a + b = 5, ab = 4 olduqda a³ + b³-u tapmaq

1 · Əsas fikir

Natamam kvadratı a + b və ab ilə ifadə edirik

Əsas fikir

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

İki ifadənin kublarının cəmi bu ifadələrin cəmi ilə onların fərqinin natamam kvadratının hasilinə, kublarının fərqi isə bu ifadələrin fərqi ilə onların cəminin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir. Natamam kvadratda orta hədd ab-dir (2ab yox), onun işarəsi isə ikihədli vuruqdakı işarənin əksidir. Əvvəlcə hər həddi kub şəklində yazırıq: 8 = 2³, 27x³ = (3x)³.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqa + b = 5, ab = 4 olduqda a³ + b³-u tapmaq

a + b = 5 və ab = 4 olarsa, a³ + b³ ifadəsinin qiymətini tapın.

1. Kublar cəmi düsturu: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
2. Natamam kvadratı a + b və ab ilə yazırıq: a² + b² = (a + b)² − 2ab = 25 − 8 = 17, ona görə a² − ab + b² = 17 − 4 = 13.
3. Hasil: a³ + b³ = 5 · 13 = 65.
4. Cavab: a³ + b³ = 65

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a + b = 5 və ab = 4 şərtlərini a = 1, b = 4 ödəyir: 1³ + 4³ = 1 + 64 = 65. Başqa yol (dərslikdəki Araşdırma 1): a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 60 = 65.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 125Bu, (a + b)³ = 5³-dur. a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b), ona görə 3 · 4 · 5 = 60 çıxılmalıdır: 125 − 60 = 65.
• 105Natamam kvadrat (a + b)² − ab = 25 − 4 = 21 kimi götürülüb. a² + b² = (a + b)² − 2ab olduğundan a² − ab + b² = 25 − 3 · 4 = 13.
• 8517 = a² + b²-dir (25 − 8). Natamam kvadratda ab də çıxılır: a² − ab + b² = 17 − 4 = 13, ona görə cavab 5 · 13 = 65.
• 185İşarə səhvdir: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b), ona görə 3ab(a + b) = 60 toplanmır, çıxılır: 125 − 60 = 65.