik faiz dərəcəsi neçədir? Cavab variantları 16% 48% 0,16% Düzdür! r = 100 · 3072 / (6400 · 3) = 16. Artımı həm 3 ilə böl, həm də 100‑ə vur. Həllə bax Artım: 9472 − 6400 = 3072. r = 100 · 3072 / (6400 · 3) = 307 200 / 19 200 = 16. 48% — artım 3 ilə bölünməyib (bu, 3 illik faizdir); 0,16% — 100‑ə vurulmayıb (0,16 kəsrdir, 16%‑ə bərabərdir).
6. Çətin Hər il əvvəlki ildəki məbləğin 35%‑i qədər artan əmanət 2 ildən sonra 10 206 manat oldu. İlkin məbləğ nə qədər idi? Cavab variantları 7560 manat 5600 manat 6633,9 manat 3061,8 manat Əla! 10 206 : 1,8225 = 5600. Geri qayıdanda böl: 2 il üçün 1,35‑ə iki dəfə. Həllə bax 10 206 = S0 · 1,352 = S0 · 1,8225, deməli S0 = 10 206 : 1,8225 = 5600 manat (yoxlama: 5600 → 7560 → 10 206). 7560 — yalnız 1 il geri qayıdılıb; 6633,9 — 35% son məbləğdən çıxılıb; 3061,8 — 10 206 − 70% · 10 206 = 10 206 − 7144,2, faiz yenə son məbləğdən götürülüb.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Sadə: Sn = S0 · (1 + r · n100 / )Faiz hər dövr ilkin məbləğdən — hər il eyni ədəd əlavə olunur; aylar m12 / il kimi yazılır.
• Mürəkkəb: Sn = S0 · (1 + r100 / )nFaiz hər dəfə cari məbləğdən — hər il eyni vuruğa vurulur; artım özü də böyüyür.
• Geri — bölmə iləSon məbləğdən ilkinə qayıdanda faizi son məbləğdən çıxmırıq, vuruğa bölürük.

Növbəti mövzu: 2.53 Çoxluqlar üzərində əməllər

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7‑ci sinif», Bölmə 10 · 3 «Faiz məsələləri», səh. 208–212. Təriflər, düsturlar və işarələr dərslikdəndir; nümunələrdəki vəziyyətlər və ədədlər bu dərs üçün seçilib. Həyatda cədvəlinin B sütunu qəpiyə qədər yuvarlaqlaşdırılıb, qalan bütün ədədlər dəqiqdir.