Trapesiya

• 3.23
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Trapesiya

Üçbucağın təpəsini oturacağına paralel düz xətlə kəsək. Qalan dördbucaqlının neçə cüt paralel tərəfi var? Yalnız bir cüt — belə dördbucaqlıya trapesiya deyilir.

Bu dərsdə

• trapesiyanın oturacaqlarını, yan tərəflərini və hündürlüyünü tapacaq, bərabəryanlı və düzbucaqlı trapesiyanı ayıracaqsan;
• bərabəryanlı trapesiyanın bucaqları və diaqonalları haqqında iki teoremi isbat edəcəksən;
• köməkçi xətlərlə trapesiyanı düzbucaqlı, paraleloqram və üçbucaqlara bölüb hesablayacaqsan.

• oturacaq
• yan tərəf
• hündürlük

Üçbucaqdan trapesiya

Başla Yenidən Yenidən

1. Hansı trapesiyadır?
2. Adlar
3. Bucaqlar
4. Teoremlər
5. Köməkçi xətlər
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı dördbucaqlı trapesiyadır?

Paralelliyi gözlə yox, bucaqlarla yoxlayaq. 7-ci sinifdən bilirsən: iki düz xətti kəsən üçüncü düz xətt əmələ gətirən daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə, həmin düz xətlər paraleldir. ABCD-də ∠A və ∠B AB tərəfinin iki ucundadır: onların cəmi 180° olarsa, AD ∥ BC.

Dördbucaqlını seç

1-ci fiqur 2-ci fiqur 3-cü fiqur

Üç dördbucaqlı və onların bucaqları

Lövhə 1Bucaqlarla paralellikbucaqlar dəqiqdir

70° + 110° = 180°, deməli AD ∥ BC. Amma 70° + 55° = 125°: AB və CD paralel deyil. Yalnız bir cüt paralel tərəf — bu, trapesiyadır.

65° + 115° = 180° həm ∠A + ∠B, həm də ∠A + ∠D üçün. İki cüt tərəf paraleldir: bu, paraleloqramdır, trapesiya deyil.

80° + 95° = 175°, 80° + 75° = 155°. Heç bir cəm 180° deyil: paralel tərəf yoxdur. Bu, adi dördbucaqlıdır.

Fərq paralel cütlərin sayındadır: 1-ci fiqurda bir, 2-cidə iki, 3-cüdə heç biri.

2 · Qayda

Trapesiya və onun hissələri

Yadda saxla

Yalnız iki tərəfi paralel olan dördbucaqlıya trapesiya deyilir.

• Paralel tərəflər trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflər isə yan tərəfləri adlanır.
• Oturacağın hər hansı nöqtəsindən digər oturacağı saxlayan düz xəttə çəkilən perpendikulyar trapesiyanın hündürlüyüdür.

AD ∥ BC, BH ⊥ AD

Trapesiyanın hissələri

Lövhə 2AdlarABCD, AD ∥ BC

BH və MN eyni uzunluqdadır: hər ikisi paralel AD və BC arasındakı məsafədir. Ona görə trapesiyanın hündürlüyünü oturacağın istənilən nöqtəsindən çəkmək olar.

«Yalnız» sözü vacibdir: paraleloqramın iki cüt paralel tərəfi var, ona görə paraleloqram trapesiya deyil (Lövhə 1, 2-ci fiqur). Adətən trapesiya ABCD kimi yazılır, AD — böyük oturacaq, BC — kiçik oturacaqdır.

• Yan tərəfləri konqruyent olan trapesiyaya bərabəryanlı trapesiya deyilir: AB = CD.
• Yan tərəflərindən biri oturacağına perpendikulyar olan trapesiyaya düzbucaqlı trapesiya deyilir. Belə trapesiyanın iki düz bucağı var: ∠A = ∠B = 90°.

Bərabəryanlı və düzbucaqlı trapesiya

Lövhə 3İki xüsusi trapesiya

3 · Qayda

Yan tərəfə bitişik bucaqlar

Lövhə 1-də paralelliyi bucaqların cəmi ilə tapdıq. Tərsinə də doğrudur: AD ∥ BC olduğu üçün AB kəsəni ilə əmələ gələn ∠A və ∠B daxili birtərəfli bucaqlardır, CD kəsəni ilə isə ∠D və ∠C.

Qayda

Trapesiyanın yan tərəfinə bitişik bucaqlarının cəmi 180°-dir:

∠A + ∠B = 180°∠C + ∠D = 180°

Oturacağa bitişik bucaqlar (∠A və ∠D) üçün belə qayda yoxdur: ümumi trapesiyada onların cəmi istənilən ola bilər.

Yan tərəfə bitişik bucaqlar

Lövhə 4İki kəsən, iki cüt

4 · Teorem

Bərabəryanlı trapesiyada nə bərabərdir?

Teorem 1

Bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqlarına bitişik bucaqları uyğun olaraq konqruyentdir.

∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠C

İsbat ideyası. Trapesiyanı tanış fiqurlara bölək: B-dən CD-yə paralel BH düz xəttini çəkək. Başla düyməsi qurmanı addım-addım göstərir.

Teorem 1-in isbatı

Teorem 1-in isbatı

Lövhə 5BH ∥ CD qurması

Başla Yenidən Yenidən

Teorem 2

Bərabəryanlı trapesiyanın diaqonalları konqruyentdir.

AC ≅ BD

Teorem 2-nin isbatı: ΔBAD və ΔCDA

Teorem 2-nin isbatı

Lövhə 6Ortaq tərəfli iki üçbucaq

Mavi ΔBAD və narıncı ΔCDA AD tərəfində üst-üstə düşür. BD birincinin, AC ikincinin tərəfidir.

Simmetriya oxu

Bərabəryanlı trapesiyanın simmetriya oxu var: oturacaqların orta nöqtələrindən keçən düz xətt. Onun boyunca qatlasan, A ilə D, B ilə C üst-üstə düşür.

Teorem yalnız bərabəryanlı üçündür

Lövhə 1-in 1-ci fiqurunda ∠A = 70°, ∠D = 55°: yan tərəflər bərabər olmayanda oturacağa bitişik bucaqlar da bərabər olmaya bilər.

5 · Alət

İki köməkçi xətt

Kiçik oturacağın uclarından iki hündürlük

Bərabəryanlı ABCD-də (AD = a, BC = b) BH və CK hündürlüklərini çəkək. HBCK düzbucaqlıdır: HK = BC = b. ΔABH və ΔDCK düzbucaqlı üçbucaqlardır, hipotenuzları (AB = CD) və katetləri (BH = CK) bərabərdir — onlar konqruyentdir, ona görə AH = KD.

Trapesiyanı seç

a = 13, b = 5 a = 16, b = 6 a = 12, b = 8

Bərabəryanlı trapesiyada iki hündürlük

Lövhə 7AH = KD1 xana = 0,5 vahid

Başla Yenidən Yenidən

AH = KD = (13 − 5) : 2 = 4, HD = 5 + 4 = 9.

AH = KD = (16 − 6) : 2 = 5, HD = 6 + 5 = 11.

AH = KD = (12 − 8) : 2 = 2, HD = 8 + 2 = 10.

Ədədlər dəyişir, qayda dəyişmir: iki bərabər «qıraq» AH və KD oturacaqların fərqini yarı bölür.

Yadda saxla

Bərabəryanlı trapesiyada kiçik oturacağın ucundan çəkilən BH hündürlüyü böyük oturacağı iki hissəyə bölür:

AH = a − b2 / , HD = a + b2 /

HD = a − AH = a − (a − b) : 2 = (a + b) : 2.

Təpədən yan tərəfə paralel düz xətt

Teorem 1-in isbatındakı qurma istənilən trapesiyada işləyir. C-dən AB-yə paralel CE çəkək (E ∈ AD). ABCE paraleloqramdır: AE = BC, CE = AB. Qalan hissə CED üçbucağıdır, onun tərəfləri trapesiyanın iki yan tərəfi və ED = AD − BC-dir.

Belə bir qurma trapesiyanın bütün məlumatlarını bir üçbucağa toplayır: bucaqlar (uyğun bucaqlar ∠CED = ∠A) və uzunluqlar.

Təpədən yan tərəfə paralel düz xətt

Lövhə 8ABCE + CEDmiqyasla

6 · Hesabla

Lövhəyə baxıb həll edirik

Nümunə 1Bucaqlar nisbətlə

Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında (AD ∥ BC) ∠A : ∠B = 2 : 7. Trapesiyanın bütün bucaqlarını tapın.

Bucaqlar 2 : 7 nisbətində

Lövhə 92x və 7x

1. ∠A və ∠B AB yan tərəfinə bitişikdir: 2x + 7x = 180°, x = 20°.
2. ∠A = 40°, ∠B = 140°.
3. Teorem 1: ∠D = ∠A = 40°, ∠C = ∠B = 140°. 40°, 140°, 140°, 40°

Nümunə 2Yan tərəf və perimetr

Bərabəryanlı ABCD trapesiyasının oturacaqları BC = 4 sm, AD = 16 sm, BH hündürlüyü 8 sm-dir. Yan tərəfi və perimetri tapın.

Bərabəryanlı trapesiyada yan tərəf

Lövhə 10Hündürlük üçbucaq ayırır1 sm = 18 vahid

1. AH = (16 − 4) : 2 = 6 sm (iki hündürlük qaydası).
2. ΔABH düzbucaqlıdır: AB² = 6² + 8² = 100, AB = 10 sm; CD = AB = 10 sm.
3. P = 4 + 16 + 10 + 10 = 40 sm. AB = CD = 10 sm, P = 40 sm

Nümunə 3Düzbucaqlı trapesiya

Düzbucaqlı ABCD trapesiyasında ∠A = ∠B = 90°, AB = 6 sm, BC = 5 sm, ∠D = 45°. Böyük oturacaq AD-ni tapın.

Düzbucaqlı trapesiya, 45° bucaq

Lövhə 11CK hündürlüyü1 sm = 26 vahid

1. CK ⊥ AD çəkək. ABCK düzbucaqlıdır: CK = AB = 6 sm, AK = BC = 5 sm.
2. ΔCKD-də ∠K = 90°, ∠D = 45°, deməli ∠KCD = 45°: üçbucaq bərabəryanlıdır, KD = CK = 6 sm.
3. AD = AK + KD = 5 + 6 = 11 sm. AD = 11 sm

Nümunə 4Belə trapesiya varmı?

Oturacaqları 13 sm və 4 sm, yan tərəfləri 5 sm və 6 sm olan trapesiya varmı? Bəs yan tərəflər 3 sm və 5 sm olsa?

1. C-dən AB-yə paralel CE çəkək (Lövhə 8): AE = BC = 4, CE = AB, ED = 13 − 4 = 9 sm.
2. CED üçbucağının tərəfləri 5, 6 və 9 sm-dir: 5 + 6 = 11 > 9. Belə üçbucaq var, ona paraleloqram əlavə edib trapesiyanı qururuq.
3. Yan tərəflər 3 və 5 sm olsa, üçbucağın tərəfləri 3, 5 və 9 olardı: 3 + 5 = 8 < 9 — üçbucaq bərabərsizliyi pozulur. birinci trapesiya var, ikinci yoxdur

7 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Bitişik bucaqları bərabər sanmaq

Səhv

∠A = ∠B

Yan tərəfə bitişik bucaqlar bərabər deyil, onların cəmi 180°-dir.

Düz

∠A + ∠B = 180°

Bərabərlik (∠A = ∠D) yalnız oturacağa bitişik bucaqlar üçündür və yalnız bərabəryanlı trapesiyada.

AH-ı oturacaqların bütün fərqi sanmaq

Səhv

AH = 16 − 4 = 12

Fərq iki qırağa — AH və KD-yə — bölünür.

Düz

AH = (16 − 4) : 2 = 6

Bərabəryanlı trapesiyada AH = KD (Lövhə 7).

Paraleloqramı trapesiya saymaq

Səhv

iki cüt ∥ → trapesiya

Tərif «yalnız iki tərəfi paralel» deyir.

Düz

bir cüt ∥ → trapesiya

İki cüt paralel tərəf paraleloqram verir (Lövhə 1, 2-ci fiqur).

8 · Həyatda

Suvarma arxı

Torpaq arxın divarı şaquli olsa, uçar. Ona görə arxı maili divarlarla qazırlar və onun en kəsiyi bərabəryanlı trapesiya olur.

Arxın üstü 3,2 m, dibi 1,2 m, dərinliyi 0,75 m-dir. Divarın uzunluğu nə qədərdir?

1. Hər tərəfdə qıraq: (3,2 − 1,2) : 2 = 1 m.
2. Divar düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzudur: √(1² + 0,75²) = √1,5625 = 1,25 m. 1,25 m

Arxın en kəsiyi

Lövhə 12Arxın en kəsiyi1 m = 80 vahid

Su kəsiyin içində; ölçü xətləri trapesiyanın oturacaqlarını və bir qırağı göstərir.

Trapesiyanı başqa yerlərdə də görürsən: vedrənin və abajurun yan görünüşü, torpaq bəndin və yol bəndinin kəsiyi, pilləkən məhəccərinin bir hissəsi.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan ABCD dördbucaqlısında AD ∥ BC və AB ∥ CD. ABCD trapesiyadırmı? Sual 1 variantları bəli, trapesiyadır xeyr, paraleloqramdır düzbucaqlı trapesiyadır Düzdür! Trapesiyada yalnız bir cüt tərəf paraleldir. Neçə cüt tərəf paraleldir? Tərifdəki «yalnız» sözünü xatırla. Həllə bax İki cüt qarşı tərəf paraleldir, bu, paraleloqramdır. Trapesiyanın isə yalnız iki tərəfi paraleldir.
2. Asan ABCD trapesiyasında AD ∥ BC və ∠C = 133°. ∠D-ni tapın. Sual 2 variantları 133° 47° 227° Düzdür! ∠C + ∠D = 180°. ∠C və ∠D CD yan tərəfinə bitişikdir: onlar bərabər deyil, cəmləri 180°-dir. Həllə bax CD yan tərəfinə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir: ∠D = 180° − 133° = 47°.
3. Orta Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında (AD ∥ BC) ∠A = 52°. ∠B + ∠D nəyə bərabərdir? Sual 3 variantları 104° 180° 256° Düzdür! ∠D = ∠A, ona görə ∠B + ∠D = ∠B + ∠A = 180°. Əvvəlcə ∠B-ni (yan tərəf qaydası), sonra ∠D-ni (Teorem 1) tap. Həllə bax ∠B = 180° − 52° = 128°, Teorem 1-ə görə ∠D = ∠A = 52°. ∠B + ∠D = 128° + 52° = 180°.
4. Orta Bərabəryanlı ABCD trapesiyasında BC = 8 sm, AD = 18 sm, BH hündürlükdür. HD-ni tapın. Sual 4 variantları 13 sm 10 sm 5 sm Düzdür! HD = (a + b) : 2. AH = (a − b) : 2, HD isə AD-nin qalan hissəsidir. Həllə bax AH = (18 − 8) : 2 = 5 sm, HD = 18 − 5 = 13 sm, yəni (18 + 8) : 2 = 13 sm.
5. Çətin Düzbucaqlı ABCD trapesiyasında ∠A = ∠B = 90°, BC = 4 sm, AD = 24 sm, CD = 29 sm. AB-ni tapın. Sual 5 variantları 20 sm 24 sm 21 sm Düzdür! CK = AB, ΔCKD-dən CK = 21 sm. CK ⊥ AD çək: KD = AD − BC. Sonra ΔCKD-də Pifaqor teoremi. Həllə bax CK ⊥ AD, ABCK düzbucaqlıdır: AK = 4, KD = 24 − 4 = 20 sm. ΔCKD: CK² = 29² − 20² = 841 − 400 = 441, CK = 21 sm. AB = CK = 21 sm.
6. Çətin Oturacaqları 3 sm və 10 sm, yan tərəfləri 2 sm və 4 sm olan trapesiya varmı? Sual 6 variantları var yoxdur yalnız düzbucaqlı trapesiya kimi var Düzdür! Üçbucaq bərabərsizliyi pozulur. Təpədən yan tərəfə paralel xətt çək və alınan üçbucağın tərəflərini yoxla. Həllə bax CE ∥ AB çəksək, CED üçbucağının tərəfləri 2, 4 və 10 − 3 = 7 sm olar. 2 + 4 = 6 < 7, belə üçbucaq yoxdur, deməli trapesiya da yoxdur.

10 · Yekun

Üç nəticə

• Yalnız bir cüt paralel tərəfTrapesiyanın oturacaqları paraleldir, yan tərəfləri yox. Yan tərəfə bitişik bucaqların cəmi 180°-dir.
• Bərabəryanlıda iki teoremOturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir (∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠C), diaqonallar bərabərdir (AC ≅ BD).
• Köməkçi xətlərHündürlüklər trapesiyanı düzbucaqlı və iki üçbucağa, yan tərəfə paralel xətt isə paraleloqram və üçbucağa bölür.

Növbəti mövzu: 3.24 Trapesiyanın orta xətti.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Trapesiya» dərsi, səh. 86–87, ümumiləşdirici tapşırıqlar səh. 90–91: tərif, bərabəryanlı və düzbucaqlı trapesiya, Teorem 1 və 2, Teorem 1-in isbatı, tapşırıq 1 (Teorem 2-nin isbatı), tapşırıq 3 (AH və HD), ümumiləşdirici tapşırıqlar 1 və 14 (simmetriya oxu, yan tərəfə paralel xətt). Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilmişdir; lövhələr dəqiq koordinatlarla çəkilib.