Kubların cəmi və fərqi: min birin sirri

Mətn (transkript)

Bir vərəq kağız götürün və istənilən üçrəqəmli ədəd yazın. Məsələn, iki yüz əlli yeddi. İndi onun yanına eyni ədədi bir də yazın. Altırəqəmli bir ədəd alındı: iki yüz əlli yeddi min, iki yüz əlli yeddi. Bu ədəd yeddiyə qalıqsız bölünür. On birə də bölünür. On üçə də bölünür. Başqa ədədlə yoxlayaq. Üç yüz səksən altı yazın və onu yan-yana bir də təkrarlayın. Bu ədəd də yeddiyə, on birə və on üçə qalıqsız bölünür. Bu, fokus kimi görünür, amma arxasında cəbr dayanır. Bəs niyə hər dəfə belə olur? Bu dərsin sonunda sirri açacağıq. Sirrin açarı isə bir neçə sözdür: iki ifadənin kubları cəmi. Salam! Bu gün yeddinci sinif riyaziyyatından danışırıq. Mövzumuz belədir: iki ifadənin kubları cəmi və kubları fərqi. Yolumuz dörd addımdır. Əvvəlcə kubların cəmini cəmin kubundan ayıracağıq. Sonra yeni bir ad öyrənəcəyik: natamam kvadrat. Sonra kublar cəmini və kublar fərqini vuruqlara ayıracağıq. Ən sonda isə kağızdakı altırəqəmli ədədə qayıdacağıq. Əvvəlcə kubu xatırlayaq. Ədədin kubu, onu üç dəfə özünə vurmaqdır. İkinin kubu səkkizdir, çünki iki vur iki vur iki səkkiz edir. Üç ədədinin kubu isə iyirmi yeddi edir. Bu iki kubu toplayaq. Səkkizə iyirmi yeddi əlavə etsək, otuz beş alınır. Bu, iki və üç ədədlərinin kubları cəmidir. İndi başqa iş görək: əvvəlcə toplayaq, sonra kuba yüksəldək. İki ilə üçü toplasaq, beş alınır. Beşin kubu isə yüz iyirmi beşdir. Nəticələr çox fərqlidir: bir tərəfdə otuz beş, o biri tərəfdə yüz iyirmi beş. Deməli, kubların cəmi ilə cəmin kubu eyni şey deyil. Bu, ən çox edilən səhvdir. Cəmin kubunu açanda iki kubdan başqa artıq parçalar da yaranır. Amma otuz beş ədədində maraqlı bir şey gizlənib. Otuz beş beşə qalıqsız bölünür: beş vur yeddi otuz beş edir. Beş isə iki ilə üç ədədlərinin cəmidir. Bu, təsadüf deyil. İki ifadənin kubları cəmi həmişə bu ifadələrin cəminə bölünür. Bəs ikinci vuruq, yəni yeddi, haradan gəlir? Bunun üçün yeni bir ad lazımdır. İndi ikinci addım: natamam kvadrat. Keçən dərslərdən bilirik ki, iki ifadənin cəminin kvadratı üç parçadan ibarətdir: birinci ifadənin kvadratı, onların hasilinin iki misli və ikinci ifadənin kvadratı. Dərslik bu üçhədliyə tam kvadrat deyir. İndi ortadakı parçanı yarıya endirək. Hasilin iki misli yox, hasilin özü qalsın. Belə üçhədliyə natamam kvadrat deyilir. Natamam, yəni tam olmayan: ortadakı hasil iki dəfə yox, bir dəfə götürülür. Fərqin natamam kvadratında isə ortadakı hasil çıxılır: birinci ifadənin kvadratı, çıx onların hasili, üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı. İndi üçüncü addım: kublar cəmini vuruqlara ayıraq. Dərslik qaydanı belə deyir: iki ifadənin kublarının cəmi bu ifadələrin cəmi ilə onların fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir. Uzun cümlədir, gəlin onu parça-parça açaq. Birinci vuruq sadədir: iki ifadənin cəmi. İkinci vuruq fərqin natamam kvadratıdır: birinci ifadənin kvadratı, çıx onların hasili, üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı. İki və üç ədədləri ilə yoxlayaq. İkinin kvadratı dörddür, hasil altıdır, üç ədədinin kvadratı doqquzdur. Dörd çıx altı, üstəgəl doqquz, yeddi edir. Budur, otuz beşin ikinci vuruğu: beş vur yeddi. Bu qayda haradan gəlir? Dərslik onu cəmin kubundan çıxarır. Cəmin kubunu açanda iki kubdan başqa iki artıq parça da yaranır. Bu iki parça birlikdə belədir: hasilin üç misli, vur ifadələrin cəmi. Deməli, cəmin kubundan bu artıq hissəni çıxsaq, yalnız kubların cəmi qalır. Hər iki hissədə ifadələrin cəmi vuruq kimi iştirak edir, ona görə onu mötərizədən kənara çıxarmaq olur. Mötərizənin içində qalan isə məhz natamam kvadratdır. İndi dördüncü addım: kublar fərqi. Burada da eyni fikir işləyir, yalnız işarələr yer dəyişir. Dərslik deyir: iki ifadənin kublarının fərqi bu ifadələrin fərqi ilə onların cəminin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir. Yəni birinci mötərizədə çıx dayanır, ikinci mötərizədə isə ortadakı hasilin qarşısında üstəgəl. Ədədlərlə yoxlayaq. Altının kubu iki yüz on altıdır, dördün kubu altmış dörddür. Fərq yüz əlli iki edir. Birinci vuruq altı çıx dörd, yəni ikidir. İkinci vuruq otuz altı, üstəgəl iyirmi dörd, üstəgəl on altı, cəmi yetmiş altıdır. İki vur yetmiş altı, düz yüz əlli iki edir. İşarələri düzgün yazmaq üçün kiçik bir açar var. Birinci mötərizədəki işarə kubların arasındakı işarə ilə eynidir. Ortadakı hasilin qarşısında isə həmişə əks işarə durur. Kvadratların qarşısında hər zaman üstəgəldir. Bir tələ də var: ikinci mötərizəyə tam kvadrat yazmaq. Orada hasilin iki misli yox, hasilin özü dayanır, çünki ikinci vuruq natamam kvadratdır. İndi hərflərlə bir misal. İks kub, çıx üç yüz qırx üç. Əvvəlcə hər həddi kub şəklində göstəririk: üç yüz qırx üç yeddinin kubudur. Deməli, bu, iks ilə yeddinin kubları fərqidir. Birinci vuruq: iks çıx yeddi. İkinci vuruq: iks kvadrat, üstəgəl yeddi iks, üstəgəl qırx doqquz. Bu iki mötərizəni vurub yoxlasanız, yenidən iks kub, çıx üç yüz qırx üç alınacaq. Gəlin kağızdakı ədədə qayıdaq. Üçrəqəmli ədədi iki dəfə yan-yana yazanda nə baş verir? Birinci yazdığımız üç rəqəm minliklərə keçir, yəni ədəd minə vurulur. Sonra ona həmin ədəd bir də əlavə olunur. Min dəfə, üstəgəl bir dəfə: cəmi min bir dəfə. Deməli, iki yüz əlli yeddi min, iki yüz əlli yeddi, əslində iki yüz əlli yeddi vur min birdir. İndi əsas sual: min bir nəyə bölünür? Min, on vur on vur on edir. Bir isə bir vur bir vur bir edir. Deməli, min bir iki kubun cəmidir. Kublar cəmi qaydasını tətbiq edək. Birinci vuruq: on üstəgəl bir, yəni on bir. İkinci vuruq natamam kvadratdır: yüz, çıx on, üstəgəl bir, yəni doxsan bir. Doxsan bir isə yeddi vur on üçdür. Sirr açıldı. Hər belə altırəqəmli ədəd min birə vurulmuş üçrəqəmli ədəddir. Min bir isə yeddi, on bir və on üç ədədlərinin hasilidir. Ona görə hansı üçrəqəmli ədədi yazsanız yazın, nəticə bu üç ədədin hər birinə qalıqsız bölünəcək. Gəlin dərsin başlanğıcına qayıdaq. Biz bütün üçrəqəmli ədədləri bir-bir yoxlamadıq. Sadəcə min birin içində gizlənmiş iki kubu gördük: on ədədinin kubunu və birin kubunu. Kublar cəmi qaydası isə min biri iki vuruğa ayırdı, fokusun sirrini də açdı. Bu dərsdən yadda saxlanacaq bir fikir var: kubların cəmi cəmin kubu deyil, amma kubların cəmi həmişə vuruqlara ayrılır. Birinci vuruq ifadələrin cəmi və ya fərqidir, işarəsi kubların arasındakı işarə ilə eynidir. İkinci vuruq natamam kvadratdır, ortadakı hasilin qarşısında isə əks işarə durur. Yazılı addımları və yeni misalları oxu dərsində tapacaqsınız. Kağız götürün, öz üçrəqəmli ədədinizi iki dəfə yan-yana yazın və yeddiyə bölün. Dinlədiyiniz üçün sağ olun!