f(x) = x² + 1 funksiyasının [0; 2] parçasında əhatə etdiyi sahəni təqribi hesablamaq üçün parça 4 bərabər hissəyə bölünür. Hər hissədə hündürlüyü həmin hissənin sağ ucundakı funksiya qiymətinə bərabər olan düzbucaqlı qurulur. y = x² + 1 əyrisi altında [0; 2] parçası 0; 0,5; 1; 1,5; 2 nöqtələri ilə dörd bərabər hissəyə bölünüb. Hər hissədə yuxarı sağ küncü əyrinin üzərində olan düzbucaqlı çəkilib; düzbucaqlılar əyridən bir az yuxarı çıxır. Bu dörd düzbucaqlının sahələri cəmini tapın.

Sahəni düzbucaqlılarla təqribi hesablamaq: sağ uc qiymətləri — Sual · 6.54 Əyrinin əhatə etdiyi sahə

Mətn

f(x) = x² + 1 funksiyasının [0; 2] parçasında əhatə etdiyi sahəni təqribi hesablamaq üçün parça 4 bərabər hissəyə bölünür. Hər hissədə hündürlüyü həmin hissənin sağ ucundakı funksiya qiymətinə bərabər olan düzbucaqlı qurulur.

y = x² + 1 əyrisi altında [0; 2] parçası 0; 0,5; 1; 1,5; 2 nöqtələri ilə dörd bərabər hissəyə bölünüb. Hər hissədə yuxarı sağ küncü əyrinin üzərində olan düzbucaqlı çəkilib; düzbucaqlılar əyridən bir az yuxarı çıxır.

Bu dörd düzbucaqlının sahələri cəmini tapın.

İzahı göstər

İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə

Sahəni düzbucaqlılarla təqribi hesablamaq: sağ uc qiymətləri

Əsas fikir

Əyrinin əhatə etdiyi sahəni təqribi tapmaq üçün [a; b] parçası uzunluğu Δx = (b − a)/n olan n bərabər hissəyə bölünür. Hər hissədə eni Δx, hündürlüyü f(xᵢ) olan düzbucaqlı qurulur.

Bu düzbucaqlıların sahələri cəmi pilləvari fiqurun sahəsidir və inteqral cəmi adlanır. Hündürlük üçün hissənin sol və ya sağ ucundakı qiymət seçilir.

Sₙ = f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + … + f(xₙ)Δx

y = x² + 1 altında sağ uc qiymətləri ilə dörd düzbucaqlı

Funksiya artandır, ona görə sağ uc qiymətləri ilə qurulan düzbucaqlılar əyridən yuxarı çıxır. Onların sahələri cəmi dəqiq sahədən böyükdür.

Addım-addım həll

Hissənin uzunluğunu tapırıq: Δx = (2 − 0)/4 = 0,5.
Bölgü nöqtələri 0; 0,5; 1; 1,5; 2-dir. Hissələrin sağ ucları: 0,5; 1; 1,5; 2.
Hündürlükləri hesablayırıq: f(0,5) = 1,25; f(1) = 2; f(1,5) = 3,25; f(2) = 5.
Hündürlükləri toplayırıq: 1,25 + 2 + 3,25 + 5 = 11,5.
Hər düzbucaqlının eni 0,5 olduğu üçün cəmi Δx-ə vururuq: S₄ = 11,5 · 0,5 = 5,75.

Cavab: S₄ = 5,75

Yoxlama

Dəqiq sahə ∫₀²(x² + 1)dx = 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4,67-dir. Sol uc qiymətləri ilə cəm (1 + 1,25 + 2 + 3,25) · 0,5 = 3,75 alınır. Artan funksiya üçün 3,75 < 4,67 < 5,75 olmalıdır, belə də çıxır. Sağ uc cəmi dəqiq sahəni təqribən 1,08 qədər artıq göstərir.

Niyə digər cavablar səhvdir

3,75— Bu, sol uc qiymətləri ilə cəmdir: f(0), f(0,5), f(1), f(1,5). Şərt isə sağ ucları tələb edir.
11,5— Bu, yalnız hündürlüklərin cəmidir. Hər düzbucaqlının sahəsi hündürlük × Δx olduğu üçün cəm 0,5-ə vurulmalıdır.
4⅔— Bu, sahənin dəqiq qiymətidir (inteqral). Soruşulan isə dörd düzbucaqlının təqribi cəmidir.
2,875— Burada Δx = 0,25 götürülüb. Halbuki Δx = (b − a)/n = 2/4 = 0,5-dir.

Oxşar tapşırıqda

Əvvəlcə Δx-i tapın, sonra hansı ucların istifadə olunduğunu yazın, hündürlükləri toplayıb Δx-ə vurun. Artan funksiyada sağ uc cəmi sahəni artıq, sol uc cəmi isə əskik göstərir.

Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 235 (çap 233), s. 236 (çap 234), s. 237 (çap 235).