Uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqlar

• 2.18
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqlar

Tərəfləri bir-birinə paralel olan iki bucağı ölçmədən müqayisə etmək olarmı? Olar: onlar ya bərabərdir, ya da cəmləri 180°-dir. Hansı olduğunu bucaqların növü deyir.

Bu dərsdə

• uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqları şəkildə tanıyacaq, eyniadlı və müxtəlifadlı bucaqları ayıracaqsan;
• bucaqlardan biri məlum olanda o birinin iki mümkün qiymətini tapacaqsan;
• fərq, nisbət və ifadə verilən məsələlərdə hansı halın uyğun olduğunu seçib tənlik quracaqsan.

• verilmiş bucaq
• ikinci bucaq
• nəticə

Tərəfləri paralel olan bucaqları O-ya sürüşdürürük

Başla Yenidən Yenidən

Narıncı bucaqları dönmədən O-ya sürüşdürürük. MNK düz AOB-nin üstünə düşür, CED isə onun qonşusunun üstünə.

1. Sürüşdür
2. Paralel tərəflər
3. Perpendikulyar tərəflər
4. Xassələr
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Bucağı O-ya sürüşdür: hara düşəcək?

∠AOB = 50°. OA və OB-ni O-dan o tərəfə də uzadaq: iki düz xətt O-da dörd bucaq yaradır. Qarşı-qarşıya duranlar qarşılıqlı bucaqlardır və bərabərdir (50° və 50°), yan-yana duranlar qonşu bucaqlardır və cəmləri 180°-dir (50° + 130°).

N təpəli narıncı bucağın NM tərəfi OA-ya, NK tərəfi OB-yə paraleldir. Hər tərəf ya eyni istiqamətə baxır, ya da əks istiqamətə. Halı seç: bucağın O-ya sürüşdürülmüş qırıq surəti dörd bucaqdan birinin üstünə düşür.

NM və NK necə yönəlib?

eyni · eyni əks · əks eyni · əks əks · eyni

Birinci söz NM-in OA-ya, ikinci söz NK-nın OB-yə görə istiqamətidir. Bir oxcuq — OA ailəsi, iki oxcuq — OB ailəsi.

Dörd hal: ikinci bucaq O-ya sürüşdürülür

Şəkil 1. Qırıq narıncı surət — N təpəli bucağın O-ya sürüşdürülmüş halı.

∠MNK = 50° = ∠AOB. Hər iki tərəf eyni istiqamətdədir: surət düz AOB-nin üstünə düşür. Hər ikisi iti bucaqdır.

∠MNK = 50° = ∠AOB. Hər iki tərəf əks istiqamətdədir: surət AOB-nin qarşılıqlı bucağının üstünə düşür. Yenə hər ikisi iti bucaqdır.

∠MNK = 130°, 50° + 130° = 180°. Bir tərəf eyni, biri əks istiqamətdədir: surət AOB-nin qonşu bucağının üstünə düşür. Biri iti, digəri kordur.

∠MNK = 130°, 50° + 130° = 180°. Surət AOB-nin o biri qonşu bucağına düşür. Yenə biri iti, digəri kordur.

Başqa yer yoxdur: surət həmişə dörd bucaqdan birinə düşür. Deməli, ikinci bucaq ya 50°-dir, ya da 130°-dir.

2 · Qayda

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar

Şəkil 2-də MNK və CED bucaqlarının tərəfləri AOB bucağının uyğun tərəflərinə paraleldir: OA ∥ NM ∥ EC və OB ∥ NK ∥ ED. AOB və MNK eyniadlı bucaqlardır — hər ikisi itidir. AOB və CED isə müxtəlifadlıdır — biri iti, digəri kor bucaqdır. Test kitablarında bunlara eyni növlü və müxtəlif növlü bucaqlar da deyilir.

I. Eyniadlı bucaqlar: ∠MNK = ∠AOB

Şəkil 2, I. Eyniadlı: ∠MNK = ∠AOB = 60°.

II. Müxtəlifadlı bucaqlar: ∠CED + ∠AOB = 180°

Şəkil 2, II. Müxtəlifadlı: 120° + 60° = 180°.

Yadda saxla

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya konqruyentdir (eyni adlı olduqda), ya da dərəcə ölçülərinin cəmi 180°-dir (müxtəlif adlı olduqda).

β = α və ya α + β = 180°

Niyə belədir? 2.17-dəki uyğun bucaqlarla

Niyə ∠MNK = ∠AOB: iki dəfə uyğun bucaqlar

Şəkil 3. KN-i OA düz xəttini kəsənə qədər uzadırıq (P nöqtəsi).

1. OB ∥ PK, kəsən OA: ∠AOB = ∠APK — uyğun bucaqlar.
2. NM ∥ PA, kəsən PK: ∠MNK = ∠APK — yenə uyğun bucaqlar.
3. Deməli ∠MNK = ∠AOB. Müxtəlifadlı halda ikinci bucaq bu bucağın qonşusudur, ona görə cəm 180° alınır.

Dərslikdə tam isbat ayrıca (QR kodla) verilir; burada yalnız qısa izahdır.

3 · Qayda

Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar

İndi AOB kor bucaqdır, 120°. Onun daxilindəki N nöqtəsindən OA-ya NM ⊥ OA, OB-yə NK ⊥ OB perpendikulyarlarını çəkək. N-də yaranan bucağı seç.

N-də hansı bucaq?

∠MNK ∠MND

D nöqtəsi KN-in N-dən o tərəfə davamındadır.

Tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar

Şəkil 4. M və K-dakı kvadrat işarələr düz bucaqdır.

∠MNK = 60°, 60° + 120° = 180°. MNK iti, AOB kordur — bucaqlar müxtəlifadlıdır, cəmləri 180°-dir.

∠MND = 120° = ∠AOB. Hər ikisi kordur — eyniadlıdır, bərabərdir. MND və MNK qonşu bucaqlardır.

Yadda saxla

Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar ya konqruyentdir, ya da dərəcə ölçülərinin cəmi 180°-dir.

β = α və ya α + β = 180°

Hansı halın olduğunu yenə bucaqların növü deyir: eyniadlı — bərabər, müxtəlifadlı — cəmi 180°.

Niyə? Bucağı 90° döndər

MNK bucağını N ətrafında 90° döndərək. NM şaquli idi, indi üfüqi olur və OA-ya paraleldir; NK də OB-yə paralel olur. Döndərmə bucağı dəyişmir, ona görə sual Qayda I-ə gəlir.

Niyə? Bucağı N ətrafında 90° döndər

Şəkil 5. Döndərmədən sonra NM′ ∥ OA (eyni istiqamət), NK′ ∥ OB (əks istiqamət): müxtəlifadlı, 60° + 120° = 180°.

Başla Yenidən Yenidən

4 · Xassələr

Növə bax — cavabı seç

Hər iki qayda eyni üç xassəyə gəlir. Bucaqların tərəfləri uyğun olaraq paralel və ya perpendikulyardırsa:

Uyğun tərəfləri paralel (perpendikulyar) olan iki bucaq

Növ məlum deyilsə

ya α, ya 180° − α

Yalnız bir bucaq verilibsə, iki cavab yazılır: «ya … ya da».

Bərabər deyilsə

α + β = 180°

Bucaqlar fərqlidirsə (fərqi, nisbəti verilir), deməli müxtəlifadlıdırlar.

Tərsi doğru deyil

Cəmi 180° olan və ya dərəcə ölçüləri eyni olan bucaqların tərəfləri hər zaman paralel və ya perpendikulyar olmur.

5 · Hesabla

Dörd nümunə

Nümunə 1İki mümkün cavab

124°-li bucağın uyğun tərəflərinə paralel olan bucaq neçə dərəcə ola bilər?

124°-li bucağın dörd bucaq xəritəsi

Şəkil 6. 124°-li bucağın dörd bucaq xəritəsi.

1. Bucaqların növü verilməyib, ona görə iki hala baxırıq.
2. Eyniadlıdırsa, bərabərdir: 124°.
3. Müxtəlifadlıdırsa, cəmləri 180°-dir: 180° − 124° = 56°. 124° və ya 56°

Nümunə 2Şəkildə ifadələr

ABC və DMK bucaqlarında BA ∥ MD, BC ∥ MK, hər ikisi itidir. ∠ABC = 4x − 20°, ∠DMK = 2x + 30°. ∠ABC-ni tapın.

BA ∥ MD, BC ∥ MK: hər iki bucaq itidir

Şəkil 7. Tərəflər eyni istiqamətdə paraleldir: oxcuqlar eynidir.

1. Hər iki bucaq iti — eyniadlıdır, deməli bərabərdir: 4x − 20° = 2x + 30°.
2. 4x − 2x = 30° + 20°, 2x = 50°, x = 25°. Bu hələ cavab deyil!
3. ∠ABC = 4 · 25° − 20° = 80°. Yoxla: 2 · 25° + 30° = 80°. ∠ABC = 80°

Nümunə 3Nisbət verilib

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucağın dərəcə ölçüləri 7 : 8 nisbətindədir. Bucaqları tapın.

1. Nisbət 7 : 8 olduğu üçün bucaqlar bərabər deyil — deməli müxtəlifadlıdır və cəmləri 180°-dir.
2. Bucaqlar 7k və 8k: 7k + 8k = 180°, 15k = 180°, k = 12°.
3. 7 · 12° = 84°, 8 · 12° = 96°. Yoxla: biri iti, digəri kor, 84° + 96° = 180°. 84° və 96°

Nümunə 4İki hala bax

α və β bucaqlarının uyğun tərəfləri perpendikulyardır və 3α − β = 112°. α-nı tapın.

1. I hal, eyniadlı: β = α. Onda 3α − α = 112°, 2α = 112°, α = 56° (β = 56°, hər ikisi iti — uyğundur).
2. II hal, müxtəlifadlı: β = 180° − α. Onda 3α − 180° + α = 112°, 4α = 292°, α = 73°, β = 107° (biri iti, biri kor — uyğundur).
3. Hər iki halda bucaqlar müsbətdir və növ şərtə uyğundur, ona görə iki cavab qalır. α = 56° və ya α = 73°

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Yalnız bir cavab yazmaq

Səhv

75° → yalnız 75°

Növ verilməyibsə, ikinci hal itir.

Düz

75° və ya 105°

Eyniadlı — bərabər, müxtəlifadlı — 180° − 75°.

Perpendikulyar görüb 90° götürmək

Səhv

90° − 75° = 15°

Tərəflərin perpendikulyar olması bucaqların cəmini 90° etmir.

Düz

75° və ya 180° − 75° = 105°

Perpendikulyar tərəflərdə də 180° işləyir (Şəkil 4).

Tərsini doğru saymaq və bir cütlə kifayətlənmək

Bərabərdir, amma tərəfləri paralel deyil

Şəkil 8. Hər ikisi 50°-dir, amma tərəflər paralel deyil. Bərabərlikdən paralellik çıxmır.

Yalnız bir cüt tərəf paraleldir

Şəkil 9. Yalnız NM ∥ OA. NK istənilən istiqamətdə ola bilər, ona görə ∠MNK istənilən ola bilər: qayda hər iki cüt tərəf üçün şərtdir.

7 · Həyatda

Pandusda gizlənmiş bucaq

Pandus (maili yol) yerlə 30° bucaq əmələ gətirir. Pandusun üstündəki qutudan iki xətt çəkək: şaqul — yerə perpendikulyar, və pandusa perpendikulyar xətt.

• şaqul ⊥ yer, «⊥ pandus» xətti ⊥ pandus — tərəflər uyğun olaraq perpendikulyardır;
• pandus bucağı da, Q-dakı bucaq da itidir — eyniadlı;
• deməli Q-dakı bucaq da 30°-dir.

Fizikada maili müstəvi məsələlərində məhz bu bucaq lazım olur.

Pandusda iki bərabər bucaq

Şəkil 10. Ölçmədən bilirik: Q-dakı bucaq pandusun meyl bucağına bərabərdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri 72°-dir. O biri neçə dərəcə ola bilər? Sual 1 variantları yalnız 72° 72° və ya 108° 72° və ya 18° yalnız 108° Düzdür! Növ verilməyib, ona görə iki cavab var. Növ məlum deyil: eyniadlı da, müxtəlifadlı da ola bilər. Müxtəlifadlıda cəm 180°-dir, 90° yox. Həllə bax Eyniadlı: 72°. Müxtəlifadlı: 180° − 72° = 108°. Cavab: 72° və ya 108°.
2. Asan Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri iti, digəri kor bucaqdır. Belə bucaqlar necə adlanır? Sual 2 variantları eyniadlı müxtəlifadlı qarşılıqlı bucaqlar Düzdür! Biri iti, digəri kor — müxtəlifadlı; cəmləri 180°-dir. Eyniadlı ikisi də iti və ya ikisi də kor olanda deyilir. Qarşılıqlı bucaqlar isə bir təpədə qarşı-qarşıya duran bucaqlardır. Həllə bax İti və kor bucaq — müxtəlif adlı bucaqlardır, yəni müxtəlifadlıdır. Onların cəmi 180°-dir.
3. Orta Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri iti, digəri kordur. Onların fərqi 36°-dir. Kiçik bucaq neçə dərəcədir? Sual 3 variantları 72° 108° 27° Düzdür! 108° − 72° = 36° və 72° + 108° = 180°. Müxtəlifadlıdır, ona görə cəm 180°-dir (90° yox). Soruşulan kiçik bucaqdır. Həllə bax α + β = 180°, β − α = 36°. Birincidən ikincini çıxsaq: 2α = 144°, α = 72°. Böyük bucaq 108°-dir.
4. Orta Uyğun tərəfləri perpendikulyar olan iki bucaq bərabər deyil, biri o birindən 5 dəfə böyükdür. Kiçik bucaq neçə dərəcədir? Sual 4 variantları 15° 30° 36° 150° Düzdür! 30° + 150° = 180°. Bərabər deyilsə, cəmləri 180°-dir: x + 5x = 180°. Kiçik bucağı soruşurlar. Həllə bax Kiçik bucaq x, böyük 5x. Müxtəlifadlıdır: x + 5x = 180°, 6x = 180°, x = 30°. Böyük bucaq 150°-dir.
5. Çətin ABC və DMK bucaqlarında BA ∥ MD, BC ∥ MK, bucaqlar eyniadlıdır. ∠ABC = 5x − 12°, ∠DMK = 3x + 24°. ∠ABC neçə dərəcədir? Sual 5 variantları 18° 78° 102° Düzdür! x = 18°, ∠ABC = 5 · 18° − 12° = 78°. Eyniadlı bucaqlar bərabərdir. x-i tapandan sonra onu ifadədə yerinə qoy. Həllə bax 5x − 12° = 3x + 24°, 2x = 36°, x = 18°. ∠ABC = 5 · 18° − 12° = 78°; yoxla: 3 · 18° + 24° = 78°.
6. Çətin ∠1 və ∠2-nin uyğun tərəfləri paraleldir və onlar müxtəlifadlıdır. ∠2 və ∠3-ün uyğun tərəfləri perpendikulyardır və onlar eyniadlıdır. ∠1 = 40°. ∠3 neçə dərəcədir? Sual 6 variantları 40° 50° 140° Düzdür! ∠2 = 180° − 40° = 140°, ∠3 = ∠2 = 140°. Addım-addım get: əvvəl ∠2-ni tap (müxtəlifadlı — cəm 180°, 90° yox), sonra ∠3-ü (eyniadlı — bərabər). Həllə bax ∠1 və ∠2 müxtəlifadlıdır: ∠2 = 180° − 40° = 140°. ∠2 və ∠3 eyniadlıdır: ∠3 = ∠2 = 140°. 40° növləri nəzərə almamaqdır, 50° isə 90° − 40° səhvidir.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Eyniadlı — bərabərUyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan iki iti (iki kor) bucaq konqruyentdir.
• Müxtəlifadlı — cəmi 180°Biri iti, digəri kordursa, cəmləri 180°-dir; biri düz bucaqdırsa, digəri də düzdür.
• Növ məlum deyilsə — iki cavabα verilibsə, ikinci bucaq ya α, ya da 180° − α olur. Tərs təklif isə doğru deyil.

Növbəti mövzu: 2.19 Birhədlilər və onların hasili — həndəsədən cəbrə keçirik.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», çap səh. 72–75: eyniadlı və müxtəlifadlı bucaqlar, uyğun tərəfləri paralel və perpendikulyar olan bucaqlar haqqında qaydalar, xassələr 1–3, «Yadda saxlayın», Misal və çalışmalar; paralel düz xətlərdə uyğun bucaqlar — 2.17. Dörd bucaq xəritəsi, «sürüşdürmə» və «90° döndərmə» yalnız izah vasitəsidir, dərslik termini deyil. Bütün nümunə, məsələ və sual ədədləri bu dərs üçün seçilib; şəkillər dəqiq bucaqlarla çəkilib.