Şəkildə verilmiş müstəvi ilə ikinci müstəvi arasındakı bucaq

1 · Əsas fikir

Müstəvilər arasındakı bucaq

Qayda

Normalları n₁ və n₂ olan iki müstəvi arasındakı θ bucağı:

cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)

Surətdə modul olduğu üçün cos θ ≥ 0, yəni müstəvilər arasındakı bucaq 0°-dən 90°-yə qədərdir. Vektorun uzunluğu: |n| = √(a² + b² + c²).

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələŞəkildə verilmiş müstəvi ilə ikinci müstəvi arasındakı bucaq

α müstəvisi Oy oxuna paraleldir və x, z oxlarını (2; 0; 0), (0; 0; 2) nöqtələrində kəsir. α ilə β: y − z + 3 = 0 arasındakı bucağı tapın.

1. α-nın tənliyinin şəkli. α Oy oxuna paraleldir: y istənilən qiyməti ala bilər, deməli tənlikdə y yoxdur: ax + cz + d = 0.
2. Nöqtələri yerinə yazırıq. (2; 0; 0): 2a + d = 0; (0; 0; 2): 2c + d = 0. Buradan a = c = −d/2. d = −2 götürsək, a = c = 1: α: x + z − 2 = 0, normal (1; 0; 1).
3. β-nın normalı: (0; 1; −1). Skalyar hasil: 1·0 + 0·1 + 1·(−1) = −1; |nα| = √2, |nβ| = √2.
4. Bucaq: cos θ = |−1| / (√2 · √2) = 1/2 ⇒ θ = 60°.

Cavab: 60°

Oy oxuna paralel α müstəvisi

α Oy oxuna paraleldir, ona görə tənliyində y yoxdur: x + z − 2 = 0, normalı (1; 0; 1).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(2; 0; 0): 2 + 0 − 2 = 0 ✓; (0; 0; 2): 0 + 2 − 2 = 0 ✓; (2; 5; 0): y istənilən olduğu üçün o da α-dadır ✓. cos 60° = 1/2 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

x + y + z − 2 = 0

Oy oxuna paralel müstəvinin tənliyinə y yazılıb.

Düzgün

x + z − 2 = 0

Oxa paralel müstəvinin tənliyində o oxun dəyişəni olmur.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 120° — Modul unudulub: nα · nβ = −1, cos θ = −1/2. Müstəvilər arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur.
• 45° — α ilə Oxy müstəvisi (z = 0) arasındakı bucaq tapılıb: (1; 0; 1)·(0; 0; 1) = 1, cos = 1/√2. Sual β ilə bucağı soruşur.
• 90° — α-nın tənliyində y‑in əmsalı 1 götürülüb (x + y + z − 2 = 0): (1; 1; 1)·(0; 1; −1) = 0. Oy oxuna paralel müstəvinin tənliyində y yoxdur.
• 30° — cos θ = 1/2 tapıldıqdan sonra bucaq sinusa görə oxunub: sin 30° = 1/2, amma cos 30° = √3/2. cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61, bucaq düsturu və tapşırıq 14. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.