Tənliyinə görə sferanın mərkəzi və radiusu

1 · Əsas fikir

Tənlikdən mərkəz və radius

Qayda

Mərkəzi M(x₀; y₀; z₀), radiusu r olan sfera M‑dən r məsafədə olan bütün nöqtələrdir. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturundan:

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²

Mötərizədə mərkəzin koordinatı çıxılır: x₀ = 3 olarsa (x − 3)², x₀ = −2 olarsa (x + 2)². Sağ tərəfdə radiusun kvadratı durur. Mərkəz koordinat başlanğıcında olarsa: x² + y² + z² = r².

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələTənliyinə görə sferanın mərkəzi və radiusu

(x + 4)² + (y − 1)² + z² = 20 sferasının mərkəzini və radiusunu tapın.

1. Hər mötərizəni «x − x₀» şəklinə salırıq. (x + 4)² = (x − (−4))² ⇒ x₀ = −4.
2. y və z üçün. (y − 1)² ⇒ y₀ = 1; z² = (z − 0)² ⇒ z₀ = 0. Mərkəz M(−4; 1; 0).
3. Radius. Sağ tərəf radiusun kvadratıdır: r² = 20 ⇒ r = √20 = √(4 · 5) = 2√5.

Cavab: M(−4; 1; 0), r = 2√5

Tənliyin oxunuşu

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(−4; 1 + 2√5; 0) nöqtəsini yoxlayaq: 0 + (2√5)² + 0 = 4 · 5 = 20 ✓. Deməli, M‑dən 2√5 məsafədəki nöqtə sferanın üzərindədir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

r = 20

Tənliyin sağ tərəfini radius saymaq.

Düzgün

r = √20 = 2√5

Sağ tərəf r²-dir; radius onun kvadrat köküdür.

Digər cavablar niyə səhvdir

• M(4; −1; 0), r = 2√5 — Mərkəzin işarələri mötərizədəki kimi götürülüb. (x + 4)² = (x − (−4))², deməli x₀ = −4; (y − 1)² ⇒ y₀ = 1.
• M(−4; 1; 0), r = 20 — Sağ tərəfdəki 20 radiusun kvadratıdır: r² = 20, r = √20 = 2√5.
• M(−4; 1; 0), r = 10 — 20 ikiyə bölünüb. Radius r² = 20‑dən kvadrat kök almaqla tapılır: √20 = 2√5 ≈ 4,47.
• M(4; −1; 0), r = 20 — İki səhv birlikdə: mərkəzin işarələri dəyişməyib və r² radiusun özü kimi götürülüb.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, Tərif.