HTML dərsAzərbaycan
Dərsin mətni
- 3.6
- 8-ci sinif
- Qüvvətlər
Tam üstlü qüvvət
Bir metri 10 bərabər hissəyə böl — desimetr alınır; yenə 10-a böl — santimetr; bir də — millimetr. Millimetr metrin mində biridir və onu qısaca 10−3 m yazırlar. Mənfi üst ədədi mənfi etmir: o, neçə dəfə 10-a böldüyümüzü sayır.
Bu dərsdə
- a0 = 1 və a−n = 1 / an bərabərliklərinin niyə belə olduğunu izah edəcək, mənfi üstlü qüvvəti işarəsi ilə birlikdə hesablayacaqsan;
- qüvvətin xassələrini tam üstlərlə tətbiq edib ifadələri mənfi üstsüz yazacaqsan;
- çox böyük və çox kiçik ədədləri standart şəkildə (a · 10n, 1 ≤ a < 10) yazıb onlarla hesablayacaqsan.
Metrdən millimetrə: hər pillə 10-a bölmədir
BaşlaYenidənYenidən
- Kəşf et
- Qayda
- Hesabla
- Xassələr
- Standart şəkil
- Diqqət
- Həyatda
- Özünü yoxla
1 · Kəşf et
Üstü bir azalt — əsasa böl
Natural üstlü qüvvətdə üst vuruqların sayıdır: 73 = 7 · 7 · 7 = 343. Üstü 1 azaltsaq, bir vuruq əskik olur, yəni qiymət 7-yə bölünür: 72 = 343 : 7 = 49, 71 = 49 : 7 = 7.
Pilləkənlə aşağı düşməyə davam edək. 71-dən bir pillə aşağı: 7 : 7 = 1. Bu pillənin üstü 0-dır, deməli 70 = 1 olmalıdır. Daha bir pillə: 1 : 7 = 1 / 7 — üstü −1 olan pillə. Qanunauyğunluğu pozmamaq üçün 7−1 = 1 / 7, 7−2 = 1 / 49 yazırıq.
Əsası seç
a = 7 a = −7 a = 3 / 5
Üst pilləkəni: üst 3-dən −3-ə qədər
BaşlaYenidənYenidən
Narıncı zolaq — natural üst, lime — üst 0, mavi — mənfi üst. Sağdakı oxlar: hər pillə aşağı əsasa bölmədir.
a = 7: hər pillə 7-yə bölür. 70 = 1, sonra 7−1 = 1 / 7, 7−2 = 1 / 72 = 1 / 49, 7−3 = 1 / 343. Bütün qiymətlər müsbətdir — mənfi üst ədədi mənfi etmir.
a = −7: mənfi ədədə bölmək işarəni dəyişir, ona görə işarələr növbələşir: üst cüt olanda (2, 0, −2) qiymət müsbət, tək olanda (3, 1, −1, −3) mənfidir. (−7)−3 = 1 / (−343) = −1 / 343.
a = 3 / 5: 3 / 5-ə bölmək 5 / 3-ə vurmaqdır, ona görə aşağı düşdükcə qiymət böyüyür: (3 / 5)−1 = 5 / 3, (3 / 5)−2 = 25 / 9. Mənfi üst kəsri çevirir: (3 / 5)−n = (5 / 3)n.
Üç halda da eyni şey baş verir: üst 0 olan pillədə 1 durur, mənfi üstlü pillədə isə natural üstlü «əkiz» pillənin tərsi: a−n = 1 / an.
2 · Qayda
Sıfır və mənfi üst
Yadda saxla
a ≠ 0 və n natural ədəd olduqda:
a0 = 1, a−n = 1 / an
Mənfi tam üstlü qüvvət kəsrdir: surəti 1, məxrəci həmin əsasın müsbət üstlü qüvvətidir. Natural, sıfır və mənfi üstlü qüvvətlər birlikdə tam üstlü qüvvət adlanır.
a üstü −n yazılışının hissələri
Mənfi üst «tərsinə çevir» deməkdir: ədəd mənfi olmur, əsas məxrəcə keçir və üst müsbət olur.
İkinci səbəb — bölmə qaydası. Eyni əsaslı qüvvətləri bölərkən üstlər çıxılır. Bu qayda üstlər bərabər və ya bölənin üstü böyük olanda da işləsin:
a3 : a3 = 1, qayda ilə a3 : a3 = a3 − 3 = a0a2 : a5 = a · a / a · a · a · a · a = 1 / a3qayda ilə a2 : a5 = a2 − 5 = a−3
İki yol eyni nəticəyə gətirir: a0 = 1, a−3 = 1 / a3.
«Doğrudan da, qüvvətin əsas xassəsinin saxlanılmasını nəzərə alsaq, a ≠ 0 üçün an · a−n = an + (−n) = a0 = 1 olduğundan a−n = 1 / an qəbul etməliyik.»
Dərslik, «Mənfi tam üstlü qüvvət»
Niyə a ≠ 0?
0−2 = 1 / 02 sıfıra bölmək olardı — bu mənasızdır. 00 də müəyyən edilmir.
Məxrəcdə mənfi üst
1 / a−n = an
Mənfi üstlü vuruq kəsrin o biri tərəfinə keçəndə üstün işarəsi dəyişir.
Kəsrin mənfi üstü
(a / b)−n = (b / a)n
İsbat: (a / b)−n = 1 / (a / b)n = 1 / an / bn = bn / an = (b / a)n
3 · Hesabla
Mənfi üstlü qüvvəti hesablayırıq
Plan həmişə eynidir: mənfi üstü tərs ədədə çevir, sonra müsbət üstlü qüvvəti hesabla. İşarəni əsasın işarəsi və üstün cüt-təkliyi ilə yoxla.
Nümunə 1Kəsr şəklində yaz
9−2 ifadəsinin qiymətini tapın.
- Tərifə görə 9−2 = 1 / 92.
- 92 = 81, deməli 9−2 = 1 / 81. Yoxlama: 92 · 9−2 = 81 · 1 / 81 = 1. 9−2 = 1 / 81
Nümunə 2Mənfi əsas: işarə
(−10)−3, (−10)−4 və −10−4 ifadələrini hesablayın.
- (−10)−3 = 1 / (−10)3 = 1 / −1000 = −0,001: üst tək olduğu üçün qiymət mənfidir.
- (−10)−4 = 1 / (−10)4 = 1 / 10 000 = 0,0001: üst cüt olduğu üçün müsbətdir.
- −10−4 ifadəsində mötərizə yoxdur: əvvəl qüvvət, sonra mənfi işarə: −10−4 = −1 / 104 = −0,0001. −0,001; 0,0001; −0,0001
İşarə qaydası. Mənfi üst işarəni dəyişmir — işarəni əsas və üstün cüt-təkliyi təyin edir:
- a > 0 olduqda an > 0 istənilən tam n üçün;
- a < 0 və n cüt (məsələn, −4) olduqda an > 0;
- a < 0 və n tək (məsələn, −3) olduqda an < 0.
Nümunə 3Kəsrin mənfi üstü
(−2 1 / 3)−2 ifadəsini hesablayın.
- Qarışıq ədədi kəsrə çevir: −2 1 / 3 = −7 / 3.
- Mənfi üst kəsri çevirir: (−7 / 3)−2 = (−3 / 7)2.
- Üst cütdür, mənfi işarə itir: (−3 / 7)2 = 9 / 49. (−2 1 / 3)−2 = 9 / 49
Nümunə 4Mənfi üstsüz yaz
7p−4q və 2 / c−3 ifadələrini mənfi üstlü qüvvət daxil olmayan şəkildə yazın (p ≠ 0, c ≠ 0).
- Mənfi üst yalnız öz əsasına aiddir: 7p−4q = 7 · 1 / p4 · q = 7q / p4.
- Məxrəcdəki c−3 surətə c3 kimi keçir: 2 / c−3 = 2 · c3 = 2c3. 7q / p4; 2c3
4 · Xassələr
Köhnə qaydalar tam üstlərdə də işləyir
«İstənilən a ≠ 0, b ≠ 0 həqiqi ədədləri, istənilən m və n tam ədədləri üçün qüvvətin aşağıdakı xassələri doğrudur.»
Dərslik, «Tam üstlü qüvvətin əsas xassələri»
Yəni natural üstlər üçün bildiyin beş qaydanı sıfır və mənfi üstlərə də tətbiq edə bilərsən. Yalnız mənfi ədədləri toplayıb-çıxanda işarəyə diqqət et.
Qüvvətin xassələri və tam üstlü nümunələr
| Xassə | Tam üstlərlə nümunə |
|---|---|
| am · an = am + n | 10−7 · 105 = 10−7 + 5 = 10−2 = 0,01 |
| am : an = am − n | 6−4 : 6−6 = 6−4 − (−6) = 62 = 36 |
| (am)n = amn | (b−5)−2 = b(−5) · (−2) = b10 |
| (ab)n = anbn | (10c)−3 = 10−3c−3 = 1 / 1000c3 |
| (a / b)n = an / bn | (x / 3)−2 = x−2 / 3−2 = 9 / x2 |
Nümunə 5Eyni əsasa gətir
(49−2 · 75) : 343 ifadəsinin qiymətini tapın.
- Hamısını 7-nin qüvvəti kimi yaz: 49 = 72, 343 = 73, deməli 49−2 = (72)−2 = 7−4.
- Üstləri topla və çıx: 7−4 · 75 : 73 = 7−4 + 5 − 3 = 7−2.
- 7−2 = 1 / 72 = 1 / 49. (49−2 · 75) : 343 = 1 / 49
Nümunə 6Birhədlini sadələşdir
(5x−2y)2 · x3y−4 ifadəsini sadələşdirin və mənfi üstsüz yazın.
- Hasilin qüvvəti: (5x−2y)2 = 52 · (x−2)2 · y2 = 25x−4y2.
- Eyni əsaslı vuruqları birləşdir: 25x−4y2 · x3y−4 = 25x−4 + 3y2 − 4 = 25x−1y−2.
- Mənfi üstlü vuruqlar məxrəcə keçir: 25x−1y−2 = 25 / xy2. 25 / xy2
«Tam üstlü qüvvətlər üzərində aparılan əməllər, natural üstlü qüvvətlər üzərində əməllərin aparıldığı qayda ilə yerinə yetirilir.»
Dərslik
5 · Standart şəkil
Çox böyük və çox kiçik ədədlər
30 800 000 və 0,000071 kimi ədədlərdə sıfırları saymaq çətindir və asan səhv olur. Ona görə belə ədədləri 10-un qüvvəti ilə yazırlar.
Tərif
«Ədədin a · 10n şəklində yazılışı ədədin standart şəkli adlanır. Burada 1 ≤ a < 10 və n tam ədəddir. a ədədin qiymətli hissəsi, n tərtibi adlanır.» (Dərslik, «Ədədin standart şəkli»)
Vergülü bir yer sola sürüşdürəndə ədəd 10 dəfə kiçilir; qiymət dəyişməsin deyə 10-un üstü 1 artmalıdır. Vergülü sağa sürüşdürəndə əksinə: ədəd 10 dəfə böyüyür, üst 1 azalır. Aşağıda vergülü özün sürüşdür.
Böyük ədəd: 30 800 000
10-un üstü
012345678
Vergül 30 800 000 ədədində sola sürüşür
Vergül ədədin sonundadır: 30 800 000 · 100, çünki 100 = 1. 30 800 000 ≥ 10 — standart şəkil deyil. Vergülü sola sürüşdür.
Vergül 1 yer sola: 3 080 000 · 101. 3 080 000 ədədi 101 dəfə kiçildi, 101 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 3 080 000 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 2 yer sola: 308 000 · 102. 308 000 ədədi 102 dəfə kiçildi, 102 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 308 000 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 3 yer sola: 30 800 · 103. 30 800 ədədi 103 dəfə kiçildi, 103 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 30 800 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 4 yer sola: 3080 · 104. 3080 ədədi 104 dəfə kiçildi, 104 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 3080 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 5 yer sola: 308 · 105. 308 ədədi 105 dəfə kiçildi, 105 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 308 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 6 yer sola: 30,8 · 106. 30,8 ədədi 106 dəfə kiçildi, 106 isə onu geri böyüdür — qiymət dəyişmədi. Amma 30,8 ≥ 10 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 7 yer sola: 3,08 · 107. 1 ≤ 3,08 < 10 — standart şəkildir: qiymətli hissə 3,08, tərtib 7.
Vergül 8 yer sola: 0,308 · 108. Qiymət düzdür, amma 0,308 < 1 — bir yer artıq getdin.
Narıncı nişan vergüldür, qövslər onun keçdiyi yerlərdir. Boz rəqəmlər qiymətə təsir etmir. Qırmızı yazılış standart deyil, yaşıl — standartdır.
Kiçik ədəd: 0,000071
10-un üstü
0−1−2−3−4−5−6
Vergül 0,000071 ədədində sağa sürüşür
0,000071 · 100. 0,000071 < 1 — standart şəkil deyil. Vergülü sağa sürüşdür.
Vergül 1 yer sağa: 0,00071 · 10−1. 0,00071 ədədi 101 dəfə böyüdü, 10−1 isə onu geri kiçildir — qiymət dəyişmədi. Amma 0,00071 < 1 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 2 yer sağa: 0,0071 · 10−2. 0,0071 ədədi 102 dəfə böyüdü, 10−2 isə onu geri kiçildir — qiymət dəyişmədi. Amma 0,0071 < 1 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 3 yer sağa: 0,071 · 10−3. 0,071 ədədi 103 dəfə böyüdü, 10−3 isə onu geri kiçildir — qiymət dəyişmədi. Amma 0,071 < 1 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 4 yer sağa: 0,71 · 10−4. 0,71 ədədi 104 dəfə böyüdü, 10−4 isə onu geri kiçildir — qiymət dəyişmədi. Amma 0,71 < 1 — hələ standart şəkil deyil.
Vergül 5 yer sağa: 7,1 · 10−5. 1 ≤ 7,1 < 10 — standart şəkildir: qiymətli hissə 7,1, tərtib −5-dir.
Vergül 6 yer sağa: 71 · 10−6. Qiymət düzdür, amma 71 ≥ 10 — bir yer artıq getdin.
Kiçik ədəddə vergül sağa gedir, ona görə tərtib mənfidir: vergül neçə yer keçirsə, tərtib o ədədin əksidir.
Tərtibi tez tapmaq.
- ədəd ≥ 10 — tərtib müsbətdir: vergülün sola keçdiyi yerlərin sayı;
- 1 ≤ ədəd < 10 — tərtib 0: məsələn, 4,2 = 4,2 · 100;
- ədəd < 1 — tərtib mənfidir: vergülün sağa keçdiyi yerlərin sayının əksi.
Nümunə 7Standart şəklə gətir
870 · 10−9 və 0,47 · 106 ədədlərini standart şəkildə yazın.
- 870 = 8,7 · 102, deməli 870 · 10−9 = 8,7 · 102 · 10−9 = 8,7 · 10−7.
- 0,47 = 4,7 · 10−1, deməli 0,47 · 106 = 4,7 · 10−1 · 106 = 4,7 · 105. 8,7 · 10−7; 4,7 · 105
Nümunə 8Vur və böl
Hesablayın və nəticəni standart şəkildə yazın: (1,6 · 105) · (7 · 10−9) və (4,2 · 10−3) : (6 · 10−8).
- Qiymətli hissələri ayrıca, 10-un qüvvətlərini ayrıca vur: (1,6 · 7) · (105 · 10−9) = 11,2 · 10−4.
- 11,2 ≥ 10, ona görə 11,2 = 1,12 · 101 və 11,2 · 10−4 = 1,12 · 10−3.
- Bölmədə də belə: (4,2 : 6) · (10−3 : 10−8) = 0,7 · 105.
- 0,7 < 1, ona görə 0,7 = 7 · 10−1 və 0,7 · 105 = 7 · 104. 1,12 · 10−3; 7 · 104
Nümunə 9Topla
4,8 · 10−5 + 3,5 · 10−6 cəmini standart şəkildə yazın.
- Toplamaq üçün tərtiblər eyni olmalıdır: 4,8 · 10−5 = 48 · 10−6.
- 48 · 10−6 + 3,5 · 10−6 = 51,5 · 10−6.
- 51,5 = 5,15 · 101, deməli cəm 5,15 · 10−5. Yoxlama: 0,000048 + 0,0000035 = 0,0000515. 5,15 · 10−5
Müqayisə: əvvəl tərtib
9,1 · 10−6 və 1,3 · 10−5: tərtiblər −6 və −5. −5 > −6, deməli 1,3 · 10−5 böyükdür, baxmayaraq ki 1,3 < 9,1. Qiymətli hissələri yalnız tərtiblər bərabər olanda müqayisə edirik.
6 · Diqqət
Tez-tez rast gəlinən səhvlər
Səhv
5−3 = −125
və ya 5−3 = −15. Mənfi üst nə mənfi işarədir, nə də vurma.
Düz
5−3 = 1 / 125 = 0,008
Mənfi üst tərs ədəd verir: kiçik, amma müsbət.
5 üstü −3 ədəd oxunda
5−3 = 0,008 sıfırdan bir az sağdadır. −125 bu oxa sığmır — çox soldadır.
Səhv
(−3,7)0 = 0
Sıfır üst «heç nə» demək deyil.
Düz
(−3,7)0 = 1
a ≠ 0 olduqda a0 = 1, əsas mənfi olsa da.
Səhv
(1 / 6)−2 = 1 / 36
Mənfi üst unudulub, kəsr yalnız kvadrata yüksəldilib.
Düz
(1 / 6)−2 = 62 = 36
Kəsr çevrilir: (1 / 6)−2 = (6 / 1)2.
Səhv
(x−2)−3 = x−5
Qüvvətin qüvvətində üstlər toplanmır.
Düz
(x−2)−3 = x6
Üstlər vurulur: (−2) · (−3) = 6.
Səhv
(10x−1)−2 = 10x2
Əmsal 10 qüvvətə yüksəldilməyib.
Düz
(10x−1)−2 = x2 / 100
Hər vuruq qüvvətə yüksəlir: 10−2 = 1 / 100.
Səhv
45 · 10−6 = 4,5 · 10−7
Qiymətli hissə 10 dəfə kiçildi, 10-un qüvvəti də kiçildi — ədəd 100 dəfə kiçik alındı.
Düz
45 · 10−6 = 4,5 · 10−5
Qiymətli hissə 10 dəfə kiçilirsə, 10n 10 dəfə böyüməlidir: üst 1 artır.
7 · Həyatda
Aya qədər vərəq qalası
Adi printer kağızı təxminən 0,1 mm qalınlığındadır, yəni 1 · 10−4 m. Ay Yerdən orta hesabla təxminən 384 000 km, yəni 3,84 · 108 m uzaqdadır. Vərəqləri üst-üstə qoysaq, Aya çatmaq üçün neçə vərəq lazımdır?
Vərəq qalası və Yerdən Aya qədər məsafə (miqyassız)
Şəkil miqyassızdır: əsl nisbətdə Ay vərəqdən trilyonlarla dəfə uzaqdadır.
1 paçka (500 vərəq): 500 · 10−4 m= 5 · 102 · 10−4 m = 5 · 10−2 m = 5 smAya qədər: (3,84 · 108) : (1 · 10−4)= 3,84 · 108 − (−4) = 3,84 · 1012 vərəqPaçka ilə: (3,84 · 1012) : (5 · 102)= 0,768 · 1010 = 7,68 · 109 paçka
3,84 · 1012 — bu, 3 840 000 000 000 vərəq deməkdir. Standart şəkil olmadan bu qədər sıfırı saymaq çətin olardı.
Qiymətlər təxminidir: kağızın qalınlığı və Ayın məsafəsi dəyişir.
8 · Özünü yoxla
Bacarığını sına
Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.
- Asan 11−2 ifadəsinin qiyməti hansıdır? Cavab variantları −121 1 / 121 −22 1 / 22 Düzdür! 11−2 = 1 / 112 = 1 / 121. Yox. Mənfi üst nə mənfi işarə, nə də vurmadır: 11−2 = 1 / 112. Həllə bax 11−2 = 1 / 112 = 1 / 121. −121 — mənfi üst mənfi ədəd sanılıb; −22 — əsas üstə vurulub; 1 / 22 — məxrəcdə 11 · 2 yazılıb.
- Asan Hansı ədəd standart şəkildə yazılıb? Cavab variantları 0,8 · 106 46 · 10−3 7,04 · 10−9 10 · 104 Düzdür: 1 ≤ 7,04 < 10, üst isə tam ədəddir (mənfi ola bilər). Qiymətli hissəyə bax: 1 ≤ a < 10 olmalıdır. Həllə bax 0,8 · 106: 0,8 < 1, düzü 8 · 105. 46 · 10−3: 46 ≥ 10, düzü 4,6 · 10−2. 10 · 104: a = 10, düzü 1 · 105. Yalnız 7,04 · 10−9 şərti ödəyir.
- Orta (−0,1)−3 neçəyə bərabərdir? Cavab variantları 1000 −1000 −0,001 0,3 Düzdür! −0,1-in tərsi −10-dur, (−10)3 = −1000. −0,1-i tərs ədədə çevir, sonra üstün tək olduğunu nəzərə al. Həllə bax (−0,1)−3 = (−10)3 = −1000. 1000 — işarə itib (tək üst işarəni saxlayır); −0,001 — tərs alınmayıb, (−0,1)3 hesablanıb; 0,3 — əsas üstə vurulub.
- Orta (y−4)3 : y−10 ifadəsini sadələşdirin. Cavab variantları y−22 y−2 y9 y120 Düzdür! (y−4)3 = y−12, sonra −12 − (−10) = −2. Qüvvətin qüvvətində üstləri vur, bölmədə çıx; mənfi ədədi çıxanda işarəyə diqqət et. Həllə bax (y−4)3 = y−12; y−12 : y−10 = y−12 + 10 = y−2. y−22 — −10 çıxılarkən işarə dəyişməyib; y9 — qüvvətin qüvvətində üstlər toplanıb (−4 + 3 = −1); y120 — bütün üstlər vurulub.
- Çətin (4,5 · 10−4) · (4 · 1011) hasilini standart şəkildə yazın. Cavab variantları 18 · 107 1,8 · 108 1,8 · 106 8,5 · 107 Düzdür! 4,5 · 4 = 18, −4 + 11 = 7; 18 · 107 = 1,8 · 108. Qiymətli hissələri vur, üstləri topla, sonra 1 ≤ a < 10 olmasını yoxla. Həllə bax (4,5 · 4) · 10−4 + 11 = 18 · 107 = 1,8 · 108. 18 · 107 — qiymətcə düzdür, amma 18 ≥ 10; 1,8 · 106 — qiymətli hissə kiçiləndə üst artmalı idi, azaldılıb; 8,5 · 107 — qiymətli hissələr toplanıb.
- Çətin 1 mm = 10−3 m. 1 mm3 neçə kub metrdir? Cavab variantları 10−3 m3 10−6 m3 10−9 m3 100 m3 Düzdür! (10−3)3 = 10−9: kub millimetr kub metrin milyardda biridir. 1 mm3 = (10−3 m)3: qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur. Həllə bax (10−3)3 = 10(−3) · 3 = 10−9. 10−3 — kub unudulub; 10−6 — kvadrata yüksəldilib (sahə); 100 — üstlər toplanıb.
Xülasə
Yadda qalanlar
- a0 = 1, a−n = 1 / anÜstü 1 azaltmaq əsasa bölməkdir (a ≠ 0). Mənfi üst ədədi mənfi etmir — tərsini verir.
- Xassələr dəyişmiram · an = am + n, am : an = am − n, (am)n = amn — istənilən tam m, n üçün.
- a · 10n, 1 ≤ a < 10Vergül sola — üst artır, sağa — üst azalır. Müqayisədə əvvəl tərtibə bax.
Növbəti mövzu: 3.7 Pifaqor teoremi
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», Bölmə 1, «Tam üstlü qüvvət» (Mənfi tam üstlü qüvvət; Tam üstlü qüvvətin əsas xassələri; Ədədin standart şəkli), səh. 28–31. Sitatlar dərslikdəndir; nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib. Kağızın qalınlığı və Ayın məsafəsi təxmini ümumi məlumatdır.
