Trapesiya: həyətdə skeyt rampası

Mətn (transkript)

Şənbə səhəridir. Beşmərtəbəli binanın arxasındakı həyətdə quşlar oxuyur, havada təzə kəsilmiş taxtanın iyi var. Səkkizinci sinif şagirdi Nazlı böyük qardaşı Toğrula kömək edir. Toğrul universitetdə oxuyur və skeytbord sürməyi çox sevir. Bu gün onlar həyətdəki meydança üçün taxtadan skeyt rampası düzəldirlər. Bu rampanın iki yamacı var. Əvvəlcə maili yamacla yuxarı qalxırsan, sonra düz platformanın üstündən keçirsən, sonra o biri yamacla aşağı enirsən. Toğrul böyük bir faner vərəqinin üstünə rampanın yan divarını çəkir. Aşağı kənar yerə söykənəcək. Onun uzunluğu iki yüz səksən santimetrdir. Yuxarı kənar platformadır. Onun uzunluğu yüz iyirmi santimetrdir. İki yamacın hər biri yüz santimetrdir. Toğrul divarı mişarla kəsir. Divarı içəridən çarpaz bərkitmək üçün iki dayaq lazımdır. Toğrul birinci dayağın yerini ruletka ilə ölçür. Sonra eyni uzunluqda iki taxta kəsir və ruletkanı cibinə qoyur. Nazlı təəccüblənir: «Sən yalnız bir dayağı ölçdün!» Toğrul gülümsəyir: «İkincisi də eyni uzunluqdadır. Platformanın sol ucunun altına bir dirək də qoyacağıq. Dirək rampanın başlanğıcından düz səksən santimetr aralıda duracaq. Hündürlüyü isə altmış santimetr olacaq.» Gəlin bir anlıq Nazlı kimi düşünək. Toğrul ikinci dayağın uzunluğunu ölçmədən necə bildi? Dirəyin yerini və hündürlüyünü nə ilə tapdı? Axı ruletka artıq onun cibindədir. Bu iki sualın cavabını dərsin sonunda birlikdə yoxlayacağıq. Salam, xoş gəldiniz! Bugünkü mövzumuz trapesiyadır. Əvvəlcə trapesiyanın nə olduğunu və tərəflərinin adlarını öyrənəcəyik. Sonra onun bucaqlarına baxacağıq, bərabəryanlı trapesiyanın iki teoremini öyrənəcəyik və hündürlüklərin oturacağı necə böldüyünü görəcəyik. Bizə tanış iki fakt lazım olacaq. Birincisi: iki paralel düz xətti üçüncü düz xətt kəsəndə daxili birtərəfli bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir. İkincisi: düzbucaqlı üçbucaq üçün Pifaqor teoremi. Fiquru birlikdə, sözlə quracağıq. Rampanın yan divarından başlayaq və onu addım-addım quraq. Aşağıda, yerdə, uzun düz bir kənar var. Onun üstündə, bir az yuxarıda, daha qısa bir kənar var. Bu, platformadır. Platforma yerə paraleldir, çünki skeytbord onun üstündə düz getməlidir. İndi uzun kənarın sol ucunu qısa kənarın sol ucu ilə maili bir xətlə birləşdirək. Bu, sol yamacdır. Sağ ucları da birləşdirək. Bu, sağ yamacdır. Yamaclar isə yuxarıda bir-birinə yaxınlaşır. Onları uzatsaq, platformanın üstündə haradasa kəsişərlər. Belə fiqura trapesiya deyilir. Tərif belədir: yalnız iki tərəfi paralel olan dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Paralel tərəflər trapesiyanın oturacaqlarıdır. Bizim rampada oturacaqlar yer və platformadır. Paralel olmayan tərəflər yan tərəflər adlanır. Bizim rampada yan tərəflər iki yamacdır. Tərifdəki «yalnız» sözü çox vacibdir. Təsəvvür edin ki, Toğrul səhv edib və iki yamacı eyni tərəfə əyik kəsib. Sol yamac da, sağ yamac da sağa doğru maililənir. Belə divarda yamaclar da bir-birinə paralel olardı. Dördbucaqlının iki cüt paralel tərəfi olardı və o, əyilmiş qutuya bənzəyən paraleloqram olardı. Belə maneəyə qalxmaq olardı, amma sağ tərəfdən enmək mümkün olmazdı. Paraleloqramın iki cüt paralel tərəfi var. Trapesiyanın isə yalnız bir cütü var. İndi təpələri adlandıraq, yavaş-yavaş. Sol aşağı küncə, rampanın başlandığı yerə, A hərfini yazaq. Sol yamacla yuxarı qalxırıq. Platformanın sol ucuna B hərfini yazaq. Platforma boyu sağa keçirik. Platformanın sağ ucuna C hərfini yazaq. Sağ yamacla aşağı enirik. Sağ aşağı küncə D hərfini yazaq. Beləcə, A ilə D arasında böyük oturacaq var, yerdəki kənar. B ilə C arasında kiçik oturacaq var, platforma. A ilə B arasındakı tərəf və C ilə D arasındakı tərəf yan tərəflərdir. Bir anlayış da lazımdır: hündürlük. Bir oturacağın istənilən nöqtəsindən o biri oturacağın düz xəttinə çəkilən perpendikulyara trapesiyanın hündürlüyü deyilir. Rampada hündürlük platformanın yerdən nə qədər yuxarıda olmasıdır. Toğrulun dirəyi məhz belə bir hündürlükdür. O, platformadan yerə şaquli enir. İndi trapesiyanın iki xüsusi növünə baxaq. Yan tərəfləri bərabər olan trapesiyaya bərabəryanlı trapesiya deyilir. Toğrulun yeni rampası belədir: hər iki yamac yüz santimetrdir. Yan tərəflərindən biri oturacağa perpendikulyar olan trapesiyaya isə düzbucaqlı trapesiya deyilir. Toğrul keçən yay belə bir tramplin düzəltmişdi. Tramplinin arxa divarı yerdə şaquli dayanır. Ön tərəfi isə maili yamacdır. Onun yan divarı düzbucaqlı trapesiyadır. Arxa divarın aşağı ucunda da, yuxarı ucunda da düz bucaq var. Bu tramplinin bucaqlarına baxaq və bir qayda tapaq. Trapesiyanın oturacaqları paraleldir. Hər yan tərəf isə bu iki paralel xətti kəsir. Buna görə bir yan tərəfə bitişik iki bucaq daxili birtərəfli bucaqlardır və onların cəmi yüz səksən dərəcədir. Tramplinin arxa divarında bu qayda ən sadə formadadır: doxsan üstəgəl doxsan, yüz səksən edir. İndi ön yamaca keçək. Yamac yerlə iyirmi beş dərəcəlik bucaq əmələ gətirir. Sual sizə: yamacın yuxarı ucunda, yamacla platforma arasındakı bucaq neçə dərəcədir? Bir az düşünün. Cavab: yüz əlli beş dərəcə. Yüz səksəndən iyirmi beşi çıxırıq. Bu qayda istənilən trapesiyada işləyir: hər yan tərəfdə iki bucağın cəmi yüz səksən dərəcədir. Bir tələyə diqqət edin. Qayda yan tərəfə bitişik bucaqlar üçündür. Eyni oturacağa bitişik iki bucağı, məsələn, yerdəki iki bucağı toplamaq səhvdir. Onların cəmi trapesiyadan trapesiyaya dəyişir. İndi Toğrulun yeni rampasına qayıdaq. O, bərabəryanlı trapesiyadır və onun haqqında birinci teorem var. Bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqlarına bitişik bucaqları uyğun olaraq konqruyentdir, yəni bərabərdir. Yerdəki iki bucaq, A təpəsindəki və D təpəsindəki bucaqlar, bərabərdir. Platformadakı iki bucaq, B təpəsindəki və C təpəsindəki bucaqlar da bərabərdir. Skeytbordçu dili ilə desək, iki yamac eyni dərəcədə dikdir. Bəs bu niyə belədir? Toğrul bunu bir taxta ilə göstərir. Platformanın sol ucundan, B təpəsindən, sağ yamaca paralel bir taxta qoyur. Taxta aşağı enir və yerə bir nöqtədə toxunur. Bu nöqtəni M hərfi ilə adlandıraq. M nöqtəsi A ilə D arasındadır. İndi B, C, D və M nöqtələrinin yaratdığı dördbucaqlıya baxaq. Onun yuxarı və aşağı tərəfləri paraleldir, çünki platforma yerə paraleldir. Yan tərəfləri də paraleldir, çünki taxtanı sağ yamaca paralel qoyduq. Deməli, bu dördbucaqlı paraleloqramdır və onun qarşı tərəfləri bərabərdir. Taxta sağ yamac qədər uzundur, yəni yüz santimetrdir. İndi sol tərəfdə kiçik bir üçbucaq var. Onun təpələri A, B və M nöqtələridir. Bu üçbucağın iki tərəfi sol yamac və taxtadır, hər biri yüz santimetr. İki tərəfi bərabər olan üçbucaq bərabəryanlıdır. Buna görə A təpəsindəki bucaq M təpəsindəki bucağa bərabərdir. Taxta sağ yamaca paraleldir, yer isə hər ikisini kəsir. Buna görə M təpəsindəki bucaq D təpəsindəki bucağa bərabərdir. Bunlar uyğun bucaqlardır. Nəticə: A təpəsindəki bucaq D təpəsindəki bucağa bərabərdir. Platformadakı bucaqlar da bərabərdir, çünki hər biri öz yamacındakı aşağı bucaqla birlikdə yüz səksən dərəcə edir. Bir məşq edək. Nazlı kiçik əmisi oğlu üçün balaca, bərabəryanlı bir rampa çəkir. Bu rampada platformanın sol ucundakı bucaq, yəni B təpəsindəki bucaq, yüz qırx beş dərəcədir. Sual: qalan üç bucaq neçə dərəcədir? Fasilə verin və hesablayın. Yoxlayaq. C təpəsindəki bucaq da yüz qırx beş dərəcədir, birinci teoremə görə. A təpəsindəki bucaq otuz beş dərəcədir, çünki sol yamacda iki bucağın cəmi yüz səksən dərəcədir. D təpəsindəki bucaq da otuz beş dərəcədir. Dörd bucağın cəmi üç yüz altmış dərəcə edir. Hər şey qaydasındadır. İndi birinci suala qayıdaq, yəni dayaqlara. Dayaqlar trapesiyanın diaqonallarıdır. Birinci dayaq A təpəsindən, sol aşağı küncdən, C təpəsinə, platformanın sağ ucuna gedir. İkinci dayaq B təpəsindən, platformanın sol ucundan, D təpəsinə, sağ aşağı küncə gedir. İkinci teorem belədir: bərabəryanlı trapesiyanın diaqonalları bərabərdir. Səbəbini iki üçbucaqla görək. Birinci üçbucağın tərəfləri sol yamac, yerdəki kənar və ikinci dayaqdır. Onun təpələri A, B və D nöqtələridir. İkinci üçbucağın tərəfləri sağ yamac, yenə yerdəki kənar və birinci dayaqdır. Onun təpələri D, C və A nöqtələridir. Bu üçbucaqlarda sol yamac sağ yamaca bərabərdir. Yerdəki kənar hər ikisi üçün ortaqdır. Bu iki tərəfin arasındakı bucaqlar, yəni A təpəsindəki və D təpəsindəki bucaqlar, birinci teoremə görə bərabərdir. İki tərəf və onların arasındakı bucaq: bu, üçbucaqların konqruyentliyinin tərəf, bucaq, tərəf əlamətidir. Üçbucaqlar konqruyentdir, buna görə üçüncü tərəflər də bərabərdir. Bu üçüncü tərəflər isə məhz iki dayaqdır. İndi ikinci suala keçək: dirəyin yeri və hündürlüyü. Toğrul iki dirək qoyur. Birincisini platformanın sol ucundan, B təpəsindən, yerə şaquli endirir. Dirəyin yerə toxunduğu nöqtəni He hərfi ilə adlandıraq. İkincisini platformanın sağ ucundan, C təpəsindən endirir. Onun ayağını K hərfi ilə adlandıraq. İki dirəyin arasında bir düzbucaqlı yaranır: yuxarıda platforma, aşağıda yer, yanlarda iki dirək. Düzbucaqlının qarşı tərəfləri bərabərdir. Buna görə He ilə K arasındakı məsafə platforma qədərdir, yəni yüz iyirmi santimetrdir. Yerdəki kənar indi üç hissəyə bölünüb. Solda A ilə He arasında bir uc parça var. Ortada platforma qədər hissə var. Sağda K ilə D arasında ikinci uc parça var. Bu iki uc parça bərabərdir. Niyə? Sol tərəfdə bir düzbucaqlı üçbucaq var: sol yamac, dirək və yerdəki uc parça. Sağ tərəfdə də belə bir üçbucaq var. Onların hipotenuzları, yəni yamaclar, bərabərdir. Katetləri, yəni dirəklər, də bərabərdir. Hipotenuza və katetə görə bu üçbucaqlar konqruyentdir. Deməli, uc parçalar bərabərdir. İndi hesablayaq. İki yüz səksəndən yüz iyirmini çıxırıq, yüz altmış qalır. Bu, iki uc parçanın cəmidir. Hər uc parça bunun yarısıdır, yəni səksən santimetrdir. Qaydanı bir dəfə sözlə deyək: bərabəryanlı trapesiyada hər uc parça oturacaqların fərqinin yarısına bərabərdir. İndi dirəyin hündürlüyünü tapaq. Sol düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz yamacdır, yüz santimetr. Bir katet uc parçadır, səksən santimetr. Dirək isə ikinci katetdir. Sual sizə: dirəyin hündürlüyü neçə santimetrdir? Pifaqor teoremini xatırlayın. Yüzün kvadratı on mindir. Səksənin kvadratı altı min dörd yüzdür. Fərq üç min altı yüz edir. Bu ədədin kvadrat kökü altmışdır. Deməli, dirəyin hündürlüyü altmış santimetrdir. Burada üç tipik səhvdən qaçın. Birinci səhv: uc parça kimi bütün fərqi, yüz altmışı götürmək. Fərqi yarıya bölmək lazımdır. İkinci səhv: dirəyin ayağını yerdəki kənarın ortasına qoymaq. Dirək platformanın ucunun düz altındadır. Üçüncü səhv: Pifaqor teoremində yamacla dirəyin yerini dəyişmək. Yamac ən uzun tərəfdir, hipotenuz odur. Gəlin yenidən həyətə qayıdaq. Toğrul dayaqları bərkidir. Nazlı isə dirəyi rampanın başlanğıcından səksən santimetr aralıya qoyur. Dirək platformaya tam çatır. İki sualın cavabı artıq bizdədir. İkinci dayağı ölçməyə ehtiyac yox idi, çünki bərabəryanlı trapesiyanın diaqonalları bərabərdir. Dirəyin yerini hesabla tapdıq: oturacaqların fərqi yüz altmışdır, yarısı səksəndir. Hündürlüyünü isə Pifaqor teoremi verdi: altmış santimetr. Toğrul skeytborda minir, sol yamacla qalxır, platformadan keçir və sağ yamacla enir. Yadda saxlanacaq bir fikir: trapesiya yalnız bir cüt paralel tərəfi olan dördbucaqlıdır. Hər yan tərəfdə iki bucağın cəmi yüz səksən dərəcədir. Bərabəryanlı trapesiyada oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir, diaqonallar da bərabərdir. Kiçik oturacağın uclarından çəkilən hündürlüklər böyük oturacağı üç hissəyə bölür: ortada kiçik oturacaq qədər bir hissə, kənarlarda isə iki bərabər parça. Daha çox nümunəni oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Sonda sizə bir sual: Toğrul platformanı uzadıb iki yüz iyirmi santimetr etsə, yerdəki kənar isə yenə iki yüz səksən santimetr qalsa, dirək rampanın başlanğıcından neçə santimetr aralıda durar? Növbəti dərsdə görüşənədək!