Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi

• 3.5
• 8-ci sinif
• Kvadrat köklər

Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi

Hasar boyunca iki kvadrat lək var: sahələri 44 m² və 99 m². Hasar nə qədərdir? Ağla ilk gələn kök altında 44 + kök altında 99 = kök altında 143-dür, amma bu səhvdir. Hər iki kökün içində tam kvadrat gizlənib, onu çıxaranda cavab 5kök altında 11 = kök altında 275 alınır.

Bu dərsdə

• vuruğu kök işarəsi altından çıxaracaq və kök altına salacaq, mənfi vuruqda və dəyişəndə işarəni düzgün saxlayacaq, köklü ədədləri müqayisə edəcəksən;
• oxşar kökləri toplayıb-çıxacaq, köklü ifadələri müxtəsər vurma düsturları ilə açacaq və köklü kəsrləri ixtisar edəcəksən;
• kəsrin məxrəcini irrasionallıqdan azad edəcək və qoşma ifadəyə vuranda kökün niyə itdiyini izah edəcəksən.

Hasar: √44 + √99

Başla Yenidən Yenidən

1. Gizli kvadrat
2. Kökdən çıxarma
3. Kök altına salma
4. Müqayisə
5. Oxşar köklər
6. Çevirmələr
7. Məxrəc
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla
11. Yekun

1 · Kəşf et

Kökün içində gizlənən kvadrat

Yadına sal (3.4): a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda kök altında ab = kök altında a · kök altında b. Bu xassə kökaltı ifadəni hissələrə ayırmağa imkan verir. Əgər hissələrdən biri tam kvadratdırsa, onun kökü tam ədəddir.

Hero-dakı ləklərə bax. 44 m²-lik lək 4 eyni xanadan ibarətdir, hər xana 11 m²-dir. Xananın tərəfi kök altında 11 m, ləkin tərəfi isə iki belə tərəfdir: 2kök altında 11. Hesabla da eyni alınır:

kök altında 44 = kök altında 4 · 11 = kök altında 4 · kök altında 11 = 2kök altında 11

Kökaltında ən böyük tam kvadrat vuruq

Yoxlama həmişə kvadrata yüksəltməkdir: (2kök altında 11)² = 4 · 11 = 44. Deməli, kök altında 44 və 2kök altında 11 eyni ədəddir, sadəcə ikinci yazılış daha «açıqdır». Ləklərin tərəfləri 2kök altında 11 və 3kök altında 11 olduğu üçün hasar 2 + 3 = 5 dənə kök altında 11-dir. Bunu dərsin 5-ci mərhələsində tamamlayacağıq.

2 · Qayda

Vuruğu kök işarəsi altından çıxarmaq

Yadda saxla

a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda

kök altında a²b = akök altında b

Kökaltında tam kvadrat vuruq tapırıq, onun kökünü kökün qarşısına yazırıq, qalan vuruq kök altında qalır. Dərslik bunu vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması adlandırır.

Hansı vuruğu çıxarmaq lazımdır? Ən etibarlı yol kökaltını sadə vuruqlara ayırmaqdır. Kökaltında eyni vuruqlardan ibarət hər cüt bir tam kvadratdır, məsələn 7 · 7 = 7². Belə hər cütdən kökün qarşısına bir vuruq çıxır. Cütü olmayan vuruqlar isə kök altında qalır.

Vuruq ağacı: √980 = 14√5

Başla Yenidən Yenidən

980-i ağac kimi sadə vuruqlara ayırırıq. Narıncı cütlər (2 · 2 və 7 · 7) kökdən 2 və 7 kimi çıxır, tək qalan 5 isə kök altında qalır: kök altında 980 = 14kök altında 5.

Ən böyük tam kvadratı birdən görsən, yol qısalır: 980 = 196 · 5 və 196 = 14², ona görə kök altında 980 = 14kök altında 5. Kiçik kvadratla başlasan da səhv olmaz, sadəcə addım artıq olar: kök altında 980 = kök altında 4 · 245 = 2kök altında 245 = 2 · 7kök altında 5 = 14kök altında 5. Kökaltında tam kvadrat vuruq qalmayana qədər davam et.

Nümunə 1Dəyişənli kökaltı

kök altında 112m³ ifadəsində vuruğu kök işarəsi altından çıxarın.

1. İfadə yalnız m ≥ 0 olduqda mənalıdır, çünki kökaltı mənfi ola bilməz.
2. Kökaltını tam kvadrat və qalan hissəyə ayırırıq: 112m³ = 16m² · 7m.
3. kök altında 16m² = 4|m| = 4m, çünki m ≥ 0. kök altında 112m³ = 4mkök altında 7m
4. Yoxlama: (4mkök altında 7m)² = 16m² · 7m = 112m³ ✓

3 · Qayda

Vuruğu kök işarəsi altına salmaq

Əks çevirmə də lazım olur: əmsalı kökün içinə «gizlətmək». Bu, köklü ədədləri müqayisə edəndə çox kömək edir.

Yadda saxla

a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda

akök altında b = kök altında a²b

Dərslikdə deyildiyi kimi, müsbət vuruq kvadrata yüksəldilərək kök işarəsi altına daxil edilir: 3kök altında 31 = kök altında 9 · 31 = kök altında 279.

Vuruq mənfidirsə

−3kök altında 13 = −kök altında 117

Mənfi vuruğu əvvəlcə −1 · 3 kimi yazırıq. Müsbət 3-ü kök altına salırıq: 3kök altında 13 = kök altında 9 · 13 = kök altında 117. «−» işarəsi isə kökün qarşısında qalır. Niyə? Hesabi kök heç vaxt mənfi olmur, −3kök altında 13 isə mənfi ədəddir. kök altında 117 yazsaq, işarə itər. kök altında −117 isə ümumiyyətlə mənasızdır.

Vuruq dəyişəndirsə

2bkök altında 11 = ?

İşarəni şərt deyir. b > 0 olduqda 2b müsbətdir: 2bkök altında 11 = kök altında 4b² · 11 = kök altında 44b². b < 0 olduqda 2b mənfidir, 2b = −|2b| = −kök altında 4b², ona görə 2bkök altında 11 = −kök altında 44b².

Dərslikdəki qısa yan qeydi yadda saxla: a ≥ 0 olarsa, a = kök altında a²; a < 0 olarsa, a = −kök altında a².

4 · Müqayisə

Hansı böyükdür: əmsal, yoxsa kökaltı?

Nümunə 2Artan sıra

8kök altında 3, 2kök altında 51 və 3kök altında 23 ədədlərini artan sıra ilə düzün.

1. Əmsalların hamısı müsbətdir, onları kök altına salırıq: 8kök altında 3 = kök altında 64 · 3 = kök altında 192, 2kök altında 51 = kök altında 4 · 51 = kök altında 204, 3kök altında 23 = kök altında 9 · 23 = kök altında 207.
2. Kökaltı nə qədər böyükdürsə, hesabi kök də o qədər böyükdür: 192 < 204 < 207. 8kök altında 3 < 2kök altında 51 < 3kök altında 23

8√3, 2√51 və 3√23 ədəd oxunda

Üç ədəd 13,8 ilə 14,4 arasındadır. Ən böyük əmsal (8) ən kiçik ədədi verir. Ən böyük kökaltı (51) isə ən böyük ədədi vermir. Qərarı yalnız kök altında 192, kök altında 204, kök altında 207 müqayisəsi verir.

Bu üsul fərqin işarəsini də deyir: 8kök altında 3 − 3kök altında 23 = kök altında 192 − kök altında 207 < 0. Ədədin hansı iki ardıcıl tam ədəd arasında olduğunu da belə tapırıq: 3kök altında 23 = kök altında 207, 14² = 196 < 207 < 225 = 15², deməli 14 < 3kök altında 23 < 15.

5 · Qayda

Oxşar köklər

Yadda saxla

Kökaltı ifadələri eyni olan akök altında b və ckök altında b ifadələri oxşar köklər (oxşar radikallar) adlanır. Onlar 2x + 5x = 7x kimi toplanır:

akök altında b + ckök altında b = (a + c)kök altında b

Kökaltılar fərqlidirsə, əvvəlcə vuruqları kökdən çıxarırıq. Bəzən oxşarlıq yalnız bundan sonra görünür. kök altında 34 + kök altında 2 kimi ifadələr isə oxşar deyil və birləşmir: bu cəm elə belə də yazılır.

Nümunə 3Əvvəl çıxar, sonra topla

İfadəni sadələşdirin: kök altında 136 + kök altında 306 − kök altında 544.

1. kök altında 136 = kök altında 4 · 34 = 2kök altında 34, kök altında 306 = kök altında 9 · 34 = 3kök altında 34, kök altında 544 = kök altında 16 · 34 = 4kök altında 34.
2. Üçü də oxşardır: (2 + 3 − 4)kök altında 34 = 1 · kök altında 34. kök altında 136 + kök altında 306 − kök altında 544 = kök altında 34

Nümunə 4Hasarın cavabı

Hero-dakı hasarın uzunluğu kök altında 44 + kök altında 99 m-dir. O, hansı iki ardıcıl tam ədəd arasındadır?

1. kök altında 44 + kök altında 99 = 2kök altında 11 + 3kök altında 11 = 5kök altında 11.
2. Müqayisə üçün 5-i kök altına salırıq: 5kök altında 11 = kök altında 25 · 11 = kök altında 275.
3. 16² = 256 < 275 < 289 = 17², deməli 16 < 5kök altında 11 < 17. Ədədin tam hissəsi 16-dır. Hasar 16 m-dən bir az uzundur

kök altında 143 isə 11 ilə 12 arasındadır (121 < 143 < 144). Deməli, «kökaltıları toplamaq» hasarı təxminən 4,6 metr qısaldardı.

6 · Hesabla

Kök daxil olan ifadələrin çevrilmələri

Köklü ifadələr də adi hərfi ifadələr kimi çevrilir: mötərizələr açılır, müxtəsər vurma düsturları işləyir, ümumi vuruq mötərizə xaricinə çıxarılır. Yeganə əlavə qayda: (kök altında a)² = a.

Nümunə 5Fərqin kvadratı

(3 − 2kök altında 10)² ifadəsini sadələşdirin.

1. (x − y)² = x² − 2xy + y² düsturunda x = 3, y = 2kök altında 10.
2. x² = 9, 2xy = 2 · 3 · 2kök altında 10 = 12kök altında 10, y² = (2kök altında 10)² = 4 · 10 = 40.
3. 9 − 12kök altında 10 + 40. (3 − 2kök altında 10)² = 49 − 12kök altında 10

Nümunə 6Kəsri ixtisar et

a) 22 − kök altında 22kök altında 22 − 1 / b) m − 5kök altında m − kök altında 5 / (m ≥ 0, m ≠ 5) kəsrlərini ixtisar edin.

1. a) 22 = (kök altında 22)², ona görə surətdə kök altında 22 ortaq vuruqdur: 22 − kök altında 22 = kök altında 22(kök altında 22 − 1).
2. kök altında 22(kök altında 22 − 1)kök altında 22 − 1 / = kök altında 22. a) kök altında 22
3. b) m = (kök altında m)² və 5 = (kök altında 5)², ona görə surət kvadratlar fərqidir: m − 5 = (kök altında m − kök altında 5)(kök altında m + kök altında 5).
4. kök altında m − kök altında 5 vuruğu ixtisar olunur. b) kök altında m + kök altında 5

7 · Qayda

Məxrəci irrasionallıqdan azad etmək

Dərslik xatırladır: rasional ədədlə irrasional ədədin cəmi, fərqi, hasili (0-a vurmadan başqa) və nisbəti irrasionaldır. İki irrasional ədədin hasili isə rasional ola bilər. Məxrəcdən kökü qovmaq üçün məhz belə bir cüt axtarırıq.

Yadda saxla

a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda

kök altında a · kök altında a = a (kök altında a − kök altında b)(kök altında a + kök altında b) = a − b

kök altında a + kök altında b və kök altında a − kök altında b qoşma irrasional vuruqlar adlanır, kök altında a-nın qoşması isə kök altında a-dır. Məxrəci irrasionallıqdan azad etmək üçün surəti və məxrəci məxrəcin qoşmasına vururuq. Kəsrin qiyməti dəyişmir, çünki onu 1-ə vurmuş oluruq.

Nümunə 7Məxrəcdə bir kök

12kök altında 42 / kəsrinin məxrəcini irrasionallıqdan azad edin.

1. Surəti və məxrəci kök altında 42-yə vururuq: 12kök altında 42kök altında 42 · kök altında 42 / = 12kök altında 4242 / .
2. 12 və 42-ni 6-ya ixtisar edirik. Kök surətdə qalır. 2kök altında 427 /

Qoşma laboratoriyası: kök niyə itir?

Məxrəc kök altında 11 − kök altında 3 olsun. Onu nəyə vuraq ki, kök qalmasın? Vuruğu seç və vurma cədvəlinə bax: hər xana bir hədd verir.

kök altında 11 − kök altında 3 ifadəsini nəyə vuraq?

kök altında 11 kök altında 11 − kök altında 3 kök altında 11 + kök altında 3

Məxrəc (√11 − √3) seçilmiş vuruğa vurulur

× kök altında 11: kök altında 11 · kök altında 11 = 11 rasionaldır, amma −kök altında 3 · kök altında 11 = −kök altında 33 qalır. Məxrəc 11 − kök altında 33 olur, kök yenə var.

× (kök altında 11 − kök altında 3): bu, fərqin kvadratıdır. İki orta hədd eyni işarəlidir və toplanır: 11 − 2kök altında 33 + 3 = 14 − 2kök altında 33. Kök qalır.

× (kök altında 11 + kök altında 3): orta hədlər +kök altında 33 və −kök altında 33 əks işarəlidir və bir-birini silir. Qalan 11 − 3 = 8-dir: kök yoxdur. Bu, qoşma ifadədir.

Qoşmada ikinci hədd yalnız işarəsini dəyişir. Ona görə çarpaz hasillər bərabər, işarələri isə əksdir. Yalnız kvadratlar qalır: (kök altında a)² − (kök altında b)² = a − b.

Nümunə 8İki kökün fərqi

6kök altında 11 − kök altında 3 / kəsrinin məxrəcini irrasionallıqdan azad edin.

1. Surəti və məxrəci qoşmaya, kök altında 11 + kök altında 3-ə vururuq: 6(kök altında 11 + kök altında 3)(kök altında 11 − kök altında 3)(kök altında 11 + kök altında 3) / .
2. Məxrəc: 11 − 3 = 8. 6 və 8-i 2-yə ixtisar edirik. 3(kök altında 11 + kök altında 3)4 /
3. Yoxlama (geri vurma): 3(kök altında 11 + kök altında 3)4 / · (kök altında 11 − kök altında 3) = 3 · 84 / = 6 ✓

Nümunə 9Tam ədəd və kök

136 − kök altında 23 / kəsrinin məxrəcini irrasionallıqdan azad edin.

1. 6 − kök altında 23-ün qoşması 6 + kök altında 23-dür: 13(6 + kök altında 23)6² − (kök altında 23)² / = 13(6 + kök altında 23)36 − 23 / .
2. Məxrəc 13-dür və surətdəki 13 ilə ixtisar olunur. 6 + kök altında 23
3. Yoxlama: (6 + kök altında 23)(6 − kök altında 23) = 36 − 23 = 13 ✓

8 · Diqqət

Altı tipik səhv

Kökaltıları toplamaq

kök altında 44 + kök altında 99 = kök altında 143

Köklər toplananda kökaltılar toplanmır.

Düzgün

2kök altında 11 + 3kök altında 11 = 5kök altında 11

Əvvəl çıxar, sonra oxşar kökləri topla.

Mənfi vuruq kök altında

−6kök altında 3 = kök altında −108

Mənfi ədədin hesabi kökü yoxdur.

Düzgün

−6kök altında 3 = −kök altında 108

«−» kökün qarşısında qalır, kök altına yalnız 6 girir.

Kvadrat unudulub

4kök altında 17 = kök altında 68

kök altında 68 = 2kök altında 17 olar, 4kök altında 17 yox.

Düzgün

4kök altında 17 = kök altında 16 · 17 = kök altında 272

Kök altına a deyil, a² girir.

Yalnız məxrəc vurulub

3kök altında 11 / = 311 /

Surət vurulmasa, kəsrin qiyməti dəyişir.

Düzgün

3kök altında 11 / = 3kök altında 1111 /

Surət də, məxrəc də kök altında 11-ə vurulur.

Orta hədd unudulub

(kök altında 11 − 3)² = 11 − 9 = 2

(x − y)² ≠ x² − y².

Düzgün

11 − 6kök altında 11 + 9 = 20 − 6kök altında 11

Orta hədd: 2 · kök altında 11 · 3 = 6kök altında 11.

Bir hədd bölünüb

16 − 4kök altında 314 / = 4 − 4kök altında 31

Məxrəcə surətin hər bir həddi bölünür.

Düzgün

4(4 − kök altında 31)4 / = 4 − kök altında 31

Əvvəl ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxar.

9 · Həyatda

Kafelin tərəfi diaqonala görə

Usta kvadrat kafeli diaqonalı boyunca ölçüb: 90 sm. Kafelin tərəfi neçə santimetrdir?

Kafelin diaqonalı üzərində kvadrat

Dörd kafelin diaqonalları maili kvadrat qurur. O, 4 yarım-kafeldən (1–4), yəni 2 kafeldən ibarətdir. Deməli, d² = 2x².

Tərəf x olsun. Şəkildən: d² = 2x², yəni d = kök altında 2x² = xkök altında 2 (x > 0). Onda xkök altında 2 = 90 və

x = 90kök altında 2 / = 90kök altında 22 / = 45kök altında 2 ≈ 63,6 sm

Niyə məxrəcdən kökü qovduq? kök altında 2 ≈ 1,414 olduğu üçün 90 : 1,414 bölməsini əl ilə aparmaq çətindir. 45 · 1,414 ≈ 63,6 vurması isə asandır. Kalkulyator olmayan vaxtlarda bu çevirmə məhz buna görə lazım idi. İndi də cavabı sadə yazır.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan kök altında 392 ədədində vuruğu kök işarəsi altından çıxarın. Cavab variantları 2kök altında 14 14kök altında 2 196kök altında 2 28kök altında 2 Düzdür! 392 = 196 · 2 və kök altında 196 = 14. Yox. 392-də ən böyük tam kvadrat vuruğu tap və onun kökünü çıxar; kök altında tam kvadrat qalmamalıdır. Həllə bax 392 = 2 · 2 · 2 · 7 · 7 = 196 · 2, kök altında 392 = kök altında 196 · kök altında 2 = 14kök altında 2. 2kök altında 14 vuruqların yerini dəyişir (bu kök altında 56-dır). 196kök altında 2-də 196-nın kökü alınmayıb. 28kök altında 2 isə 392 = 4 · 49 · 2 ayırmasında 4-ü kökdən 4 kimi çıxarır, halbuki kök altında 4 = 2-dir.
2. Asan −3kök altında 22 ifadəsində vuruğu kök işarəsi altına salın. Cavab variantları kök altında 198 kök altında −198 −kök altında 198 −kök altında 66 Düzdür! 3² · 22 = 198, «−» isə qarşıda qalır. Yox. Kök altına yalnız müsbət 3 girir və kvadrata yüksəlir; «−» kökün qarşısında qalır. Həllə bax −3kök altında 22 = −1 · kök altında 9 · 22 = −kök altında 198. kök altında 198 müsbətdir, işarə itib. kök altında −198 mənasızdır. −kök altında 66-da 3 kvadrata yüksəldilməyib.
3. Orta Sadələşdirin: kök altında 76 + kök altında 171 − kök altında 19. Cavab variantları kök altında 228 6kök altında 19 5kök altında 19 4kök altında 19 Əla! 2kök altında 19 + 3kök altında 19 − kök altında 19 = 4kök altında 19. Yox. Hər kökdə vuruğu çıxar (76 = 4 · 19, 171 = 9 · 19), sonra əmsalları işarələri ilə topla; kök altında 19-un əmsalı 1-dir. Həllə bax kök altında 76 = 2kök altında 19, kök altında 171 = 3kök altında 19, ona görə (2 + 3 − 1)kök altında 19 = 4kök altında 19. kök altında 228 kökaltıları toplamaqdan gəlir. 6kök altında 19-də −kök altında 19 toplanıb. 5kök altında 19-də isə kök altında 19 heç nəzərə alınmayıb.
4. Orta a = 7kök altında 5 və b = 5kök altında 10 ədədlərini müqayisə edin. Cavab variantları a > b a < b a = b Düzdür! kök altında 245 < kök altında 250. Yox. Böyük əmsal həlledici deyil: hər iki əmsalı kök altına sal və kökaltıları müqayisə et. Həllə bax a = kök altında 49 · 5 = kök altında 245, b = kök altında 25 · 10 = kök altında 250. 245 < 250 olduğu üçün a < b.
5. Çətin 6kök altında 17 + kök altında 11 / kəsrinin məxrəcini irrasionallıqdan azad edin. Cavab variantları kök altında 17 − kök altında 11 kök altında 17 + kök altında 11 kök altında 17 − kök altında 116 / 3(kök altında 17 − kök altında 11)14 / Əla! Məxrəc 17 − 11 = 6 olur və surətdəki 6 ilə ixtisar olunur. Yox. Qoşma ifadəni seç (işarəni dəyiş), surəti də vur və məxrəcdə a − b-ni hesabla. Həllə bax 6(kök altında 17 − kök altında 11)(kök altında 17 + kök altında 11)(kök altında 17 − kök altında 11) / = 6(kök altında 17 − kök altında 11)17 − 11 / = kök altında 17 − kök altında 11. kök altında 17 + kök altında 11 cavabında işarə dəyişdirilməyib. kök altında 17 − kök altında 116 / -da surətdəki 6 unudulub. Sonuncuda məxrəc 17 + 11 = 28 yazılıb.
6. Çətin (kök altında 29 − 2)² + 4kök altında 29 ifadəsinin qiymətini tapın. Cavab variantları 25 + 4kök altında 29 33 + 2kök altında 29 33 33 + 8kök altında 29 Düzdür! −4kök altında 29 və +4kök altında 29 bir-birini silir. Yox. (x − y)² = x² − 2xy + y²: orta hədd −2 · kök altında 29 · 2 = −4kök altında 29-dur. Həllə bax (kök altında 29 − 2)² = 29 − 4kök altında 29 + 4 = 33 − 4kök altında 29. Üstəgəl 4kök altında 29: 33. 25 + 4kök altında 29 orta həddi unudub (29 − 4). 33 + 2kök altında 29 orta həddi −2kök altında 29 yazıb. 33 + 8kök altında 29 isə onun işarəsini «+» götürüb.

Yekun

Yadda qalanlar

• kök altında a²b = akök altında b (a ≥ 0)Ən böyük tam kvadratı çıxar. Kök altına salanda əmsalı kvadrata yüksəlt, mənfi vuruqda «−» qarşıda qalsın.
• akök altında b + ckök altında b = (a + c)kök altında bYalnız oxşar köklər toplanır. Müqayisə üçün əmsalları kök altına sal.
• (kök altında a − kök altında b)(kök altında a + kök altında b) = a − bMəxrəci qoşmaya vur: orta hədlər silinir, kök məxrəcdən çıxır. Surəti də vurmağı unutma.

Növbəti mövzu: 3.6 Tam üstlü qüvvət

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi», səh. 24–27. Qaydalar və terminlər dərslikdəndir; nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.