Mətn
Sferanın mərkəzi M(3; −2; 1) nöqtəsində, radiusu r = 4-dür.
Bu sferanın tənliyini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Sferanın tənliyi
Qayda
Mərkəzi M(x₀; y₀; z₀), radiusu r olan sfera M‑dən r məsafədə olan bütün nöqtələrdir. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturundan:
(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²
Mötərizədə mərkəzin koordinatı çıxılır: x₀ = 3 olarsa (x − 3)², x₀ = −2 olarsa (x + 2)². Sağ tərəfdə radiusun kvadratı durur. Mərkəz koordinat başlanğıcında olarsa: x² + y² + z² = r².
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələMərkəzi və radiusu verilmiş sferanın tənliyi
Mərkəzi M(3; −2; 1), radiusu 4 olan sferanın tənliyini yazın.
- Düsturu yazırıq. (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r².
- Mərkəzi yerinə qoyuruq. x − 3; y − (−2) = y + 2; z − 1.
- Radiusu kvadrata yüksəldirik. r² = 4² = 16.
- Nəticə: (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 16.
Cavab: (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 16
Sferanın mərkəzi və radiusu
Sferanın hər P nöqtəsi M mərkəzindən r məsafədədir: MP² = r².
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
Mərkəz M(3; −2; 1) bütün mötərizələri sıfıra çevirir ✓. M‑dən y oxu istiqamətində 4 vahid uzaqdakı (3; 2; 1) nöqtəsi: 0 + 4² + 0 = 16 ✓ — sferanın üzərindədir.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
(x + 3)² …
Mərkəzin koordinatını mötərizəyə olduğu kimi «+» ilə yazmaq — mərkəz (−3; …) alınır.
Düzgün
(x − x₀)²
Mötərizədə həmişə «x − x₀»; x₀ mənfidirsə, mötərizədə «+» görünür.
Digər cavablar niyə səhvdir
- (x + 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 16 — Mötərizələrdə mərkəzin koordinatları çıxılmaq əvəzinə toplanıb. Bu, mərkəzi (−3; 2; −1) olan sferadır.
- (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 4 — Sağ tərəfdə radiusun özü yazılıb. Tənlikdə r² durur: 4² = 16.
- (x − 3)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 16 — y₀ = −2 olduğu üçün y − (−2) = y + 2 olmalıdır. Bu tənliyin mərkəzi (3; 2; 1)-dir.
- (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 8 — Radius kvadrata yüksəldilmək əvəzinə 2‑yə vurulub: r² = 16, 2r = 8 deyil.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, Tərif və Nümunə 1.