Şəkildə y = x³ funksiyasının qrafiki verilmişdir. Qrafik, absis oxu və x = 2 düz xətti ilə hüdudlanan fiqur ştrixlənmişdir. Koordinat müstəvisində y = x³ əyrisi koordinat başlanğıcından keçir və sağa doğru sürətlə yüksəlir. x = 0 ilə x = 2 arasında əyri ilə absis oxu arasındakı hissə ştrixlənib; x = 2 düz xətti əyrini (2; 8) nöqtəsində kəsir. Ştrixlənmiş fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

y = x³ qrafikinin [0; 2] parçasında əhatə etdiyi sahə — Sual · 6.54 Əyrinin əhatə etdiyi sahə

Mətn

Şəkildə y = x³ funksiyasının qrafiki verilmişdir. Qrafik, absis oxu və x = 2 düz xətti ilə hüdudlanan fiqur ştrixlənmişdir.

Koordinat müstəvisində y = x³ əyrisi koordinat başlanğıcından keçir və sağa doğru sürətlə yüksəlir. x = 0 ilə x = 2 arasında əyri ilə absis oxu arasındakı hissə ştrixlənib; x = 2 düz xətti əyrini (2; 8) nöqtəsində kəsir.

Ştrixlənmiş fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

İzahı göstər

İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə

y = x³ qrafikinin [0; 2] parçasında əhatə etdiyi sahə

Əsas fikir

Ştrixlənmiş fiqur y = x³ qrafiki, absis oxu, x = 0 və x = 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış əyrixətli trapesiyadır: [0; 2] parçasında x³ ≥ 0 və funksiya kəsilməzdir.

Sahə F(b) − F(a) fərqi ilə hesablanır. Burada F funksiyası f-in ibtidai funksiyasıdır, yəni F′(x) = f(x).

S = ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

y = x³ qrafiki altında [0; 2] parçasında ştrixlənmiş fiqur

Əyri (2; 8) nöqtəsinə qalxır, amma sahə bu hündürlükdən xeyli kiçikdir: fiqur 2 × 8 düzbucaqlısının yalnız bir hissəsini tutur.

Addım-addım həll

Sərhədləri oxuyuruq: fiqur x = 0-dan (əyri absis oxuna orada çatır) x = 2-yə qədər uzanır. Deməli, a = 0, b = 2.
İbtidai funksiyanı tapırıq: (x⁴/4)′ = x³, deməli F(x) = x⁴/4.
Sərhədlərdə qiymətləri hesablayırıq: F(2) = 16/4 = 4, F(0) = 0.
Fərqi alırıq: S = F(2) − F(0) = 4 − 0 = 4 kv. vahid.

Cavab: S = 4 kv. vahid

Yoxlama

Uclarını (0; 0) və (2; 8) nöqtələrində birləşdirən parça əyridən yuxarıda qalır. Ona görə də sahə tərəfləri 2 və 8 olan düzbucaqlı üçbucağın sahəsindən kiçikdir: S < ½ · 2 · 8 = 8. 4 < 8 olduğu üçün cavab ağlabatandır.

Niyə digər cavablar səhvdir

8— Bu, x = 2-dəki hündürlükdür (2³ = 8) və ya üçbucağın sahəsidir. Əyri bu üçbucağın hipotenuzundan aşağıda qalır, ona görə sahə daha kiçikdir.
16— Burada x⁴ dördə bölünməyib. Halbuki (x⁴)′ = 4x³ olur, x³ yox.
12— Bu, törəmənin qiymətidir: (x³)′ = 3x², x = 2-də 12. Sahə üçün törəmə yox, ibtidai funksiya lazımdır.
2— Burada qüvvət səhv götürülüb: x²/2 ifadəsi x-in ibtidai funksiyasıdır, x³-un yox.

Oxşar tapşırıqda

xⁿ funksiyasının ibtidai funksiyası xⁿ⁺¹/(n + 1)-dir. Cavabı həmişə yoxlayın: əyrixətli trapesiyanın sahəsi onu örtən düzbucaqlının sahəsindən böyük ola bilməz.

Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 242 (çap 240), s. 244 (çap 242).