Audio dərs · Müddət
9:35
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: kiçik bir emalatxanada on işçi çalışır. Həftə başa çatır, axşamdır, işçilər bir-bir sahibkarın masasına yaxınlaşıb həftəlik maaşlarını alırlar. Elə bu vaxt qapıdan bir gənc içəri girir, iş axtarır. Sahibkar gülümsəyir və deyir: «Bizdə orta maaş həftədə yüz əlli manatdır». Gənc sevinir. Amma bir anlığa dayanaq. Bu tək ədəd ona, əslində, nə deyir? Hamı yüz əlli manata yaxın alır? Yoxsa kimsə çox alır, qalanları isə az? Bu dərsdə məhz bu suala cavab axtaracağıq. Mövzumuz statistik göstəricilərdir: bir məlumat çoxluğunu bir-iki ədədlə təsvir etməyin yolları. Görəcəyik ki, belə ədədlərin iki növü var. Birinci növ mərkəzi göstərir: ədədi orta, median və moda. İkinci növ isə qiymətlərin bu mərkəzin ətrafında nə qədər səpələndiyini göstərir: ən böyük fərq, dispersiya və standart meyil. Emalatxanadakı gəncin bilmədiyi məhz bu ikinci ədəddir. Əvvəlcə mərkəzdən başlayaq. Ən tanış göstərici ədədi ortadır: bütün qiymətləri toplayır, qiymətlərin sayına bölürük. Emalatxanada on maaşın cəmi min beş yüz manatdır, ona görə ədədi orta, doğrudan da, yüz əlli manat çıxır. Sahibkar yalan demədi. Amma ədədi ortanın bir zəif yeri var: o, kənaraçıxmalara, yəni qalanlardan çox uzaq düşən qiymətlərə qarşı həssasdır. Bu emalatxanada bir nəfər həftədə üç yüz manat alır. Bu tək böyük maaş ortanı yuxarı dartır. Dərslik də xəbərdarlıq edir: belə hallarda ədədi orta bütün çoxluq haqqında yanlış nəticəyə gətirə bilər. İkinci göstərici mediandır. Maaşları kiçikdən böyüyə düzün və tam ortada kimin dayandığına baxın. On maaş olduğu üçün ortada iki maaş qalır: yüz iyirmi və yüz əlli manat. Median onların tam ortasıdır, yəni yüz otuz beş manat. Median məlumatı iki yarıya bölür: işçilərin yarısı bundan az, yarısı bundan çox alır. Diqqət edin: median ədədi ortadan aşağıdadır. Səbəb həmin üç yüz manatlıq maaşdır. O, ədədi ortanı yuxarı dartdı, mediana isə toxunmadı, çünki median qiymətlərin özünə yox, sırasına baxır. Ona görə kənaraçıxmalar olan məlumatda median daha etibarlı göstəricidir. Az sayda məlumatı təhlil edəndə də işə yarayır. Üçüncü göstərici modadır: ən çox təkrarlanan qiymət. Moda xüsusilə ədədlə ifadə olunmayan, kateqoriyalı məlumat üçün əlverişlidir. Məsələn, sinifdə hər kəsdən sevimli rəngini soruşsanız, rənglərin ədədi ortasını tapa bilməzsiniz, amma ən çox seçilən rəngi, yəni modanı deyə bilərsiniz. Bir məlumatın bir neçə modası ola bilər, heç modası olmaya da bilər. Bizim emalatxanada iki eyni maaş yoxdur, ona görə bu maaşların modası yoxdur. İndi ikinci növ ədədlərə keçək. Kiçik bir təcrübə edək. Ağlınızda üç kiçik histoqram çəkin. Hər birində səkkiz qiymət var və üçünün də ədədi ortası beşdir. Birincidə səkkiz qiymətin hamısı düz beşdir: ortada tək, hündür bir sütun. İkincidə qiymətlərin yarısı beşdədir, qalanları isə onun yaxınlığında, bir-iki addım kənarda. Üçüncüdə ortada demək olar ki, heç kim yoxdur: qiymətlərin çoxu iki kənarda, ikidə və səkkizdə dayanıb. Mərkəz üçündə də eynidir. Amma bunlar, aydındır ki, eyni məlumat deyil. Səpələnməni ölçməyin ən sadə yolu ən böyük fərqdir: ən böyük qiymətdən ən kiçiyini çıxırıq. Emalatxanada ən çox üç yüz, ən az səksən manat alırlar, deməli, ən böyük fərq iki yüz iyirmi manatdır. Bu ədəd tez tapılır, amma yalnız iki qiymətə, ən kənardakı iki qiymətə baxır. Aradakı səkkiz maaşın necə düzüldüyündən onun xəbəri yoxdur. Bizə bütün qiymətləri nəzərə alan bir ölçü lazımdır. Belə bir ölçünü addım-addım quraq. Hər qiymətin ədədi ortadan nə qədər uzaq olduğuna baxaq. Buna meyil deyilir: qiymətdən ədədi ortanı çıxırıq. Üç yüz manat alanın meyli müsbət yüz əllidir, səksən manat alanınkı isə mənfi yetmiş. Düz yüz əlli manat alanın meyli sıfırdır. Ortadan yuxarıdakılar müsbət, aşağıdakılar mənfi meyil verir. Ağla gələn ilk fikir sadədir: meyillərin ortasını tapaq. Amma burada bir sürpriz var. Meyilləri toplasanız, həmişə sıfır alırsınız. Bu, təsadüf deyil. Ədədi orta elə bir nöqtədir ki, ondan yuxarıdakı artıqlar aşağıdakı əskikləri düz-düz tarazlayır. Yəni meyillərin cəmi bizə heç bir yeni məlumat vermir. Çıxış yolu belədir: hər meyli kvadrata yüksəldirik. Kvadrat mənfi işarəni aradan qaldırır, çünki mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. Bundan başqa, kvadrat böyük meyillərə daha çox çəki verir: ortadan iki dəfə uzaq olan qiymət dörd dəfə çox sayılır. İndi bu kvadratların ortasını tapırıq. Alınan ədədə dispersiya deyilir və yunan hərfi siqmanın kvadratı ilə işarə olunur. Dərsliyin tərifini bir dəfə sözlə deyək: dispersiya meyillərin kvadratları cəminin qiymətlərin sayına nisbətidir. Emalatxana üçün dispersiya dörd min iki yüz on beş çıxır. Bu ədəd niyə belə böyükdür? Çünki biz meyilləri kvadrata yüksəltmişik, onların vahidi də kvadrata yüksəlib. Dispersiya manatla yox, manatın kvadratı ilə ölçülür, bu isə gündəlik dildə heç nə demir. Ona görə son addımı atırıq: dispersiyadan kvadrat kök alırıq. Belə alınan ədəd standart meyildir və sadəcə siqma hərfi ilə işarə olunur. Kök bizi yenidən manata qaytarır. Emalatxanada standart meyil təxminən altmış beş manatdır. Bəs altmış beş manat nə deməkdir? Standart meyili ortadan tipik uzaqlıq kimi düşünə bilərsiniz. Dərslik bunu belə şərh edir: üç yüz manat alan işçi ortadan iki standart meyildən də çox yuxarıdadır. Bu, həqiqətən, istisnadır. Doxsan manat alan işçi isə ortadan təxminən bir standart meyil aşağıdadır. Bu, adi bir uzaqlıqdır. Yəni standart meyil bizə bir qiymətin nə qədər qeyri-adi olduğunu ölçmək üçün bir xətkeş verir. İndi üç histoqrama qayıdaq. Hamısı beş olan birinci çoxluqda heç bir qiymət ortadan uzaqlaşmayıb, standart meyil sıfırdır. Qiymətləri ortanın ətrafında sıxlaşmış ikinci çoxluqda standart meyil təxminən birdir. Qiymətləri kənarlara qaçmış üçüncüdə isə üçə yaxındır. Qayda budur: qiymətlər bir-birindən nə qədər aralı olsa, standart meyil o qədər böyük olar. Məlumat ortanın ətrafında sıxlaşanda isə standart meyil kiçik olur. Bunu hesablamadan, sadəcə şəklə baxıb da təxmin etmək olar. Bu fikir böyük məlumatda da işləyir. Dərslikdə bir sinifdə əlli gün ərzində hər gün neçə şagirdin dərs buraxdığı yazılıb. Günlərin çoxunda heç kim, ya da bir nəfər dərs buraxıb, bir neçə gün isə altı nəfər. Belə məlumatı tezlik cədvəli ilə yazırıq və hesablamada hər qiymət öz tezliyi qədər sayılır. Nəticədə gündə orta hesabla təxminən bir tam onda səkkiz şagird dərs buraxır, standart meyil isə təxminən bir tam onda yeddidir. Səpələnmə demək olar ki, ortanın özü qədərdir. Yəni bu sinifdə günlər bir-birindən xeyli fərqlənir. Gəlin hər şeyi bir yerə yığaq. Bir məlumat çoxluğunu təsvir etmək üçün ən azı iki ədəd lazımdır: biri mərkəzi, biri səpələnməni göstərir. Mərkəz üçün: kəskin kənaraçıxma yoxdursa, ədədi orta yaxşıdır. Kəskin kənaraçıxma varsa, median daha etibarlıdır. Eyni qiymət çox təkrarlanırsa, ya da məlumat kateqoriyalıdırsa, moda. Səpələnmə üçün ən böyük fərq tez cavab verir, standart meyil isə bütün qiymətləri nəzərə alır. Dərslikdə bunu yoxlamaq üçün gözəl bir sual var. İki futbolçunun beş il ərzində vurduğu qollar müqayisə olunur. Hesablasanız, görərsiniz ki, hər ikisi ildə orta hesabla iyirmi qol vurub. Ədədi orta onları ayıra bilmir. Dərslik soruşur: hansı futbolçunun nəticəsi daha stabildir? Bu suala standart meyil cavab verir. Onu kağız-qələmlə özünüz hesablayın: cavab düşündüyünüzdən daha yaxındır. Emalatxanaya qayıdaq. Gənc yalnız «orta maaş nə qədərdir?» deyə soruşmamalıdır. Daha ağıllı sual budur: «maaşlar bu ortanın ətrafında nə qədər səpələnib?» Ədədi orta sizə mərkəzi göstərir. Standart meyil isə deyir ki, o mərkəzə nə qədər güvənmək olar.
