Tənlikləri verilmiş iki müstəvi arasındakı bucaq

1 · Əsas fikir

Müstəvilər arasındakı bucaq — normallar arasındakı bucaq

Qayda

Normalları n₁ və n₂ olan iki müstəvi arasındakı θ bucağı:

cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)

Surətdə modul olduğu üçün cos θ ≥ 0, yəni müstəvilər arasındakı bucaq 0°-dən 90°-yə qədərdir. Vektorun uzunluğu: |n| = √(a² + b² + c²).

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələTənlikləri verilmiş iki müstəvi arasındakı bucaq

x + 2y + 2z − 3 = 0 və x − 4y − z + 5 = 0 müstəviləri arasındakı bucağı tapın.

1. Normallar: n₁(1; 2; 2), n₂(1; −4; −1).
2. Skalyar hasil: n₁ · n₂ = 1·1 + 2·(−4) + 2·(−1) = 1 − 8 − 2 = −9; modulu 9.
3. Uzunluqlar: |n₁| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3; |n₂| = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2.
4. Kosinus: cos θ = 9 / (3 · 3√2) = 9 / (9√2) = 1/√2 = √2/2 ⇒ θ = 45°.

Cavab: 45°

İki müstəvi arasındakı bucaq

Müstəvilər arasındakı θ bucağı onların normalları arasındakı bucaqla ölçülür (modul ilə: 0° ≤ θ ≤ 90°).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

cos 45° = √2/2 ≈ 0,707, 9/(9√2) ≈ 0,707 ✓. Modul sayəsində kosinus müsbətdir və bucaq 90°-dən kiçikdir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

cos θ = −√2/2 ⇒ 135°

Skalyar hasilin modulu götürülməyib.

Düzgün

cos θ = |−9| / (9√2) = √2/2

Müstəvilər arasındakı bucaq 0°–90° aralığındadır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 135° — Düsturdakı modul unudulub: cos θ = −9/(9√2) = −√2/2. Müstəvilər arasındakı bucaq üçün |n₁ · n₂| götürülür, ona görə bucaq 90°-dən böyük olmur.
• 60° — Məxrəcə |n₁| · |n₂| = 3 · 3√2 = 9√2 əvəzinə |n₂|² = 18 yazılıb: 9/18 = 1/2.
• arccos(1/6) — |n₂| = √18 əvəzinə 18 götürülüb (kök alınmayıb): 9/(3 · 18) = 1/6.
• arccos(1/3) — Məxrəcdə uzunluqlar vurulmaq əvəzinə kvadratları toplanıb: 9 + 18 = 27, 9/27 = 1/3.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61, bucaq düsturu və tapşırıq 14. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.