Mərkəzi M(1; −2; 3), radiusu 5 olan sfera; onu mərkəzdən yuxarıda yerləşən üfüqi z = 6 müstəvisi kəsir, kəsik ellips kimi göstərilib. (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25 Şəkildəki sferanı z = 6 müstəvisi kəsir. Sfera ilə z = 6 müstəvisinin kəsişməsindən alınan fiqur hansıdır?

Mərkəzi (1; −2; 3), radiusu 4 olan çevrə

Mərkəzi (1; −2; 6), radiusu √34 olan çevrə

Mərkəzi (1; −2; 6), radiusu 5 olan çevrə

Sferanın müstəvi ilə kəsişməsi — Sual · 6.15 Sferanın tənliyi

Mətn

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25

Şəkildəki sferanı z = 6 müstəvisi kəsir.

Sfera ilə z = 6 müstəvisinin kəsişməsindən alınan fiqur hansıdır?

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qayda

Sferanı z = h müstəvisi ilə kəsmək üçün tənlikdə z əvəzinə h yazırıq (dərslik, Nümunə 2). M mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə d = |h − z₀| olsun:

(x − x₀)² + (y − y₀)² = r² − d²

d < r ⇒ kəsik mərkəzi (x₀; y₀; h), radiusu √(r² − d²) olan çevrədir; d = r ⇒ müstəvi sferaya toxunur; d > r ⇒ ortaq nöqtə yoxdur.

2 · Həll

MəsələSferanın müstəvi ilə kəsişməsi

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25 sferası ilə z = 6 müstəvisinin kəsişməsini tapın.

Mərkəz və radius. M(1; −2; 3), r = 5.
Müstəvi mərkəzdən nə qədər uzaqdadır? d = |6 − 3| = 3 < 5 — müstəvi sferanı kəsir.
z = 6 yazırıq (dərslikdəki Nümunə 2 kimi): (x − 1)² + (y + 2)² + 9 = 25 ⇒ (x − 1)² + (y + 2)² = 16.
Oxuyuruq. z = 6 müstəvisində mərkəzi N(1; −2; 6), radiusu √16 = 4 olan çevrə.

Cavab: Mərkəzi (1; −2; 6), radiusu 4 olan çevrə

Sferanın z = 6 müstəvisi ilə kəsişməsi

z = 6 müstəvisi mərkəzdən 3 vahid uzaqdadır: kəsik çevrənin radiusu √(25 − 9) = 4.

3 · Yoxlama

MNK düzbucaqlı üçbucağında MN = 3, NK = 4, MK = r = 5: 3² + 4² = 25 ✓. Çevrənin (5; −2; 6) nöqtəsi sferanın üzərindədir: 16 + 0 + 9 = 25 ✓.

4 · Diqqət

Səhv yanaşma

6 > 5 ⇒ kəsmir

Müstəvinin tənliyindəki ədədi radiusla müqayisə etmək.

Düzgün

|6 − 3| = 3 < 5

Mərkəzdən müstəviyə qədər məsafəni radiusla müqayisə edirik.

Digər cavablar niyə səhvdir

Mərkəzi (1; −2; 6), radiusu 5 olan çevrə — Kəsik çevrənin radiusu sferanın radiusu ilə eyni götürülüb. Bu, yalnız müstəvi mərkəzdən keçəndə (böyük çevrə) doğrudur; burada mərkəzdən məsafə 3‑dür.
Mərkəzi (1; −2; 3), radiusu 4 olan çevrə — Çevrənin mərkəzi sferanın mərkəzi götürülüb. Kəsik z = 6 müstəvisinin üzərindədir, ona görə onun mərkəzinin z‑koordinatı 6‑dır.
Mərkəzi (1; −2; 6), radiusu √34 olan çevrə — z = 6 yazanda (6 − 3)² = 9 sağ tərəfə əlavə olunub: 25 + 9 = 34. Düzgünü 25 − 9 = 16.
Müstəvi sferanı kəsmir — 6 radius 5 ilə müqayisə olunub. Müqayisə mərkəzdən müstəviyə qədər olan məsafə ilə aparılır: |6 − 3| = 3 < 5, müstəvi sferanı kəsir.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, Nümunə 2 və sferaya toxunan müstəvi.