Üçbucağın tənböləni, medianı və hündürlüyü

• 2.29
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Üçbucağın tənböləni, medianı və hündürlüyü

Üçbucağın bir təpəsindən qarşı tərəfə üç xüsusi parça çəkmək olar. Biri bucağı yarıya bölür, biri tərəfi yarıya bölür, üçüncüsü isə tərəfə perpendikulyar düşür. Adətən onlar qarşı tərəfin üç müxtəlif nöqtəsinə çatır.

Bu dərsdə

• tənböləni, medianı və hündürlüyü tərifinə və şəkildəki işarəsinə görə tanıyacaqsan;
• bucağın tənbölənini pərgarla, hündürlüyü günyə ilə quracaq və hündürlüklərin harada kəsişdiyini üçbucağın növünə görə deyəcəksən;
• bucaqların cəmindən istifadə edib bu parçalarla bağlı bucaq və perimetr məsələləri həll edəcəksən.

• tənbölən — qövs
• median — cizgi
• hündürlük — kvadrat

Bir təpədən üç parça

B-dən AC-yə: BH — hündürlük, BL — tənbölən, BM — median. H, L və M üç müxtəlif nöqtədir.

Başla Yenidən Yenidən

1. Bir təpə, üç parça
2. Təriflər
3. Qurma
4. Hündürlüklər
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Bir təpə — üç parça

Yadına sal: üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir. ABC üçbucağında ∠A = 75°, ∠C = 35°, deməli ∠B = 180° − 75° − 35° = 70°. AC tərəfi 8 sm-dir. B təpəsindən AC-yə üç parça çəkək və hər birinin nəyi böldüyünə baxaq.

B-dən hansı parça?

Tənbölən BL Median BM Hündürlük BH

B təpəsindən seçilmiş parça

Şəkil 1B-dən üç parçaAC = 8 sm

BL: 35° və 35°. B bucağı iki bərabər hissəyə bölünür. Amma AC tərəfi yarıya bölünmür: AL ≈ 3,0 sm, LC ≈ 5,0 sm.

BM: AM = MC = 4 sm. AC tərəfi yarıya bölünür. Amma B bucağı bölünmür: 45° və 25°.

BH ⊥ AC. H-da düz bucaq var. Nə bucaq, nə tərəf yarıya bölünmür: 15° və 55°. ABH üçbucağında ∠ABH = 180° − 90° − 75° = 15°.

Üç parça, üç müxtəlif iş, üç müxtəlif nöqtə. Uzunluqlar şəkildən ölçülüb (≈ — yuvarlaqlaşdırılıb).

2 · Qayda

Tənbölən, median, hündürlük

Yadda saxla

• Bucağın tənböləni — bucağın təpəsindən çıxıb onu iki konqruyent bucağa bölən şüadır.
• Üçbucağın tənböləni — üçbucağın bucağının tənböləninin qarşı tərəfə qədər olan hissəsidir (parça).
• Üçbucağın medianı — üçbucağın təpəsini bu təpənin qarşısındakı tərəfin ortası ilə birləşdirən parçadır.
• Üçbucağın hündürlüyü — üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfi öz üzərində saxlayan düz xəttə çəkilmiş perpendikulyar parçadır.

Hündürlüyün tərifində «tərəfə» yox, «tərəfi öz üzərində saxlayan düz xəttə» deyilir: hündürlüyün oturacağı bəzən tərəfin uzantısına düşür. Bunu 4-cü mərhələdə görəcəyik.

Şəkildə hər parça öz işarəsi ilə tanınır. Bərabər bucaqlar eyni sayda qövslə, bərabər parçalar eyni sayda cizgi ilə, düz bucaq kiçik kvadratla göstərilir.

Tənbölən BL

Şəkil 2Tənbölən BL

Yoxlama: ∠ABL ≅ ∠LBC

Median BM

Şəkil 3Median BM

Yoxlama: AM ≅ MC

Hündürlük BH

Şəkil 4Hündürlük BH

Yoxlama: BH ⊥ AC

Necə yoxlayırıq?

Üç təpə — hər birindən üç

Üçbucağın üç bucağı var, deməli üç tənböləni var. Üç tərəfi var, deməli üç medianı və üç hündürlüyü var. Üç tənbölən bir nöqtədə kəsişir; üç median da bir nöqtədə kəsişir. Hər iki nöqtə həmişə üçbucağın daxilində olur.

Üç tənbölən bir nöqtədə kəsişir

Şəkil 5Tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi

Hər bucağın iki yarısında eyni sayda qövs var: A-da bir, B-də iki, C-də üç.

Üç median bir nöqtədə kəsişir

Şəkil 6Medianların kəsişmə nöqtəsi

Hər tərəfin iki yarısında eyni sayda cizgi var. Medianlar tərəflərin ortalarından keçir.

3 · Qur

Pərgar, xətkeş və günyə ilə

Bucağın tənbölənini pərgarla qurmaq

Transportir olmadan da bucağı dəqiq yarıya bölmək olar. Dərslikdəki alqoritm beş addımdır:

1. İxtiyari AOB bucağı çək.
2. Pərgarın iti ucunu O-ya qoy və bucağın hər iki tərəfini kəsən qövs çək. Kəsişmə nöqtələri C və D-dir.
3. Pərgarın iti ucunu C-yə qoy və bucağın daxilində qövs çək.
4. Pərgarın açılışını dəyişmədən iti ucunu D-yə qoy və ikinci qövsü çək. Qövslərin kəsişmə nöqtəsi E-dir.
5. O və E-ni xətkeşlə birləşdir. OE şüası AOB bucağının tənbölənidir.

Bucağın tənbölənini pərgarla qurmaq

Şəkil 7Tənbölənin qurulması∠AOB = 72°

Başla Yenidən Yenidən

Niyə OE bucağı yarıya bölür?

OC = OD, çünki C və D eyni qövsün üzərindədir. CE = DE, çünki iki qövs eyni açılışla çəkilib. OE isə OCE və ODE üçbucaqlarının ortaq tərəfidir. Üç tərəfi uyğun olaraq bərabər olan bu iki üçbucaq üst-üstə düşür, ona görə ∠COE = ∠DOE. Transportirlə yoxla: 72° bucağın hər yarısı 36° alınır.

Üçbucağın tənbölənini qurmaq üçün təpədəki bucağın tənbölənini qurub onu qarşı tərəfə qədər çəkirik.

Medianı qurmaq

Qarşı tərəfi xətkeşlə ölçüb ortasını qeyd edirik (və ya orta nöqtəni pərgarla, parçanın orta perpendikulyarı ilə tapırıq). Sonra orta nöqtəni təpə ilə birləşdiririk: alınan parça mediandır.

Hündürlüyü günyə ilə qurmaq

1. Günyənin bir katetini qarşı tərəfin düz xətti üzərinə qoy. Lazım olsa, tərəfi kəsik xəttlə uzat.
2. Günyəni bu xətt boyunca sürüşdür ki, o biri kateti təpədən keçsin.
3. Təpədən xəttə qədər parça çək: bu, hündürlükdür. Düz bucaq günyənin küncündədir.

Günyə ilə hündürlük

Şəkil 8Günyə ilə hündürlük∠B kor bucaqdır

Kor B bucağı olan üçbucaqda A-dan çəkilən hündürlük CB-nin uzantısına düşür.

4 · Qayda

Hündürlüklər harada kəsişir?

Üç hündürlük (və ya onların uzantıları) da bir nöqtədə kəsişir. Amma tənbölən və medianlardan fərqli olaraq bu nöqtə üçbucağın daxilində, üzərində və ya xaricində ola bilər. Hansı olduğunu üçbucağın növü deyir.

Üçbucağın növü

İtibucaqlı Düzbucaqlı Korbucaqlı

Hündürlüklər harada kəsişir

Şəkil 9Üç hündürlükO — kəsişmə nöqtəsi

Nəticə 1. İtibucaqlı üçbucağın hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın daxilində yerləşir.

Nəticə 2. Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi düz bucağın təpəsidir. B və C-dən çəkilən hündürlüklərin oturacağı A-ya düşür: katetlər həm də hündürlükdür (BA ⊥ AC, CA ⊥ AB).

Nəticə 3. Korbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın xaricində yerləşir. İti B və C bucaqlarından çəkilən hündürlüklər qarşı tərəflərin uzantısına düşür; O-da hündürlüklərin uzantıları kəsişir. Kəsik xətlər tərəflərin və hündürlüklərin uzantılarıdır.

Kor bucağın təpəsindən

Kor bucaqlı üçbucaqda yalnız kor bucağın təpəsindən çəkilən hündürlük üçbucağın daxilindədir.

Niyə uzantıya?

A bucağı kor olsun. B-dən çəkilən hündürlüyün oturacağı H AC-nin içinə düşsəydi, ABH üçbucağında həm 90°, həm də kor A bucağı olardı — cəmi 180°-dən çox.

5 · Hesabla

Tərif + bucaqların cəmi

Hər məsələdə əvvəl soruşuruq: bu parça nəyi bölür və ya hansı düz bucağı yaradır? Sonra bucaqların cəmini (180°) və qonşu bucaqları işlədirik.

Nümunə 1Medianlardan perimetr

ABC üçbucağında AK, BL və CM medianlardır (K ∈ BC, L ∈ AC, M ∈ AB). MB = 2,6 sm, KC = 3,4 sm, AL = 2,9 sm. ABC üçbucağının perimetrini tapın.

Üç median və yarım tərəflər

Şəkil 10Hər median bir tərəfi yarıya bölür

1. CM median olduğundan M AB-nin ortasıdır: AB = 2 · 2,6 = 5,2 sm.
2. AK median: BC = 2 · 3,4 = 6,8 sm.
3. BL median: AC = 2 · 2,9 = 5,8 sm.
4. P = 5,2 + 6,8 + 5,8 = 17,8 sm. P = 17,8 sm

Nümunə 2AD nədir?

ABC üçbucağında ∠B = 50°, ∠C = 70°. D nöqtəsi BC tərəfinin üzərindədir və ∠BAD = 30°. AD parçası ABC üçbucağının tənbölənidirmi? Hündürlüyüdürmü?

AD parçası nədir?

Şəkil 11İki yoxlama: bucaq və perpendikulyarlıq

1. ∠A = 180° − 50° − 70° = 60°.
2. ∠DAC = 60° − 30° = 30° = ∠BAD. A bucağı yarıya bölünüb: AD tənböləndir.
3. ABD üçbucağında ∠ADB = 180° − 50° − 30° = 100°, qonşu bucaq ∠ADC = 180° − 100° = 80°.
4. 80° ≠ 90°, deməli AD BC-yə perpendikulyar deyil. AD tənböləndir, hündürlük deyil

Nümunə 3Hündürlüklə tənbölən arasında

ABC üçbucağında ∠A = 76°, ∠C = 44°. B təpəsindən BH hündürlüyü və BL tənböləni çəkilib (H və L AC-nin üzərindədir). HBL bucağını tapın.

Hündürlük və tənbölən arasındakı bucaq

Şəkil 12Bir təpədən iki parça

1. ∠B = 180° − 76° − 44° = 60°.
2. BL tənbölən: ∠ABL = 60° : 2 = 30°.
3. ABH üçbucağında ∠AHB = 90°: ∠ABH = 180° − 90° − 76° = 14°.
4. 14° < 30°, ona görə H nöqtəsi A ilə L arasındadır: ∠HBL = 30° − 14° = 16°. ∠HBL = 16°

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Tənbölən tərəfi yarıya bölmür

Səhv

BL tənbölən ⇒ AL = LC

Şəkil 1-də 35° = 35°, amma AL ≈ 3,0 sm, LC ≈ 5,0 sm.

Düz

BL tənbölən ⇒ ∠ABL = ∠LBC

Tərəfi yarıya yalnız median bölür; tənbölən bucağı bölür.

Hündürlük həmişə içəridə deyil

Səhv

Səhv: hündürlük içəridə

BX AC tərəfinin içinə çəkilib, amma AC-yə perpendikulyar deyil: bu, hündürlük deyil.

Düz

Düz: hündürlük uzantıya düşür

A bucağı kordur: B-dən çəkilən BH hündürlüyü CA-nın uzantısına düşür (Nəticə 3).

Yarımı bütün bucaq saymaq

Səhv

∠ABL = 30° ⇒ ∠B = 30°

Tənbölən bucağın yalnız yarısını verir.

Düz

∠B = 2 · 30° = 60°

Bucaqların cəminə yalnız bütün bucağı yazırıq (Nümunə 3).

7 · Həyatda

Ağırlıq mərkəzi

Fizika ilə əlaqə

Cismin ağırlıq mərkəzi — cismin bütün kütləsinin cəmləşdiyi nöqtədir. Üçbucaq şəkilli nazik lövhənin ağırlıq mərkəzi onun medianlarının kəsişmə nöqtəsinə düşür.

Sına: kartondan istənilən üçbucaq kəs, xətkeşlə tərəflərin ortalarını tap və üç medianı çək. Lövhəni medianların kəsişmə nöqtəsindən qələmin ucuna qoysan, o düşmədən, üfüqi vəziyyətdə durur. Başqa nöqtədən qoysan, bir tərəfə əyilib düşür.

Karton üçbucaq qələmin ucunda

Şəkil 13Qələmin ucunda tarazlıq

Medianlar karandaşla çəkilib; qələmin ucu onların kəsişmə nöqtəsi O-dadır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan ABC üçbucağında A-dan BC üzərindəki K nöqtəsinə AK parçası çəkilib, BK və KC parçalarının hər birinin üzərinə isə bir cizgi qoyulub. AK nədir? Sual 1 variantları tənbölən median hündürlük Düzdür! Eyni sayda cizgi bərabər parçaları göstərir: BK = KC. Cizgilər bucağı yox, parçanı işarələyir. Hansı parça tərəfin ortasına gedir? Həllə bax Bir cizgi BK = KC deməkdir, yəni K BC-nin ortasıdır. Təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən parça mediandır. Tənbölən qövslərlə, hündürlük kvadratla işarələnir.
2. Asan Hansı nöqtə istənilən üçbucaqda üçbucağın daxilində yerləşir? Sual 2 variantları hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi medianların kəsişmə nöqtəsi istənilən hündürlüyün oturacağı Düzdür! Medianlar həmişə daxildə kəsişir. Korbucaqlı üçbucağı xatırla (Şəkil 9): hündürlüklərlə bağlı nə xaricə çıxır? Həllə bax Medianlar (tənbölənlər də) həmişə üçbucağın daxilində kəsişir. Korbucaqlı üçbucaqda isə hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi xaricdədir və iki hündürlüyün oturacağı tərəflərin uzantısına düşür (Nəticə 3).
3. Orta ABC üçbucağında AK, BL və CM medianlardır (K ∈ BC, L ∈ AC, M ∈ AB). AM = 2,4 sm, BK = 3,1 sm, üçbucağın perimetri isə 19 sm-dir. AL neçə santimetrdir? Sual 3 variantları 13,5 sm 8 sm 4 sm Düzdür! AC = 8 sm, onun yarısı 4 sm. AM və BK tərəflərin yarısıdır. Əvvəl AB və BC-ni tap, sonra AC-ni, sonra onun yarısını. Həllə bax AB = 2 · 2,4 = 4,8 sm, BC = 2 · 3,1 = 6,2 sm. AC = 19 − 4,8 − 6,2 = 8 sm. L AC-nin ortasıdır: AL = 8 : 2 = 4 sm.
4. Orta ABC üçbucağında ∠A = 116°. C təpəsindən çəkilən hündürlüyün oturacağı harada yerləşir? Sual 4 variantları AB tərəfinin daxilində A nöqtəsində BA-nın A-dan o tərəfdəki uzantısında Düzdür! A bucağı kordur, hündürlük tərəfin uzantısına düşür. A bucağı 116°-dir. Oturacaq AB-nin içində olsaydı, kiçik üçbucağın bucaqlarının cəmi nə qədər olardı? Həllə bax Oturacaq H AB-nin içində olsaydı, AHC üçbucağında ∠H = 90° və ∠A = 116° olardı: cəm artıq 180°-dən çoxdur. H = A olsaydı, ∠A = 90° olardı. Deməli H BA düz xəttinin A-dan o tərəfindədir (Şəkil 9, korbucaqlı).
5. Çətin ABC üçbucağında ∠A = 62°, ∠C = 36°. B təpəsindən BH hündürlüyü və BL tənböləni çəkilib. HBL bucağı neçə dərəcədir? Sual 5 variantları 41° 13° 26° Düzdür! 41° − 28° = 13°. ∠ABL və ∠ABH-ı ayrıca tap, sonra kiçiyi böyükdən çıx (Nümunə 3). Həllə bax ∠B = 180° − 62° − 36° = 82°, ∠ABL = 82° : 2 = 41°. ABH üçbucağında ∠ABH = 180° − 90° − 62° = 28°. ∠HBL = 41° − 28° = 13°.
6. Çətin ABC üçbucağında AD parçası həm tənbölən, həm də hündürlükdür (D ∈ BC). ∠B = 54°. C bucağı neçə dərəcədir? Sual 6 variantları 36° 72° 54° Düzdür! ABD və ACD üçbucaqlarında iki bucaq eynidir, üçüncü də eyni alınır. Əvvəl ABD üçbucağında ∠BAD-ı tap, sonra ACD üçbucağına keç. Həllə bax AD hündürlükdür: ∠ADB = ∠ADC = 90°. ABD üçbucağında ∠BAD = 180° − 90° − 54° = 36°. AD tənböləndir: ∠CAD = 36°. ACD üçbucağında ∠C = 180° − 90° − 36° = 54°.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Üç parça — üç işTənbölən bucağı, median tərəfi yarıya bölür; hündürlük tərəfin düz xəttinə perpendikulyardır. Şəkildə: qövs, cizgi, kvadrat.
• Üçü bir nöqtədəTənbölənlər və medianlar həmişə daxildə kəsişir. Medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucaq lövhənin ağırlıq mərkəzidir.
• Hündürlük növə baxırİtibucaqlıda kəsişmə daxildə, düzbucaqlıda düz bucağın təpəsində, korbucaqlıda xaricdədir.

Növbəti mövzu: 2.30 İkihədlilərin kvadrata yüksəldilməsi — cəbrə qayıdırıq.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif» (S. İsmayılova, S. Abdurahimov; Şərq-Qərb), Bölmə 5, mövzu 3, səh. 126–131: bucağın və üçbucağın tənböləninin, medianın və hündürlüyün tərifləri, şəkildəki işarələr, «Yadda saxlayın» yoxlamaları, tənbölənin pərgarla və hündürlüyün günyə ilə qurulması, Nəticə 1–3 və ağırlıq mərkəzi. Pərgar qurmasının niyə işlədiyi burada üç tərəfə görə əsaslandırılır. Nümunə və sualların bütün ədədləri öyrətmək üçün seçilib; şəkillər hesablanmış koordinatlarla çəkilib, Şəkil 1-dəki ≈ uzunluqlar şəkildən ölçülüb.