Funksiyanın verilməsi

• 2.36
• 7-ci sinif
• Funksiya

Funksiyanın verilməsi

Kvadratın tərəfi a məlumdursa, onun sahəsi S yalnız bir ədəd ola bilər. Belə asılılığı üç cür göstərmək olar: düsturla, cədvəllə və qrafiklə. Riyaziyyatda onun adı funksiyadır.

Bu dərsdə

• hər x-ə yeganə y qaydası ilə ox diaqramının, cədvəlin və ədədlər cütünün funksiya olub-olmadığını müəyyən edəcəksən;
• y = f(x) yazılışını oxuyacaq, arqumenti və funksiyanın qiymətini ayıracaq, düsturla qiyməti, qiymətə görə isə arqumenti tapacaqsan;
• funksiyanı düstur, cədvəl və qrafik şəklində tanıyacaq, birindən digərinə keçəcək və qrafikdən qiymət oxuyacaqsan.

Kvadratın sahəsi S = a²: düstur, cədvəl və qrafik

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Tərif
3. Laboratoriya
4. Üç üsul
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hər x-ə neçə y?

Kvadratın tərəfini biz özümüz seçirik: 1 sm, 2 sm, 3 sm… Sahə isə seçilmir — tərəfə görə hesablanır: S = a · a = a².

Bir kəmiyyətin hər qiyməti müəyyən qayda ilə o birinin qiymətini təyin edirsə, ikinci kəmiyyət birincidən asılıdır. Birinci dəyişən — sərbəst (asılı olmayan), ikinci — asılı dəyişəndir. Aralarındakı qanunauyğunluğa funksional asılılıq, qısaca funksiya deyilir. Burada a sərbəst, S asılı dəyişəndir.

Amma hər qayda funksiya deyil. Ədədləri oxlarla birləşdirək: hər ədəddən onun cavabına ox çəkirik. İki qaydanı müqayisə et.

Ox diaqramı: ədədə onun kvadratı qarşı qoyulur

Başla Yenidən Yenidən

✓ Funksiyadır. «Ədədin kvadratı»: hər ədəddən bir ox çıxır. −2 və 2 eyni 4-ə gedir — bu olar: iki x-in eyni y-si ola bilər.

Ox diaqramı: ədədə kvadratı bu ədəd olan ədədlər qarşı qoyulur

Başla Yenidən Yenidən

✗ Funksiya deyil. «Kvadratı bu ədəd olan ədəd»: 4-ün kvadratı 4 olan iki ədədi var, 2 və −2. Bir x-dən iki ox çıxır — cavab yeganə deyil.

2 · Tərif

Funksiya nədir?

Yadda saxla

Funksiya — X çoxluğunun hər bir x elementinə Y çoxluğunun yeganə y elementini qarşı qoyan uyğunluqdur (qaydadır).

y = f(x)

Diqqət: qanunauyğunluğun funksiya olması üçün x-in hər qiymətinə y-in yalnız bir qiyməti uyğun gəlməlidir. Əks halda o, funksiya deyil.

y = f(x) yazılışının hissələri

Başla Yenidən Yenidən

y = f(x) yazılışında x sərbəst dəyişən — arqument, y asılı dəyişən — funksiyanın qiymətidir. Hərf f qaydanın adıdır; başqa hərflər də işlənir: g(x), h(x).

Funksiya ümumi şəkildə y = f(x) kimi yazılır və «iqrik bərabərdir ef iks» oxunur. Məsələn, kvadratın sahəsi üçün f(x) = x². Onda f(3) = 9 yazılışı «arqument 3 olanda funksiyanın qiyməti 9-dur» deməkdir; bu iki ədəd (3; 9) cütünü əmələ gətirir.

İki x — bir y

olar ✓

f(−2) = f(2) = 4: müxtəlif arqumentlərin qiyməti eyni ola bilər.

Bir x — iki y

olmaz ✗

Bir arqumentə iki qiymət uyğun gəlirsə, bu uyğunluq funksiya deyil.

f(a) nədir?

x = a → y

Düsturda x-in yerinə a yazıb hesablanan ədəd — funksiyanın a nöqtəsindəki qiyməti.

3 · Laboratoriya

Bir funksiya — üç üsul

Funksiya f(x) = x² − 2x düsturu ilə verilib. Arqumentə qiymət verib funksiyanın qiymətini hesablayırıq, cütləri cədvələ yazırıq, sonra hər cütü koordinat müstəvisində nöqtə kimi qururuq.

Arqumenti seç: düstur, cədvəlin sütunu və qrafikin nöqtəsi eyni cütü göstərəcək.

Funksiya laboratoriyasıf(x) = x² − 2x

Arqument x

−1 0 1 2 3

f(x) = x² − 2x funksiyasının qrafiki

Qrafikdə seçilmiş nöqtə, ondan absis və ordinat oxlarına qırıq xətlər.

Cədvəl: f(x) = x² − 2x

Arqument

x = −1

Düsturla

f(−1) = (−1)² − 2 · (−1) = 1 + 2 = 3

Cütlə

(−1; 3)

Qrafikdə

absisi −1, ordinatı 3 olan nöqtə

Diqqət et

Eyni qiyməti x = 3 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.

Arqument

x = 0

Düsturla

f(0) = 0² − 2 · 0 = 0 + 0 = 0

Cütlə

(0; 0)

Qrafikdə

absisi 0, ordinatı 0 olan nöqtə

Diqqət et

Eyni qiyməti x = 2 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.

Arqument

x = 1

Düsturla

f(1) = 1² − 2 · 1 = 1 − 2 = −1

Cütlə

(1; −1)

Qrafikdə

absisi 1, ordinatı −1 olan nöqtə

Diqqət et

Bu qiyməti cədvəldə başqa arqument vermir.

Arqument

x = 2

Düsturla

f(2) = 2² − 2 · 2 = 4 − 4 = 0

Cütlə

(2; 0)

Qrafikdə

absisi 2, ordinatı 0 olan nöqtə

Diqqət et

Eyni qiyməti x = 0 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.

Arqument

x = 3

Düsturla

f(3) = 3² − 2 · 3 = 9 − 6 = 3

Cütlə

(3; 3)

Qrafikdə

absisi 3, ordinatı 3 olan nöqtə

Diqqət et

Eyni qiyməti x = −1 də verir: iki arqument — bir qiymət. Bu, funksiyaya mane olmur.

Qrafikdə beş nöqtədən başqa onları birləşdirən əyri də var: arqument kəsr ədəd də ola bilər, məsələn, f(0,5) = 0,25 − 1 = −0,75. Cədvəlimiz bu qiymətlərdən yalnız beşini götürüb.

Laboratoriyada yoxla:

1. Hansı arqumentlərdə funksiyanın qiyməti 0-dır? Nə gördün? x = 0 və x = 2: f(0) = 0, f(2) = 4 − 4 = 0. Qrafikdə bunlar absis oxu üzərindəki iki nöqtədir. Bir qiymətə iki arqument — funksiya üçün normaldır.
2. Qrafikdə x = 4 yoxdur. f(4) neçədir? Nə gördün? Düsturla: f(4) = 16 − 8 = 8. Nöqtə (4; 8) şəkildən kənardadır. Düstur istənilən arqument üçün qiymət verir, şəkil isə yalnız bir hissəni göstərir.

4 · Üç üsul

Funksiya necə verilir?

Funksiya bir neçə üsulla verilə bilər. Hər üsul eyni sualı cavablandırır: hansı arqumentə hansı qiymət uyğundur?

• IDüstur şəklində y = x², f(x) = x² − 2x, S = a² Arqumentə qiymət verib funksiyanın qiymətini hesablayırıq — istənilən x üçün.
• IICədvəl və ya ədədlər cütü {(−1; 3), (0; 0), (1; −1)} Cütdə birinci ədəd arqument, ikinci — qiymətdir: (x; y). Cədvəldə arqument birinci sətirdədir.
• IIIQrafik şəklində nöqtələr, əyri, sınıq xətt Hər cüt (x; y) — absisi x, ordinatı y olan nöqtədir. Qrafik istənilən əyri ola bilər.

Funksiya sözlə də verilə bilər: «hər ədədə onun iki mislini qarşı qoy» — bu, y = 2x düsturunun sözlə deyilişidir.

Yadda saxla: bir üsuldan digərinə keçmək həmişə mümkün olmur. Düsturdan cədvəl və qrafik qurmaq asandır, amma ölçmə ilə alınmış cədvəlin çox vaxt düsturu olmur.

Lobya cücərtisinin boyu (ölçmə)

Bu da funksiyadır: hər günə bir boy uyğundur. Amma ədədləri bir düstura salan qayda yoxdur — boyu yalnız ölçməklə bilirik.

5 · Hesabla

Qiymət, arqument, düstur

Dörd əsas iş: arqumentə görə qiyməti tapmaq, qiymətə görə arqumenti tapmaq, cədvəldən düstur yazmaq və uyğunluğun funksiya olub-olmadığını yoxlamaq.

Nümunə 1Qiyməti tap

f(x) = 3 − 4x funksiyası verilib. f(−2) və f(0,5) qiymətlərini tapın.

1. Düsturda x-in yerinə −2 yazırıq, mənfi ədədi mötərizəyə alırıq: f(−2) = 3 − 4 · (−2).
2. 4 · (−2) = −8, çıxanda işarə dəyişir: 3 − (−8) = 3 + 8 = 11.
3. Eyni yolla: f(0,5) = 3 − 4 · 0,5 = 3 − 2 = 1. f(−2) = 11, f(0,5) = 1

Nümunə 2Arqumenti tap

g(x) = 0,5x + 4 funksiyasının qiyməti 1-dir. x-i tapın.

1. Burada qiymət verilib, arqument axtarılır. Tənlik qururuq: 0,5x + 4 = 1.
2. 0,5x = 1 − 4 = −3, deməli, x = −3 : 0,5 = −6.
3. Yoxlayırıq: g(−6) = 0,5 · (−6) + 4 = −3 + 4 = 1. Düzdür. x = −6

Nümunə 3Cədvəldən düstur

Cədvəldəki funksiyanı düsturla yazın.

1. x 1 artanda y hər dəfə 3 artır: 2, 5, 8, 11, 14. Deməli, düsturda 3x var.
2. x = 1 olanda 3x = 3, amma y = 2: 1 çıxmaq lazımdır. Ehtimal: y = 3x − 1.
3. Bütün sütunları yoxlayırıq: 3 · 2 − 1 = 5, 3 · 3 − 1 = 8, 3 · 4 − 1 = 11, 3 · 5 − 1 = 14. Hamısı uyğundur. y = 3x − 1

Nümunə 4Funksiyadırmı?

Hansı uyğunluq funksiyadır: a) aşağıdakı cədvəl, b) {(−1; 0), (0; 0), (1; 0)}?

a)

1. Yalnız arqumentlərə baxırıq: təkrarlanan x varmı və onun qiymətləri fərqlidirmi?
2. a) x = 2 iki dəfə yazılıb, qiymətləri 5 və 6-dır: bir arqumentə iki qiymət — funksiya deyil.
3. b) Arqumentlər −1, 0, 1 təkrarlanmır. Qiymətlərin hamısı 0-dır, bu, qadağan deyil. a) funksiya deyil; b) funksiyadır

6 · Diqqət

Təkrara harada baxılır?

Səhv düşüncə

{(1; 4), (2; 4)} funksiya deyil

«4 iki dəfə gəlir» — təkrara qiymətlərdə baxılıb.

Düzgün

{(1; 4), (2; 4)} funksiyadır

Təkrara yalnız arqumentlərdə baxılır: 1 və 2 fərqlidir, hər birinin bir qiyməti var.

Bir qiymət, iki arqument: f(x) = x² − 2x qrafikində y = 3

Laboratoriyadakı qrafik: qiyməti 3 olan iki nöqtə var, (−1; 3) və (3; 3). Bu, funksiyanı pozmur — hər x-in üstündə qrafikin yalnız bir nöqtəsi var.

f(2) ilə f(x) = 2 fərqlidir. f(2) — arqument 2 olanda qiymətdir: düsturda x-in yerinə 2 yazılır. f(x) = 2 isə qiyməti 2 olan arqumentləri soruşur: tənlik həll olunur və cavab bir neçə ədəd ola bilər.

Mənfi arqumenti mötərizəyə al. f(x) = x² üçün f(−3) = (−3)² = 9, −9 yox: kvadrata bütün ədəd, işarəsi ilə birlikdə yüksəldilir.

7 · Həyatda

Gəzintinin qrafiki

Aysel evdən kitabxanaya piyada gedir. Yolda 8-ci dəqiqədə dükana girir, 12-ci dəqiqədə yoluna davam edir. Evdən uzaqlığı s (metr) vaxtın t (dəqiqə) funksiyasıdır: hər anda Aysel yalnız bir yerdədir.

Ayselin gəzinti qrafiki: s məsafəsinin t vaxtından asılılığı

Funksiya qrafiklə verilib. Qırıq xətlər iki oxunuşu göstərir: s(4) = 300 və s(16) = 1000.

Qrafikdən oxunmuş cədvəl

• Qiyməti oxu: absis oxunda t-ni tap, yuxarı qrafikə qalx, sola ordinat oxuna bax: s(4) = 300 m.
• Arqumenti oxu: ordinat oxunda 1000-i tap, sağa qrafikə, aşağı absis oxuna: t = 16 dəq.
• Üfüqi hissə: 8-dən 12-yə qədər s dəyişmir — Aysel 4 dəqiqə dükandadır.

Tərsinə baxaq: t s-in funksiyasıdırmı? Yox: s = 600 m-ə 8-dən 12-yə qədər bütün anlar uyğundur — bir qiymətə çox cavab.

Şərti nümunədir: vaxtlar və məsafələr bu dərs üçün seçilib.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan f(x) = 5 − x funksiyası üçün f(−3) neçədir? Cavab variantları 2 8 −8 Düzdür! 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Yox. −3-ü mötərizəyə al: 5 − (−3); mənfinin çıxılması toplamadır. Həllə bax x-in yerinə −3 yazırıq: f(−3) = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. «2» cavabı işarəni itirəndə, «−8» isə çıxmanın sırasını dəyişəndə alınır.
2. Asan {(0; 2), (1; 2), (2; 2)} uyğunluğu haqqında hansı fikir doğrudur? Cavab variantları Funksiya deyil: 2 təkrarlanır Funksiyadır: hər arqumentə bir qiymət uyğundur Funksiya deyil: qiymət dəyişmir Əla! Arqumentlər 0, 1, 2 təkrarlanmır. Yox. Təkrara yalnız birinci ədədlərdə — arqumentlərdə baxılır. Həllə bax Arqumentlər 0, 1, 2 — hamısı fərqlidir, hər birinə bir qiymət (2) uyğundur. Qiymətlərin eyni olması funksiyaya mane olmur: bu, sabit qiymətli funksiyadır.
3. Orta h(x) = 4x + 6 funksiyasının qiyməti 10-dur. Arqument neçədir? Cavab variantları 46 4 1 Düzdür! 4x + 6 = 10, x = 1. Yox. Qiymət verilib — tənlik qur: 4x + 6 = 10, sonra 4-ə böl. Həllə bax 4x + 6 = 10, 4x = 4, x = 1. Yoxlama: h(1) = 4 + 6 = 10. «46» — h(10)-dur, yəni 10 arqument kimi götürülüb; «4» isə 4-ə bölməni unudanda alınır.
4. Orta Ayselin gəzinti qrafikinə görə o, evdən 700 m uzaqlıqda neçənci dəqiqədə olub? Cavab variantları 13-cü 10-cu 9-cu Əla! 12-ci dəqiqədən sonra hər dəqiqə 100 m: 600 + 100 = 700. Yox. 700 m 600-dən çoxdur — qrafikin dükandan sonrakı hissəsinə bax. Həllə bax 8-ci dəqiqəyə qədər Aysel 600 m gedib, 12-ci dəqiqəyə qədər dayanıb. 12-dən 20-yə 8 dəqiqədə 800 m gedir — dəqiqədə 100 m. 700 m-ə 12-ci dəqiqədən 1 dəqiqə sonra çatır: 13-cü dəqiqə. «10» yolun yarısının vaxtın yarısında keçildiyini güman edir, «9» isə ilk hissənin sürəti ilə hesablanır.
5. Çətin g(x) = x² funksiyası üçün g(x) = 16 bərabərliyi hansı arqumentlərdə doğrudur? Cavab variantları yalnız 4 4 və −4 256 Düzdür! Kvadratı 16 olan iki ədəd var. Yox. Mənfi ədədin kvadratı da müsbətdir; 256 isə g(16)-dır. Həllə bax x² = 16: 4² = 16 və (−4)² = 16. Deməli, iki arqument: 4 və −4. «256» g(16)-dır — qiymətlə arqument qarışdırılıb.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Hər x-ə yeganə yBu şərt ödənirsə, uyğunluq funksiyadır. İki x-in eyni y-si ola bilər, bir x-in iki y-si ola bilməz.
• y = f(x)x — arqument (sərbəst dəyişən), y — funksiyanın qiyməti (asılı dəyişən). f(a) — x = a olanda qiymət.
• Düstur · cədvəl · qrafikFunksiya düsturla, cədvəl və ya ədədlər cütü ilə, qrafiklə (və sözlə) verilir. Cüt (x; y) qrafikin nöqtəsidir.

Növbəti mövzu: 2.37 Xətti funksiya

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 7 «Funksiya», bölmənin giriş səhifəsi və «7.1 Funksiyanın verilməsi», səh. 153–155: funksiyanın tərifi və «Diqqət» qaydası, sərbəst və asılı dəyişən, y = f(x) yazılışı və oxunuşu, arqument və funksiyanın qiyməti, funksiyanın düstur, cədvəl və ya ədədlər cütü, qrafik şəklində verilməsi. Nümunələrdəki, laboratoriyadakı və yoxlama suallarındakı funksiyalar və ədədlər bu dərs üçün seçilib; gəzinti və cücərti nümunələri şərtidir.