Nöqtədən sferaya qədər ən qısa məsafə

1 · Əsas fikir

Nöqtədən sferaya məsafə

Qayda

P nöqtəsi sferadan kənardadırsa, ona ən yaxın sfera nöqtəsi PM parçasının sferanı kəsdiyi K nöqtəsidir:

PK = PM − r

Əvvəlcə tam kvadrat ayırıb mərkəzi və radiusu tapırıq, sonra PM‑i məsafə düsturu ilə hesablayırıq.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələNöqtədən sferaya qədər ən qısa məsafə

x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z + 5 = 0 sferasına P(8; 1; 6) nöqtəsindən ən qısa məsafəni tapın.

1. Tam kvadrat ayırırıq. (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 4 + 1 + 9 − 5 = 9 ⇒ M(2; −1; 3), r = 3.
2. P‑dən mərkəzə qədər məsafə. PM = √((8 − 2)² + (1 + 1)² + (6 − 3)²) = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7.
3. P sferadan kənardadır, çünki 7 > 3. Ən yaxın nöqtə K PM parçasının üzərindədir.
4. Ən qısa məsafə. PK = PM − r = 7 − 3 = 4.

Cavab: 4

Kənar nöqtədən sferaya ən qısa məsafə

Kənar P nöqtəsindən sferaya ən qısa yol mərkəzə doğru gedir: PK = PM − r.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

K = M + (3/7)·(6; 2; 3) = (32/7; −1/7; 30/7). MK² = (18² + 6² + 9²)/49 = 441/49 = 9 ✓ (K sferanın üzərindədir), PK² = (24² + 8² + 12²)/49 = 784/49 = 16 ⇒ PK = 4 ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

√(PM² − r²) = 2√10

Ən qısa məsafəni toxunan parçasının uzunluğu ilə qarışdırmaq.

Düzgün

PM − r = 4

Ən qısa yol mərkəzə doğru düz xətt üzrədir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 7 — Bu, P‑dən sferanın mərkəzinə qədər olan məsafədir. Sferaya qədər məsafə üçün radiusu çıxmaq lazımdır: 7 − 3 = 4.
• 10 — Radius çıxılmaq əvəzinə toplanıb: 7 + 3 = 10 sferanın P‑dən ən uzaq nöqtəsinə qədər olan məsafədir.
• 7 − √19 — Tam kvadratdan sonra +5 sağ tərəfə işarəsi dəyişmədən keçirilib: r² = 4 + 1 + 9 + 5 = 19. Düzgünü 4 + 1 + 9 − 5 = 9.
• 2√10 — √(PM² − r²) = √(49 − 9) = √40 hesablanıb — bu, P‑dən çəkilmiş toxunan parçasının uzunluğudur, ən qısa məsafə yox.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, tapşırıq 6.