Paraleloqram: hədiyyə qutusunda kəsişən iki lent

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: payız axşamıdır, çöldə xəfif yağış yağır. Kiçik bir hədiyyə dükanında rəflər rəngli kağızla və lent makaraları ilə doludur. Səkkizinci sinif şagirdi Günay xalası Səidəyə kömək edir: onlar bir ad günü qutusunu bəzəyirlər. Günay qutunun hamar qapağının üstündən iki lent keçirir: biri enli, qızılı lent, o biri nazik, qırmızı lent. Qırmızı lent qızılı lenti maili kəsir. Kəsişdikləri yerdə dörd küncü olan kiçik, parlaq bir sahə yaranır. Günay həmin sahəyə tam ölçüsündə qızılı bir stiker yapışdırmaq istəyir. Çantasından xətkeş və transportir çıxarır. Əvvəlcə yalnız bir küncü ölçür. Bu küncdəki bucaq altmış iki dərəcədir. Sonra həmin küncdə görüşən iki tərəfi ölçür. Uzun tərəf beş santimetrdir. Qısa tərəf isə üç santimetrdir. Və alətləri yığışdırır. Səidə xala təəccüblənir: «Bu sahənin dörd küncü, dörd tərəfi var. Sən isə bir bucaq və iki tərəf ölçdün!» Günay gülümsəyir: «Bu kifayətdir, xala. Bu, paraleloqramdır. Qalanını ölçmədən bilirəm. Kiçik ulduzu da tam ortaya yapışdıracağam.» Gəlin bir anlıq Günay kimi düşünək. Lentlərin kəsişdiyi sahə niyə məhz paraleloqramdır? Bir bucaq və iki tərəf bütün fiquru necə açır? Ortanı ölçmədən necə tapmaq olar? Bu üç sualın cavabını dərsin sonunda birlikdə yoxlayacağıq. Salam, xoş gəldiniz! Bugünkü mövzumuz paraleloqramdır. Əvvəlcə onun nə olduğunu və təpələrini necə adlandırdığımızı öyrənəcəyik. Sonra bucaqlarına, tərəflərinə və diaqonallarına baxacağıq. Sonda isə paraleloqramı necə tanıyacağımızı biləcəyik. Fiquru birlikdə, sözlə quracağıq. Tərifdən başlayaq. Qarşı tərəfləri paralel olan dördbucaqlıya paraleloqram deyilir. Paralel düz xətlər yan-yana uzanır və aralarındakı məsafə hər yerdə eynidir, dəftərdəki xətlər kimi. İndi lentə baxaq. Lent bütün uzunluğu boyu eyni enlidir, deməli, onun iki kənarı paraleldir. Kəsişmə sahəsinin iki tərəfi qırmızı lentin kənarları üzərindədir. O biri iki tərəfi isə qızılı lentin kənarları üzərindədir. Hər cüt qarşı tərəf paraleldir. Budur, birinci sualın cavabı: iki düz lentin kəsişməsi həmişə paraleloqramdır. İndi fiquru adlandıraq, yavaş-yavaş, təpə-təpə. Sol aşağı küncə A hərfini yazaq. Yuxarı qalxırıq. Sol yuxarı küncə B hərfini yazaq. Sağa keçirik. Sağ yuxarı küncə C hərfini yazaq. Aşağı enirik. Sağ aşağı küncə D hərfini yazaq. Beləcə, əlifba sırası ilə fiqurun ətrafında bir dövrə vurduq. Yan-yana gələn təpələr qonşu təpələrdir. A təpəsi ilə C təpəsi isə qarşı-qarşıyadır. B təpəsi ilə D təpəsi də qarşı-qarşıyadır. Tərifə görə, A ilə B arasındakı tərəf C ilə D arasındakı tərəfə paraleldir. B ilə C arasındakı tərəf isə A ilə D arasındakı tərəfə paraleldir. Bir də hündürlük var. Bir tərəfin istənilən nöqtəsindən qarşı tərəfin düz xəttinə perpendikulyar çəksək, paraleloqramın hündürlüyünü alırıq. Paralel xətlər arasındakı məsafə hər yerdə eyni olduğu üçün eyni tərəfə çəkilən bütün hündürlüklər bərabərdir. Günayın qutusunda qırmızı lentin eni elə bu hündürlükdür. İndi bucaqlara keçək. A ilə B arasındakı tərəf iki paralel tərəfi birləşdirir: aşağıdakı A ilə D arasındakı tərəfi və yuxarıdakı B ilə C arasındakı tərəfi. Yeddinci sinifdən bilirsiniz: iki paralel düz xətti kəsən xətt daxili birtərəfli bucaqlar yaradır və onların cəmi yüz səksən dərəcədir. Deməli, A bucağı ilə B bucağının cəmi yüz səksən dərəcədir. Bu, birinci xassədir: paraleloqramın qonşu təpələrindəki bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir. Bundan ikinci xassə çıxır. A bucağı ilə B bucağının cəmi yüz səksən dərəcədir. C bucağı da B bucağının qonşusudur. Deməli, C bucağı ilə B bucağının cəmi də yüz səksən dərəcədir. Hər ikisi B bucağını yüz səksən dərəcəyə tamamlayır. Elə isə A bucağı C bucağına bərabərdir. Eyni yolla B bucağı D bucağına bərabərdir. Qısaca: paraleloqramın qarşı bucaqları bərabərdir. İndi sizə sual. Günayın lent sahəsində A bucağı altmış iki dərəcədir. Qalan üç bucaq neçə dərəcədir? Fikirləşin. Cavab belədir. B bucağı A bucağının qonşusudur. Altmış iki dərəcə ilə birlikdə yüz səksən dərəcə verən bucaq yüz on səkkiz dərəcədir. Deməli, B bucağı yüz on səkkiz dərəcədir. C bucağı A bucağının qarşısındadır, buna görə C bucağı da altmış iki dərəcədir. D bucağı B bucağının qarşısındadır, buna görə D bucağı yüz on səkkiz dərəcədir. Dörd bucağın cəmi üç yüz altmış dərəcə alınır, dördbucaqlıda olduğu kimi. Yadda saxlayın: qonşu bucaqlar birlikdə yüz səksən dərəcə verir, qarşı bucaqlar isə bərabərdir. İndi tərəflərə keçək. Üçüncü xassə deyir: paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir. Bunu necə bilirik? Dərslik bir diaqonal çəkir. Gəlin bu fikri addım-addım quraq. Hər addımdan sonra bir az dayanacağam. Birinci addım. Təsəvvürünüzdə A təpəsindən qarşı küncə, C təpəsinə, düz bir xətt çəkin. Bu, A ilə C arasındakı diaqonaldır. Diaqonal paraleloqramı iki üçbucağa bölür. Yuxarıda A, B, C üçbucağı qalır. Aşağıda isə C, D, A üçbucağı qalır. İkinci addım. Diaqonal hər iki üçbucağın ortaq tərəfidir. Deməli, iki üçbucaqda bu tərəf eynidir. Üçüncü addım. B ilə C arasındakı tərəf A ilə D arasındakı tərəfə paraleldir və diaqonal hər ikisini kəsir. Paralel xətləri kəsən xətt bərabər daxili çarpaz bucaqlar yaradır. Deməli, C təpəsində diaqonalla B, C tərəfi arasındakı bucaq A təpəsində diaqonalla A, D tərəfi arasındakı bucağa bərabərdir. Dördüncü addım. A ilə B arasındakı tərəf də C ilə D arasındakı tərəfə paraleldir. Eyni səbəbdən A təpəsində diaqonalla A, B tərəfi arasındakı bucaq C təpəsində diaqonalla C, D tərəfi arasındakı bucağa bərabərdir. Beşinci addım. İndi iki üçbucaqda bir tərəf, yəni diaqonal, və bu tərəfə bitişik iki bucaq bərabərdir. Üçbucaqların konqruyentliyinin ikinci əlamətinə görə bu iki üçbucaq konqruyentdir. Bu, dördüncü xassədir: paraleloqramın diaqonalı onu iki konqruyent üçbucağa ayırır. Konqruyent üçbucaqların uyğun tərəfləri bərabərdir, buna görə paraleloqramın qarşı tərəfləri də bərabərdir. Günay bunu əli ilə yoxlayır. Stikerin kağız nüsxəsini diaqonal boyunca, küncdən küncə qayçı ilə kəsir. İki qızılı üçbucaq alınır. Birini fırladıb o birinin üstünə qoyur və onlar bir-birini tam örtür. Elə buna görə qarşıdakı uzun tərəf də beş santimetrdir. Qarşıdakı qısa tərəf də üç santimetrdir. Bu, perimetri də asanlaşdırır. Paraleloqramda iki qonşu tərəfi toplayıb cəmi ikiyə vurmaq kifayətdir. Səidə xala stikerin kənarına qızılı haşiyə çəkmək istəyir. Beş ilə üçün cəmi səkkiz santimetrdir. İki dəfə götürsək, on altı santimetr alınır. Deməli, haşiyənin uzunluğu on altı santimetrdir. Diqqət edin: səkkiz santimetr yalnız yarım dövrədir. İndi diaqonallara keçək. Paraleloqramın iki diaqonalı var: biri A ilə C arasında, o biri B ilə D arasında. Onların kəsişmə nöqtəsinə K deyək. Beşinci xassə belədir: paraleloqramın diaqonalları kəsişir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. Yəni K nöqtəsi A ilə C arasındakı diaqonalın tam ortasıdır. K nöqtəsi B ilə D arasındakı diaqonalın da tam ortasıdır. Səbəbi yenə üçbucaqlardadır. A, K, D üçbucağına və C, K, B üçbucağına baxaq. A ilə D arasındakı tərəf B ilə C arasındakı tərəfə bərabərdir və ona paraleldir. Diaqonallar bu iki tərəfi kəsəndə iki cüt bərabər daxili çarpaz bucaq yaranır. Yenə bir tərəf və ona bitişik iki bucaq bərabərdir, deməli, bu üçbucaqlar da konqruyentdir. Buna görə diaqonalların yarıları cüt-cüt bərabərdir. Bir şeyə də diqqət edin: diaqonalların özləri adətən fərqli uzunluqdadır. Bərabər olan hər diaqonalın öz iki yarısıdır. Günay ortanı belə tapır. Karandaşla stikerin üstündə iki diaqonalı yüngülcə çəkir. Onların kəsişdiyi nöqtə hər diaqonalın tam ortasıdır. Kiçik ulduzu məhz ora yapışdırır. İndi siz düşünün. Bir paraleloqramda uzun diaqonal qırx santimetrdir. Kəsişmə nöqtəsindən bu diaqonalın hər ucuna qədər neçə santimetrdir? Cavab: iyirmi santimetr. Kəsişmə nöqtəsi diaqonalı iki bərabər yarıya bölür və qırxın yarısı iyirmidir. O biri diaqonalın uzunluğunu isə ayrıca bilmək lazımdır. Son fəsildə sualı tərsinə çevirək. Bir dördbucaqlının paraleloqram olduğunu necə bilək? Dərslik üç əlamət verir. Birinci əlamət: iki qarşı tərəfi həm bərabər, həm də paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır. İkinci əlamət: qarşı tərəfləri cüt-cüt bərabər olan dördbucaqlı paraleloqramdır. Üçüncü əlamət: diaqonalları kəsişən və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünən dördbucaqlı paraleloqramdır. Üçüncüsünü kağızda yoxlamaq asandır. Uzunluqları fərqli iki parça çəkin ki, ortaları üst-üstə düşsün. Sonra dörd ucu ardıcıl birləşdirin. Həmişə paraleloqram alınacaq. Kiçik bir yoxlama. Bir dördbucaqlıda bir cüt qarşı tərəf paraleldir və bu tərəflərin hər biri doqquz santimetrdir. Bu dördbucaqlı paraleloqramdırmı? Fikirləşin. Bəli, paraleloqramdır. Bu, birinci əlamətdir: eyni cüt tərəf həm paralel, həm də bərabərdir. İndi diqqətli olun. Tutaq ki, bir cüt tərəf paraleldir, bərabər olan isə o biri cütdür. Bu halda fiqur bərabəryanlı trapesiya da ola bilər. Birinci əlamətdə paralellik və bərabərlik eyni cüt tərəfə aid olmalıdır. Gəlin dükana qayıdaq. Yağış hələ də pəncərəni döyür. Günay ulduzu yapışdırır və xalasına izah edir. Lentin kənarları paralel olduğu üçün sahə paraleloqramdır. Altmış iki dərəcəlik bucaq qalanlarını da deyir: qarşı bucaq yenə altmış iki dərəcədir, qonşu bucaqlar isə yüz on səkkiz dərəcədir. Diaqonal sahəni iki konqruyent üçbucağa bölür, buna görə qarşı tərəflər də beş və üç santimetrdir. Diaqonallar bir-birini yarıya bölür, buna görə orta onların kəsişmə nöqtəsidir. Səidə xala gülür: «Demək, sən bir küncü ölçüb dörd küncü bilirsən.» Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: paralellik hər şeyi cüt-cüt düzür. Qarşı tərəflər bərabərdir, qarşı bucaqlar bərabərdir, diaqonallar isə bir-birini yarıya bölür. Tənbölən məsələsini və işlənmiş nümunələri oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Növbəti dərsdə paraleloqramın növləri ilə tanış olacaqsınız. Düşünmək üçün son sual: lentlər necə olsa, onların kəsişməsi başqa bir dördbucaqlı çıxar? İpucu: lentin kənarlarına baxın. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!