Mətn
y = (x² + ax + b)/(x − 1) funksiyasının qrafikinin maili asimptotu y = x + 3 düz xəttidir, qrafik y oxunu (0; −2) nöqtəsində kəsir.
Bu funksiyanın x = 2 nöqtəsindəki qiymətini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Maili asimptot = bölmənin qisməti
Qayda
Surətin dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən düz 1 vahid böyükdürsə (m = n + 1), surəti məxrəcə bölürük: f(x) = ax + b + (qalıq)/Q(x). x modulca böyüdükcə kəsr sıfıra yaxınlaşır, qrafik y = ax + b maili asimptotuna sonsuz yaxınlaşır.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələMaili asimptota görə parametrlər
y = (x² + ax + b)/(x − 1) qrafikinin maili asimptotu y = x + 3, y oxu ilə kəsişməsi (0; −2)-dir. f(2)-ni tapın.
- Bölmə. Sintetik bölmə (x − 1 üçün 1): əmsallar 1, a, b → 1; a + 1; b + a + 1. Deməli y = x + (a + 1) + (a + b + 1)/(x − 1).
- a-nı tapırıq. Maili asimptot qismətdir: x + (a + 1) = x + 3 ⇒ a = 2.
- b‑ni tapırıq. f(0) = (0 + 0 + b)/(0 − 1) = −b. Şərtə görə −b = −2 ⇒ b = 2.
- Qiymət. f(x) = (x² + 2x + 2)/(x − 1), f(2) = (4 + 4 + 2)/(2 − 1) = 10.
Cavab: 10
Sintetik bölmə (a = 2, b = 2)
| 1 | x² | x | sərbəst |
|---|---|---|---|
| əmsallar | 1 | 2 | 2 |
| əlavə | 1 | 3 | |
| nəticə | 1 | 3 | 5 (qalıq) |
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
(x − 1)(x + 3) + 5 = x² + 2x − 3 + 5 = x² + 2x + 2 ✓ ⇒ maili asimptot y = x + 3. f(0) = 2/(−1) = −2 ✓. Hər iki şərt ödənir, f(2) = 10.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
qismət = x + a
x − 1‑ə bölmədə a-ya 1 əlavə olunur.
Düzgün
qismət = x + a + 1
Sintetik bölmə ilə hesablanır.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 12 — Maili asimptot x + a kimi götürülüb (a = 3). Bölmədə qismət x + (a + 1) alınır, çünki x − 1‑ə bölürük: a + 1 = 3 ⇒ a = 2.
- 6 — b = f(0) götürülüb (b = −2). Amma f(0) = b/(0 − 1) = −b, deməli −b = −2 ⇒ b = 2.
- 8 — İki səhv birlikdə: a = 3 (qismət x + a sanılıb) və b = −2 (məxrəcdəki −1 nəzərə alınmayıb). Onda (4 + 6 − 2)/1 = 8.
- 14 — Sintetik bölmədə 1 əvəzinə −1 yazılıb: x + 1‑ə bölməkdə qismət x + a − 1 olur ⇒ a = 4. Məxrəc x − 1‑dir.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Rasional funksiya», səh. 29–31.