Audio dərs · Müddət
9:33
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: axşamdır, otaqda sakitlikdir. Masanın üstündə dəftər açıqdır və dəftərdə bir düz parça çəkilib. Parçanın bir ucunu P, o biri ucunu Q hərfi ilə adlandıraq. Tapşırıq sadə görünür: bu parçanın düz ortasını tapmaq. Siyirməni açırsınız. Orada pərgar, qələm və bir xətkeş var. Amma xətkeşin üstündəki rəqəmlər çoxdan silinib, bölgüləri görünmür. Yəni heç nəyi ölçə bilmirsiniz. Əlinizdə iki alət qalır: düz xətt çəkmək üçün xətkeş və qövs çəkmək üçün pərgar. Bəs bir santimetr belə ölçmədən parçanın ortasını necə tapmaq olar? Üstəlik, görəcəyik ki, tapacağımız şey təkcə bir nöqtə deyil. Bu, bütöv bir düz xətt olacaq və onun hər nöqtəsi P ilə Q-dən eyni uzaqlıqda duracaq. Bu xəttin adı parçanın orta perpendikulyarıdır. Əvvəlcə bir sözlə tanış olaq. Dərsliyimiz deyir ki, həndəsənin əsas anlayışlarından biri «qurma» anlayışıdır və bu anlayış tərifsiz qəbul edilir. Müəyyən şərtlərlə və alətlərlə hər hansı həndəsi fiqurun qurulmasını tələb edən təklifə isə qurma məsələsi deyilir. Bizim masadakı tapşırıq da elə qurma məsələsidir: alətlər pərgar və xətkeşdir, şərt isə heç nəyi ölçməməkdir. Pərgarın bir sirri var. Onun iti ucu ilə qələm ucu arasındakı məsafəyə açılış deyək. Bu açılış pərgarın çəkdiyi çevrənin radiusudur. Açılışı dəyişmədən pərgarı kağızın başqa yerinə aparsaq, həmin məsafə də onunla birlikdə gedir. Dərslikdəki birinci qurma məhz buna əsaslanır. Tutaq ki, bizə A və B ucları olan bir AB parçası verilib. Xətkeşlə hər hansı düz xətt çəkirik və onun üzərində P nöqtəsini qeyd edirik. Pərgarı AB parçası qədər açırıq: iti ucu A nöqtəsində, qələm ucu B nöqtəsində. Sonra açılışı dəyişmədən iti ucu P nöqtəsinə qoyuruq və düz xəttin üzərində qövs çəkirik. Qövsün xətti kəsdiyi nöqtə Q nöqtəsidir. Alınan PQ parçası AB parçasına konqruyentdir, yəni onunla eyni uzunluqdadır. Heç bir rəqəm deməmişik, amma uzunluğu dəqiq köçürmüşük. Pərgar, bir növ, məsafənin yaddaşıdır. İndi dərsin əsas sözünü aydınlaşdıraq. Dərslikdə tərif belədir: parçanın orta nöqtəsindən keçərək ona perpendikulyar olan düz xəttə parçanın orta perpendikulyarı deyilir. Bu qısa cümlədə iki şərt var və ikisi də vacibdir. Birinci şərt: xətt parçanın düz ortasından keçməlidir. Bu nöqtədən P ucuna qədər olan hissə Q ucuna qədər olan hissəyə bərabərdir. İkinci şərt: xətt parçanı düz bucaq altında, yəni doxsan dərəcə ilə kəsməlidir. Perpendikulyar sözünü əvvəlki dərsdən xatırlayırsınız. Təsəvvür edin ki, PQ parçası masanın üstündə soldan sağa uzanıb. Onda orta perpendikulyar onun ortasından yuxarıya və aşağıya dik qalxan xəttdir. Burada iki tipik səhv olur. Ortadan keçən, amma maili duran xətt orta perpendikulyar sayılmır: birinci şərt ödənir, ikincisi ödənmir. Parçaya doxsan dərəcə ilə düşən, amma ortadan yox, məsələn, Q ucundan keçən xətt də orta perpendikulyar sayılmır. Hər iki şərt birlikdə ödənməlidir. İndi masaya qayıdaq və PQ parçasının ortasını rəqəmsiz xətkeş və pərgarla quraq. Birinci addım. Pərgarın iti ucunu P nöqtəsinə qoyuruq və PQ parçasını kəsən bir yarımçevrə çəkirik. Bəs pərgarı nə qədər açaq? Bu sualın cavabı bütün qurmanın açarıdır, ona bir azdan qayıdacağıq. İkinci addım. Açılışı dəyişmədən pərgarın iti ucunu Q nöqtəsinə qoyuruq və ikinci yarımçevrəni çəkirik. İndi kağızda iki qövs var: biri P nöqtəsinin ətrafında, o biri Q nöqtəsinin ətrafında. Onlar bir-birini iki yerdə kəsir: biri parçanın üstündə, o biri altında. Yuxarıdakı kəsişmə nöqtəsini C, aşağıdakını D adlandıraq. Üçüncü addım. Xətkeşi C və D nöqtələrinə qoyub onlardan keçən düz xətt çəkirik. Bu CD düz xətti PQ parçasının orta perpendikulyarıdır. CD xəttinin PQ parçasını kəsdiyi nöqtəni O adlandıraq. O nöqtəsi PQ parçasının orta nöqtəsidir. Budur, axtardığımız orta tapıldı, özü də bir dəfə də ölçmədən. İndi pərgarın açılışı sualına qayıdaq. Dərslikdə deyilir ki, yarımçevrənin radiusu PQ parçasının yarısından kiçik olmamalıdır. Gəlin üç halı yoxlayaq. Tutaq ki, PQ parçası səkkiz santimetrdir, onda yarısı dörd santimetrdir. Pərgarı üç santimetr açsaq, iki qövs ortaya çatmır və bir-birinə heç toxunmur. Pərgarı düz dörd santimetr açsaq, qövslər yalnız bir nöqtədə, elə ortada toxunur, ayrıca C və D nöqtələri alınmır. Pərgarı beş santimetr açsaq, qövslər iki nöqtədə aydın kəsişir. Ona görə praktikada açılışı həmişə parçanın yarısından bir az böyük götürürük. Yaxşı, bəs bu xətt niyə məhz ortadan və məhz doxsan dərəcə ilə keçir? Cavab qövslərin özündədir. C nöqtəsi P nöqtəsinin ətrafındakı qövsün üzərindədir, deməli P-dən C-yə qədər məsafə pərgarın açılışına bərabərdir. C həm də Q nöqtəsinin ətrafındakı qövsün üzərindədir və açılış dəyişməyib. Deməli C nöqtəsi P-dən də, Q-dən də eyni uzaqlıqdadır. D nöqtəsi də tam belədir. Belə iki nöqtədən keçən xəttin orta perpendikulyar olduğunu altıncı sinifdən tanıdığınız üçbucaqların konqruyentliyi ilə əsaslandırmaq olur. Bunun ətraflı izahı oxu dərsindədir. İndi bu xəttin ən gözəl xassəsinə baxaq. Kağızı CD xətti boyunca qatlayın. P nöqtəsi düz Q nöqtəsinin üstünə düşür, çünki O ortadır və bucaq düz bucaqdır. İndi CD xəttinin üzərində istənilən bir nöqtə götürək və onu M adlandıraq. Qatlayanda M yerindən tərpənmir, P isə Q-nin üstünə gəlir. Deməli M-dən P-yə qədər olan məsafə M-dən Q-yə qədər olan məsafəyə bərabərdir. Eyni fikri altıncı sinifdən tanış dillə də demək olar. M, O və P nöqtələri bir üçbucaq yaradır, M, O və Q nöqtələri isə ikinci üçbucağı. Bu üçbucaqlarda O-dan P-yə və O-dan Q-yə olan tərəflər bərabərdir, çünki O ortadır. O nöqtəsindəki bucaqların ikisi də düz bucaqdır. MO tərəfi isə hər iki üçbucaq üçün ortaqdır. İki tərəf və onların arasındakı bucaq bərabərdirsə, üçbucaqlar konqruyentdir. Onda üçüncü tərəflər də bərabərdir: M-dən P-yə olan məsafə M-dən Q-yə olan məsafəyə bərabərdir. Deməli, orta perpendikulyarın üzərindəki hər nöqtə parçanın iki ucundan eyni uzaqlıqdadır. Bu fikir məsələlərdə tez-tez lazım olur. Məsələn, ABC üçbucağında B təpəsindən AC tərəfinə perpendikulyar endirilib və bu perpendikulyar AC tərəfinin düz ortasına düşür. Onda B nöqtəsi AC parçasının orta perpendikulyarının üzərindədir. Deməli BA tərəfi BC tərəfinə bərabərdir. İndi masadakı tapşırığa qayıdaq. Rəqəmləri silinmiş xətkeş və pərgarla PQ parçasının ortasını tapdıq. Bunun üçün eyni açılışla iki qövs çəkdik, onların iki kəsişmə nöqtəsini, C və D nöqtələrini tapdıq və bu nöqtələrdən düz xətt keçirdik. Bu xəttin parçanı kəsdiyi O nöqtəsi dəqiq ortadır. Burada heç bir hesablama yox idi, yalnız bərabər məsafələrin məntiqi var idi. Yadda saxlamağınız üçün bir fikir: parçanın orta perpendikulyarı onun ortasından düz bucaq altında keçən düz xəttdir və onun hər nöqtəsi parçanın iki ucundan eyni uzaqlıqdadır. Pərgarla qurarkən isə açılışı parçanın yarısından böyük götürün. Addımları şəkillə izləmək istəsəniz, oxu dərsinə və videoya baxın. Növbəti dərsin mövzusu mərkəzi simmetriyadır. Görüşənədək!