y = eˣ + 1 funksiyasının qrafiki, absis oxu, x = 0 və x = ln 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
İzahı göstər
İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə
y = eˣ + 1 qrafikinin [0; ln 2] parçasında əhatə etdiyi sahə
Əsas fikir
eˣ + 1 > 0 və funksiya kəsilməzdir, ona görə verilmiş fiqur əyrixətli trapesiyadır. Onun sahəsi S = F(ln 2) − F(0) fərqinə bərabərdir.
Üstlü funksiyanın xassəsi: (eˣ)′ = eˣ, deməli, eˣ özünün ibtidai funksiyasıdır. Sabit 1-in ibtidai funksiyası x-dir.
∫(eˣ + 1)dx = eˣ + x + C
y = eˣ + 1 altında [0; ln 2] parçasında əyrixətli trapesiya
Fiqurun eni ln 2 ≈ 0,69-dur, hündürlüyü x = 0-da 2-dən x = ln 2-də 3-ə qədər artır.
Addım-addım həll
- İbtidai funksiyanı yazırıq: F(x) = eˣ + x, çünki (eˣ + x)′ = eˣ + 1.
- Yuxarı sərhəddə: F(ln 2) = e^(ln 2) + ln 2 = 2 + ln 2.
- Aşağı sərhəddə: F(0) = e⁰ + 0 = 1.
- Fərqi alırıq: S = (2 + ln 2) − 1 = 1 + ln 2 ≈ 1,69 kv. vahid.
Cavab: S = 1 + ln 2 ≈ 1,69 kv. vahid
Yoxlama
Eni ln 2 ≈ 0,693 olan iki düzbucaqlıya baxaq. Hündürlüyü f(0) = 2 olan fiqurun içində qalır, hündürlüyü f(ln 2) = 3 olan isə onu örtür. Deməli, 2 · 0,693 ≈ 1,39 < S < 3 · 0,693 ≈ 2,08. 1,69 bu aralıqdadır.
Niyə digər cavablar səhvdir
- 2 + ln 2— Burada F(0) çıxılmayıb, çünki e⁰ sıfır sayılıb. Halbuki e⁰ = 1-dir.
- 1— Bu, yalnız eˣ hissəsinin sahəsidir: 2 − 1. Toplanan 1-in verdiyi ln 2 hissəsi itib.
- ln 2— Bu, yalnız hündürlüyü 1 olan zolağın sahəsidir. eˣ hissəsinin verdiyi 1 əlavə olunmayıb.
- 3— Bu, x = ln 2-də fiqurun hündürlüyüdür: f(ln 2) = 3. Sahə hündürlük deyil.
Oxşar tapşırıqda
eˣ ilə işləyəndə iki qiyməti yadda saxlayın: e⁰ = 1 və e^(ln a) = a. F(a) qiymətini heç vaxt sıfır saymayın, onu hesablayın.
Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 242 (çap 240), s. 241 (çap 239).