Nöqtələrin sferaya nəzərən vəziyyəti

1 · Əsas fikir

Nöqtə sferanın harasındadır

Qayda

M(x₀; y₀; z₀) mərkəzli, r radiuslu sferaya nəzərən P nöqtəsinin yerini MP² ilə r²-ni müqayisə edib tapırıq:

MP² = (x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)²

MP² = r² ⇒ nöqtə sferanın üzərindədir; MP² < r² ⇒ daxilindədir; MP² > r² ⇒ xaricindədir. Müqayisə r ilə yox, r² ilə aparılır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələNöqtələrin sferaya nəzərən vəziyyəti

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 9 sferasına nəzərən P(2; 0; 5), Q(3; −1; 3), T(−2; −2; 6) nöqtələrinin vəziyyətini müəyyən edin.

1. Mərkəz və r². M(1; −2; 3), r² = 9.
2. Hər nöqtə üçün sol tərəfi hesablayırıq (cədvəl): koordinatları tənliyin sol tərəfinə yazırıq.
3. r² = 9 ilə müqayisə edirik. 9 = 9 ⇒ P üzərində; 5 < 9 ⇒ Q daxilində; 18 > 9 ⇒ T xaricində.

Cavab: P — üzərində, Q — daxilində, T — xaricində

Sol tərəfin qiyməti və r² = 9

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Məsafələr: MP = 3 = r, MQ = √5 ≈ 2,24 < 3, MT = √18 ≈ 4,24 > 3 ✓ — cədvəldəki nəticə ilə üst-üstə düşür.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

5 > 3 ⇒ xaricində

Kvadratların cəmini radiusun özü ilə müqayisə etmək.

Düzgün

5 < 9 ⇒ daxilində

Sol tərəf məsafənin kvadratıdır, ona görə r² ilə müqayisə olunur.

Digər cavablar niyə səhvdir

• P — üzərində, Q — xaricində, T — daxilində — Bərabərsizliklər tərsinə oxunub. MP² < r² olan nöqtə mərkəzə radiusdan yaxındır, yəni daxildədir: Q üçün 5 < 9.
• Hər üç nöqtə sferanın xaricindədir — Kvadratların cəmi r² = 9 ilə yox, r = 3 ilə müqayisə olunub (9, 5, 18 hamısı 3‑dən böyükdür). Müqayisə r² ilə aparılır.
• P — daxilində, Q — daxilində, T — xaricində — P üçün MP² = 9 = r² alınır; bərabərlik nöqtənin sferanın üzərində olduğunu göstərir, daxilində yox.
• P — xaricində, Q — üzərində, T — xaricində — Koordinat fərqləri kvadrata yüksəldilmədən toplanıb və r = 3 ilə müqayisə olunub (5, 3, 6). Məsafə kvadratlarla hesablanır.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, Tərif və tapşırıq 8.