y = 1 + sin x qrafikinin [0; π] parçasında əhatə etdiyi sahə

İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə

y = 1 + sin x qrafikinin [0; π] parçasında əhatə etdiyi sahə

Əsas fikir

[0; π] parçasında sin x ≥ 0, ona görə 1 + sin x ≥ 1 > 0. Funksiya kəsilməzdir və fiqur əyrixətli trapesiyadır.

sin x-in ibtidai funksiyası −cos x-dir, çünki (−cos x)′ = sin x. Deməli, 1 + sin x üçün F(x) = x − cos x.

S = F(π) − F(0), F(x) = x − cos x

y = 1 + sin x altında [0; π] parçasında fiqur

Fiqur iki hissədən ibarətdir: hündürlüyü 1, eni π olan zolaq və onun üstündə sinusun «təpəsi».

Addım-addım həll

1. İbtidai funksiya: F(x) = x − cos x, çünki (x − cos x)′ = 1 + sin x.
2. Yuxarı sərhəddə: F(π) = π − cos π = π − (−1) = π + 1.
3. Aşağı sərhəddə: F(0) = 0 − cos 0 = −1.
4. Fərqi alırıq: S = (π + 1) − (−1) = π + 2 ≈ 5,14 kv. vahid.

Cavab: S = π + 2 ≈ 5,14 kv. vahid

Yoxlama

Fiqurun aşağı zolağı π × 1 düzbucaqlısıdır, sahəsi π-dir. Üst hissə sin x qrafikinin [0; π] parçasında əhatə etdiyi sahədir: −cos π + cos 0 = 2. Cəmi π + 2 alınır. Sahə həm də π · 1 ≈ 3,14 ilə π · 2 ≈ 6,28 arasında olmalıdır, 5,14 bu aralıqdadır.

Niyə digər cavablar səhvdir

• π − 2— Burada ibtidai funksiya x + cos x götürülüb. Halbuki (cos x)′ = −sin x olduğu üçün sin x-in ibtidai funksiyası −cos x-dir.
• π + 1— Bu, yalnız F(π)-dir. Aşağı sərhəddəki F(0) = −1 çıxılmayıb, mənfini çıxmaq isə 1 əlavə edir.
• π— Bu, yalnız 1 toplananının sahəsidir, yəni π × 1 zolağı. sin x hissəsi unudulub.
• 2— Bu, yalnız sin x hissəsinin sahəsidir. Altındakı π × 1 zolağı əlavə olunmayıb.

Oxşar tapşırıqda

Triqonometrik ibtidai funksiyalarda işarəyə diqqət edin: ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C. cos π = −1 qiymətini mötərizədə yazın ki, iki mənfi işarə itməsin.

Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 241–242 (çap 239–240).