Konqruyent üçbucaqlar: həyətdəki daş plitə

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: payız günortasıdır, sən köhnə bir evin həyətindəsən. Həyətin döşəməsi kiçik daş plitələrdən düzülüb və hər plitə üçbucaq şəklindədir. Plitələr bir-birinə elə kip oturub ki, aralarından iynə də keçməz. Dünən axşam eyvandan ağır bir gül dibçəyi düşüb və plitələrdən biri sınıb. Səhər sınıq parçaları yığışdırıblar. İndi döşəmədə üçbucaq şəklində boş bir yuva qalıb. Günorta həyətə Kamal usta gəlir. Əlində təzə bir plitə var. Usta deyir ki, bu həyətin bütün plitələri illər əvvəl bir taxta şablonla kəsilib. Təzə plitə də elə həmin şablonla kəsilib. Ev sahibinin nəvəsi Lalə ustaya kömək edir. Lalə plitəyə baxır və görür ki, onun üç kənarı da fərqlidir: biri qısa, biri orta, biri uzun. Üç küncü də fərqlidir: biri geniş açılıb, biri itidir, üçüncüsü isə bu ikisinin arasındadır. Ona orta künc deyək. Usta plitəni yuvaya qoyur. Birinci cəhddə bir künc qonşu plitənin üstünə çıxır, o biri tərəfdə isə barmaq boyda boşluq açılır. Usta plitəni qaldırır, bir az döndərib yenidən qoyur. İkinci cəhddə yenə bir künc kənara çıxır. Usta plitəni bir dəfə də döndərir. Üçüncü cəhddə plitə yuvaya tam oturur: kənarları qonşu plitələrin kənarlarına kip toxunur, hər künc öz yerinə düşür. Lalə təəccüblənir: usta, plitə də, yuva da eyni şablondandır. Bəs niyə iki dəfə düz oturmadı? Kamal usta gülümsəyir: növbəti dəfə plitəni bir dəfəyə düz qoyacağam. Mənə bircə baxış bəs edəcək. İndi iki sual. Birinci sual: plitə ilə yuva eyni olduğu halda, ilk iki cəhd niyə uğursuz oldu? İkinci sual: usta düz yeri bircə baxışla necə tapacaq? Cavablar bu dərsin içindədir. Sonda həyətə qayıdacağıq. Salam! Bu gün konqruyent üçbucaqlardan danışacağıq. Əvvəlcə konqruyent sözünün mənasını açacağıq. Sonra uyğun künclərlə və uyğun tərəflərlə tanış olacağıq və bunu hərflərlə necə yazmağı öyrənəcəyik. Sonra qarşı-qarşıya duran tərəf və bucaq haqqında vacib bir qaydanı görəcəyik. Ən sonda isə üç tələyə və kiçik bir sürprizə baxacağıq. Gəl, sözün özündən başlayaq. Dərslik belə deyir: bir fiquru yerini dəyişərək o biri fiqurun üzərinə qoyanda onlar tamamilə üst-üstə düşürsə, belə fiqurlar konqruyent fiqurlardır. Konqruyent fiqurların forması da, ölçüləri də eynidir. Həndəsədə «bərabər fiqurlar» əvəzinə çox vaxt elə «konqruyent fiqurlar» deyirlər. Bu sözlə əslində artıq tanışsan. Uzunluqları bərabər olan iki parça konqruyentdir. Dərəcəsi eyni olan iki bucaq konqruyentdir. Tərəfləri bərabər olan iki kvadrat, radiusları bərabər olan iki dairə də konqruyentdir. Bu gün isə növbə üçbucaqlarındır. Üçbucaq üçün dərslik tərifi belə verir: iki üçbucağı bir-birinin üzərinə qoyanda bütün uyğun nöqtələri üst-üstə düşürsə, bu üçbucaqlar konqruyent adlanır. Kamal ustanın plitəsi ilə yuva məhz belədir. Üçüncü cəhddə plitənin hər nöqtəsi yuvanın bir nöqtəsinin üstünə düşdü: künc küncün üstünə, kənar kənarın üstünə. Bir şeyə də diqqət et. Usta plitəni yuvaya çatdırmaq üçün onu sürüşdürdü və döndərdi. Fiquru sürüşdürəndə, döndərəndə, hətta arxası üstə çevirəndə onun forması və ölçüləri olduğu kimi qalır. Ona görə də kağızdan kəsilmiş üçbucağı stolun bir başından o biri başına aparsan, yaxud bir az döndərsən, o, əvvəlki üçbucağa konqruyent olaraq qalır. Vacib olan yer və duruş yox, forma və ölçüdür. İndi birinci sualın cavabına yaxınlaşırıq. Plitə ilə yuva konqruyentdir, amma onları üst-üstə salmağın yalnız bir düzgün yolu var. Hansı küncün hansı küncün üstünə düşdüyü çox vacibdir. Birinci cəhddə usta plitənin geniş küncünü yuvanın iti küncünə salmışdı. Geniş künc dar yerə sığmadı və kənara çıxdı. Düzgün yerləşmədə plitənin geniş küncü yuvanın geniş küncünə, iti küncü iti küncə, orta küncü də orta küncə düşür. Üçbucağın küncünə təpə deyilir. Üst-üstə düşən təpələrə isə uyğun təpələr deyilir. Uyğun təpələr məlum olanda qalan hər şey də cütlənir. Uyğun təpələri birləşdirən tərəflər uyğun tərəflərdir, uyğun təpələrdəki bucaqlar isə uyğun bucaqlardır. Beləliklə, iki konqruyent üçbucaqda altı cüt var: üç cüt uyğun tərəf və üç cüt uyğun bucaq. Dərslik bunu belə də deyir: iki üçbucağın uyğun tərəfləri və uyğun bucaqları konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir. Kamal ustanın dili ilə desək: plitənin qısa kənarı yuvanın qısa kənarına, uzun kənarı uzun kənarına düşür, hər künc də öz tayının içinə oturur. Həyətdə künclərə ad qoymaq asandır: geniş, iti, orta. Amma riyaziyyatda üçbucaqların təpələrini hərflərlə adlandırırlar. Lalə təbaşir götürür və yuvanın künclərinə hərf yazır: geniş küncə A hərfini, orta küncə B hərfini, iti küncə C hərfini. Sonra plitənin künclərinə də yazır: geniş küncə K hərfini, orta küncə L hərfini, iti küncə T hərfini. İndi yazılış. İki üçbucağın konqruyent olduğunu xüsusi işarə ilə yazırlar: bərabərlik işarəsinin üstünə kiçik dalğalı xətt qoyulur. Lalənin dəftərində belə bir sətir alınır: A, B, C üçbucağı K, L, T üçbucağına konqruyentdir. Bu sətirdə hərflərin sırası çox vacibdir. Birinci yerdəki hərf birinci yerdəki hərflə, ikinci ikinci ilə, üçüncü üçüncü ilə uyğundur. Yəni A ilə K, B ilə L, C ilə T. Bu bir sətirdən altı bərabərlik çıxır. Əvvəlcə bucaqlar. A bucağı K bucağına konqruyentdir. B bucağı L bucağına konqruyentdir. C bucağı T bucağına konqruyentdir. İndi tərəflər. A ilə B arasındakı tərəf K ilə L arasındakı tərəfə konqruyentdir. B ilə C arasındakı tərəf L ilə T arasındakı tərəfə konqruyentdir. A ilə C arasındakı tərəf isə K ilə T arasındakı tərəfə konqruyentdir. Qayda sadədir: birinci üçbucaqda hansı iki yerdəki hərfləri götürürsənsə, ikinci üçbucaqda da həmin iki yerdəki hərfləri götür. Dərslik bunu ayrıca vurğulayır: konqruyent üçbucaqlarda konqruyent bucaqların nizamı gözlənilməlidir. Tutaq ki, kimsə tələsib yazır: A bucağı T bucağına konqruyentdir. Bu, doğru deyil. Yazılışda A birinci yerdədir, T isə üçüncü yerdə. Həyətin dili ilə bu, yuvanın geniş küncünə plitənin iti küncünü salmaq deməkdir. Bu, ustanın uğursuz cəhdinin kağız üzərindəki tayıdır. İndi ikinci sualın cavabına keçək: usta düz yeri bircə baxışla necə tapacaq? Bunun üçün bir sözü yaxşı başa düşmək lazımdır: «qarşısında». Üçbucağın hər küncünün qarşısında bir tərəf durur. Bu, həmin küncdən ən uzaqda duran, künclə üzbəüz olan tərəfdir. Küncdə dayanıb irəli baxsan, qarşıda gördüyün kənar odur. Dərslikdə «Diqqət» sözü ilə başlayan bir qayda var: konqruyent üçbucaqlarda konqruyent tərəflərin qarşısında konqruyent bucaqlar, konqruyent bucaqların qarşısında isə konqruyent tərəflər durur. Bizim hərflərlə: A bucağı K bucağına konqruyentdir. Ona görə A küncünün qarşısındakı tərəf, yəni B ilə C arasındakı tərəf, K küncünün qarşısındakı tərəfə, yəni L ilə T arasındakı tərəfə konqruyentdir. İndi Kamal ustanın fəndi. Keçən dərslərdən bilirsən ki, üçbucaqda böyük bucağın qarşısında böyük tərəf durur. Deməli, geniş küncün qarşısında ən uzun kənar var. Usta yuvada da, plitədə də geniş küncü tapır və ən uzun kənarı ən uzun kənarın üstünə gətirir. Belə olanda geniş künc geniş küncə, qısa kənar qısa kənara özü düşür. Bircə baxış, bircə hərəkət və plitə yerindədir. Bu qayda ölçməyə də kömək edir. Plitənin kənarları on beş, iyirmi və otuz santimetrdir. Lalə yuvanın kənarlarını xətkeşsiz deyir, çünki uyğun tərəflər konqruyentdir: yuvanın qısa kənarı on beş, orta kənarı iyirmi, uzun kənarı otuz santimetrdir. Hər iki üçbucağın perimetri də eynidir: altmış beş santimetr. İndi üç tələyə baxaq. Birinci tələ: hərfləri əlifbaya və ya şəkildəki yerinə görə cütləmək. Şəkildə üçbucaq döndərilmiş ola bilər, hərflər də istənilən sırada yazıla bilər. Plitəni yuvaya salmaq üçün onu döndərmək lazım gəldiyi kimi, şəkildəki üçbucağı da gözündə döndərmək lazım gəlir. Etibarlı yol birdir: hərf yazılışda neçənci yerdədirsə, onu o biri üçbucağın həmin yerdəki hərfi ilə cütlə. İkinci tələ: güzgü kimi çevrilmiş surəti konqruyent saymamaq. Emalatxanada bir şagird bir dəfə şablonu arxası üstə çevirib daşın üstünə qoyub və belə bir plitə kəsib. Bu plitədə geniş künc sağ tərəfdə görünür, Lalənin plitəsində isə sol tərəfdə. Amma bu plitə də konqruyentdir: onu arxası üstə çevirib o birinin üzərinə qoysan, tam üst-üstə düşür. Dərslik də vərəqi yarıdan qatlayıb üçbucaq kəsməyi təklif edir. Kəsilən iki üçbucaq bir-birinin güzgü əksidir və onlar da tam üst-üstə düşür. Üçüncü tələ: küncün qarşısındakı tərəfin yerinə küncə bitişik tərəfi götürmək. Hər küncə iki tərəf bitişikdir, qarşısında isə yalnız bir tərəf durur. A küncünün qarşısındakı tərəf B ilə C arasındakı tərəfdir. A ilə B arasındakı tərəf isə A küncünə bitişikdir. Diqqət qaydası həmişə qarşıdakı tərəfdən danışır. İndi söz verdiyim sürpriz. Həyətin kənarında, haşiyədə daha bir sınıq yuva var. Haşiyənin plitələri isə bərabərtərəfli üçbucaqlardır: üç tərəfi də bərabərdir, üç bucağı da. Kamal usta təzə haşiyə plitəsini yuvaya qoyur və plitə ilk cəhddən oturur. Lalə maraq üçün onu çıxarır, bir az döndərib yenidən qoyur. Plitə yenə oturur. Üçüncü duruşda da oturur. Səbəbi sadədir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün künclər eynidir və bütün tərəflər eynidir. Hansı küncü hansı küncə salsan, cütlər yenə konqruyent çıxır. Ona görə də belə iki üçbucağın konqruyentliyini hərflərlə bir neçə sıra ilə yazmaq olar və hamısı doğrudur. Üç kənarı fərqli olan plitədə isə düz yol yalnız birdir. Hərflərin sırası məhz bu tək yolu göstərir. İndi həyətə qayıdaq. Birinci sual: plitə ilə yuva eyni olduğu halda ilk iki cəhd niyə uğursuz oldu? Çünki iki konqruyent üçbucağı üst-üstə salanda uyğun təpələr üst-üstə düşməlidir: geniş künc geniş küncə, iti künc iti küncə. İlk iki cəhddə künclər səhv cütlənmişdi. İkinci sual: usta düz yeri bircə baxışla necə tapacaq? Geniş küncün qarşısında ən uzun kənar durur. Usta uzun kənarı uzun kənarın üstünə gətirəcək, qalan hər şey özü yerinə düşəcək. Qısa xülasə. Konqruyent üçbucaqlar biri o birinin üzərinə qoyulanda tam üst-üstə düşən üçbucaqlardır. Onların uyğun tərəfləri və uyğun bucaqları konqruyentdir, cəmi altı cüt. Yazılışda hərflərin yeri uyğunluğu göstərir: birinci birinci ilə, ikinci ikinci ilə, üçüncü üçüncü ilə. Konqruyent bucaqların qarşısında konqruyent tərəflər durur. Döndərilmiş və güzgü kimi çevrilmiş surət də konqruyentdir. Yadda saxlamaq üçün bir fikir: konqruyentlik eyni fiqur deməkdir, uyğunluq isə hər küncün öz ünvanıdır. Plitə yuvaya hər künc öz ünvanına düşəndə oturur. Hərflərlə yazılışı və altı cütü oxu dərsindəki şəkillərdə rahat izləyə bilərsən. Orada döndərilmiş və güzgü kimi çevrilmiş üçbucaqlar var. Növbəti dərsdə isə yeni bir sual verəcəyik: iki üçbucağın konqruyent olduğunu bilmək üçün altı cütün hamısını yoxlamaq lazımdırmı? Bu sualın cavabı üçbucaqların konqruyentliyinin birinci əlamətidir. Dinlədiyin üçün sağ ol, görüşənədək!