Paraleloqramın növləri

• 3.20
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Paraleloqramın növləri

Usta pəncərə çərçivəsini yığıb, amma bucaqölçəni yoxdur. Bucaqların düz olduğunu necə bilsin? Lentlə iki diaqonalı ölçür: diaqonallar bərabərdirsə, çərçivə düzbucaqlıdır.

Bu dərsdə

• düzbucaqlını, rombu və kvadratı tərifə görə tanıyacaq, onların bir-biri ilə əlaqəsini izah edəcəksən;
• hər növün diaqonallarının xüsusi xassəsini və növü tanıtan əlaməti öyrənəcəksən;
• diaqonalların yaratdığı üçbucaqlarla bucaq və tərəfləri tapacaqsan.

• düzbucaqlı · bərabər diaqonallar
• romb · perpendikulyar diaqonallar
• kvadrat · hər ikisi

Çərçivənin diaqonallarını lentlə ölçmək

Başla Yenidən Yenidən

Hər iki çərçivənin tərəfləri 80 sm və 60 sm-dir. Gözlə 80° ilə 90°-ni ayırmaq çətindir, lent isə fərqi dərhal göstərir.

1. Laboratoriya
2. Düzbucaqlı
3. Romb
4. Kvadrat
5. Ailə
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Paraleloqramı çevir

Xatırla: paraleloqramda qarşı tərəflər paralel və bərabərdir, qarşı bucaqlar bərabərdir, diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. Bu xassələr onun bütün növlərində qalır. Bəs paraleloqramı «düzəldəndə» diaqonallara nə olur?

Aşağıda A təpəsi yerində qalır, hər xana 1 sm-dir. Bir düymə A bucağını 90° edir, digəri AB tərəfini AD-yə bərabər edir. Hər birini ayrıca, sonra ikisini birlikdə yoxla.

Paraleloqramı dəyiş

∠A = 90° et AB = AD et

Paraleloqram laboratoriyası

Lövhə 1Bir paraleloqram, dörd növ1 xana = 1 sm

Paraleloqram. Ölçsək: AC ≈ 10,8 sm, BD ≈ 5,7 sm — bərabər deyil. ∠AOB ≈ 67° — düz bucaq deyil. AC A bucağını iki fərqli hissəyə bölür (bir və iki qövs).

Düzbucaqlı. AC = BD ≈ 8,6 sm — diaqonallar bərabərdir, dörd yarının hamısında eyni mavi çərtik var. ∠AOB ≈ 71°, A bucağının hissələri isə yenə fərqlidir.

Romb. AC ≈ 8,9 sm, BD isə ondan düz 2 dəfə qısadır — bərabər deyil. ∠AOB = 90°: diaqonallar perpendikulyardır, AC A bucağını iki bərabər hissəyə bölür (iki narıncı qövs).

Kvadrat. AC = BD ≈ 7,1 sm, ∠AOB = 90°, A bucağının hissələri 45° və 45°: düzbucaqlının da, rombun da xassələri.

• Diaqonallar yarıya bölünürbəli
• Diaqonallar bərabərdirbəliyox
• Diaqonallar perpendikulyardırbəliyox
• Diaqonal bucağı yarıya bölürbəliyox

Nəticə: düz bucaq diaqonalları bərabər edir, bərabər qonşu tərəflər isə onları perpendikulyar edir və bucaqları yarıya böldürür. Hər ikisi birlikdə kvadrat verir. İndi bunları ad və teoremlə yazaq.

2 · Qayda

Düzbucaqlı

Yadda saxla

• Tərif. Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir.
• Teorem. Düzbucaqlının diaqonalları konqruyentdir.
• Əlamət. Diaqonalları konqruyent olan paraleloqram düzbucaqlıdır.

AC = BD

Niyə? ABD və DCA üçbucaqlarında AB = DC (qarşı tərəflər), AD ortaqdır, ∠A = ∠D = 90°. Üçbucaqlar iki tərəf və aralarındakı bucağa görə konqruyentdir, deməli BD = AC.

Tərsinə: AC = BD olan paraleloqramda həmin üçbucaqlar üç tərəfə görə konqruyentdir, ona görə ∠A = ∠D. Qonşu bucaqların cəmi 180° olduğundan hər biri 90°-dir. Ustanın lenti məhz bu əlamətlə işləyir.

Düzbucaqlının diaqonalları

Lövhə 2Dörd bərabər yarı

Diaqonallar bərabərdir və yarıya bölünür, ona görə OA = OB = OC = OD. Diaqonallar düzbucaqlını dörd bərabəryanlı üçbucağa ayırır.

Bərabəryanlı üçbucaqlar

OA = OB

AOB üçbucağında oturacaq bucaqları bərabərdir: ∠OAB = ∠OBA. Bucaq hesablarının əksəri buradan başlayır.

Düz bucağın tənböləni

90° : 2 = 45°

Düzbucaqlının bucağının tənböləni tərəfdən bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaq ayırır (Nümunə 2).

3 · Qayda

Romb

Yadda saxla

• Tərif. Bütün tərəfləri konqruyent olan paraleloqrama romb deyilir.
• Teorem 1. Rombun diaqonalları bucaqlarının tənböləni olub, düz bucaq altında kəsişirlər.
• Teorem 2 (tərs teorem). Diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur.

AC ⊥ BD

Rombun diaqonalları

Lövhə 3Teorem 1-in isbatı

Başla Yenidən Yenidən

1. Rombda AB = AD, deməli ABD üçbucağı bərabəryanlıdır.
2. Diaqonallar yarıya bölünür: BO = OD, yəni AO bu üçbucağın medianıdır.
3. Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilən median həm tənbölən, həm hündürlükdür: ∠BAO = ∠DAO və AC ⊥ BD.

Teorem 2-nin isbatı tərsinədir: AC ⊥ BD olarsa, ABD üçbucağında AO həm median, həm hündürlükdür. Belə üçbucaq bərabəryanlıdır, AB = AD, deməli paraleloqramın bütün tərəfləri bərabərdir.

Dörd düzbucaqlı üçbucaq

∠AOB = 90°

Diaqonallar rombu dörd konqruyent düzbucaqlı üçbucağa ayırır. Onlarda iki iti bucağın cəmi 90°-dir.

Bucağı 60° olan romb

diaqonal = tərəf

Kiçik diaqonal rombu iki bərabərtərəfli üçbucağa ayırır (Nümunə 4).

4 · Qayda

Kvadrat

Yadda saxla

Tərif. Bütün tərəfləri konqruyent olan düzbucaqlıya kvadrat deyilir.

Düzbucaqlı paraleloqram olduğundan kvadrat tərəfləri bərabər olan paraleloqramdır, yəni rombdur. Ona görə düzbucaqlının da, rombun da bütün xassələri kvadrata aiddir:

• bütün bucaqları düz bucaqdır, bütün tərəfləri bərabərdir;
• diaqonalları bərabərdir, perpendikulyardır, kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür;
• diaqonalları bucaqlarının tənbölənidir: diaqonal tərəflə 45° bucaq əmələ gətirir.

Kvadratın diaqonalları

Lövhə 4Həm düzbucaqlı, həm romb

Mavi çərtiklər: dörd yarı bərabərdir (düzbucaqlıdan). Narıncı: O-da düz bucaq və A-da iki bərabər hissə (rombdan). Ona görə ∠AOB = 90°, ∠OAB = 45°.

5 · Ailə

Kim kimin içindədir?

Növlər bir-birinin içindədir. Kiçik çərçivədəki fiqur böyük çərçivənin bütün xassələrinə malikdir, tərsi isə doğru deyil.

• Hər düzbucaqlı və hər romb paraleloqramdır.
• Hər kvadrat həm düzbucaqlı, həm rombdur.
• Romb yalnız bucaqları düz olanda kvadratdır; düzbucaqlı yalnız tərəfləri bərabər olanda kvadratdır.

Həmişə · bəzən · heç vaxt

Təklif növün hər fiquru üçün doğrudursa — həmişə; bəzi fiqurlar üçün doğru, bəziləri üçün səhvdirsə — bəzən; heç biri üçün doğru deyilsə — heç vaxt. Bir əks nümunə «həmişə»ni pozur.

Məsələn, «düzbucaqlının diaqonalları perpendikulyardır» — bəzən: kvadratda bəli, 7 × 5 düzbucaqlıda yox (Lövhə 1).

Paraleloqramın növləri: iç-içə çoxluqlar

Lövhə 5İç-içə çoxluqlar

Düzbucaqlılarla romblar kəsişir, ortaq hissə kvadratlardır. Çərpələng və trapesiya dördbucaqlıdır, amma paraleloqram deyil.

Hansı xassə hansı növdə həmişə var?

«Yox» burada «həmişə deyil» deməkdir: məsələn, paraleloqram rombdursa, onun da diaqonalları perpendikulyardır.

6 · Hesabla

Xassələr işdə

Nümunə 1Diaqonallar arasındakı bucaq

ABCD düzbucaqlısının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir, ∠AOD = 124°. ∠OAD və ∠OAB bucaqlarını tapın.

Nümunə 1 lövhəsi

Lövhə 6AOD bərabəryanlıdır

1. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir və yarıya bölünür: OA = OD.
2. AOD bərabəryanlıdır: ∠OAD = (180° − 124°) : 2 = 28°.
3. A bucağı düzdür: ∠OAB = 90° − 28° = 62°. ∠OAD = 28°, ∠OAB = 62°

Nümunə 2Düz bucağın tənböləni

ABCD düzbucaqlısında B bucağının tənböləni AD tərəfini M nöqtəsində kəsir: AM = 9 sm, MD = 19 sm. Düzbucaqlının perimetrini tapın.

Nümunə 2 lövhəsi

Lövhə 7Tənbölən bərabəryanlı üçbucaq ayırır

1. BM düz bucağı yarıya bölür: ∠ABM = 45°.
2. ABM üçbucağında ∠A = 90°, deməli ∠AMB = 45°: üçbucaq bərabəryanlıdır, AB = AM = 9 sm.
3. AD = 9 + 19 = 28 sm, P = 2 · (9 + 28) = 74 sm. P = 74 sm

Hansı parçanın A-ya bitişik olduğu vacibdir. Əgər AM = 19 sm, MD = 9 sm olsaydı, AB = 19 sm və P = 2 · (19 + 28) = 94 sm alınardı.

Nümunə 3Rombun bucaqları

ABCD rombunda ∠BCA = 37°. Rombun bucaqlarını və ∠CBD-ni tapın.

Nümunə 3 lövhəsi

Lövhə 8Diaqonal bucağı yarıya bölür

1. AC C bucağının tənbölənidir: ∠BCD = 2 · 37° = 74°, qarşı bucaq ∠A = 74°.
2. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir: ∠B = ∠D = 180° − 74° = 106°.
3. BD B bucağını yarıya bölür: ∠CBD = 106° : 2 = 53°. Yoxlama: BOC üçbucağında 37° + 53° = 90°, çünki ∠BOC = 90°. ∠A = ∠C = 74°, ∠B = ∠D = 106°, ∠CBD = 53°

Nümunə 4Bucağı 60° olan romb

ABCD rombunda ∠B = 120°, perimetr 76 sm-dir. BD diaqonalını tapın.

Nümunə 4 lövhəsi

Lövhə 9İki bərabərtərəfli üçbucaq

1. Tərəf: 76 : 4 = 19 sm. Qonşu bucaq: ∠A = 180° − 120° = 60°.
2. ABD üçbucağında AB = AD, deməli ∠ABD = ∠ADB = (180° − 60°) : 2 = 60°.
3. Bütün bucaqları 60° olan üçbucaq bərabərtərəflidir: BD = AB = 19 sm. BD = 19 sm

Nümunə 5Kvadratda bucaq

ABCD kvadratının AD tərəfi üzərində M nöqtəsi götürülüb, ∠AMB = 60°. BM və BD arasındakı bucağı tapın.

Nümunə 5 lövhəsi

Lövhə 10Diaqonal: 45°

1. ABM düzbucaqlı üçbucaqdır: ∠ABM = 90° − 60° = 30°.
2. Kvadratın diaqonalı bucağı yarıya bölür: ∠ABD = 45°.
3. ∠MBD = 45° − 30° = 15°. ∠MBD = 15°

Nümunə 6Növü əlamətlə tap

ABCD paraleloqramının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. Hər halda paraleloqramın növünü müəyyən edin.

• a) AO = BO = 7,5 sm, ∠AOB = 80°. Onda AC = BD = 15 sm, amma diaqonallar perpendikulyar deyil → düzbucaqlı (kvadrat deyil).
• b) AO = 7,5 sm, BO = 4 sm, ∠AOB = 90°. Onda AC = 15 sm, BD = 8 sm, AC ⊥ BD → romb (kvadrat deyil).
• c) AO = BO = 7,5 sm, ∠AOB = 90°. Onda AC = BD və AC ⊥ BD → kvadrat.

1. Diaqonallar yarıya bölündüyü üçün AC = 2 · AO, BD = 2 · BO.
2. Bərabər diaqonallar → düzbucaqlı; perpendikulyar diaqonallar → romb.
3. Hər iki əlamət ödənirsə, fiqur həm düzbucaqlı, həm rombdur, yəni kvadratdır. a — düzbucaqlı, b — romb, c — kvadrat

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Xassələri qarışdırmaq

Səhv

rombda AC = BD

Bu, düzbucaqlının xassəsidir. Lövhə 1-in rombunda BD AC-dən 2 dəfə qısadır.

Düz

rombda AC ⊥ BD

Rombun diaqonalları bərabər olsa, o, kvadratdır.

Digər tərəfin bucağı

Səhv

∠OAB = 28°

Nümunə 1-də 28° AOD üçbucağındadır, yəni AD tərəfi ilə bucaqdır.

Düz

∠OAB = 90° − 28° = 62°

Diaqonal düz bucağı iki hissəyə bölür, onların cəmi 90°-dir.

O nöqtəsindəki düz bucağı unutmaq

Səhv

∠ABO = 180° − ∠BAO

AOB üçbucağının üçüncü bucağı unudulub.

Düz

∠ABO = 90° − ∠BAO

Rombda ∠AOB = 90°, qalan iki bucağın cəmi 90°-dir.

Ailəni tərsinə oxumaq

Səhv

«romb kvadratdır» — həmişə

Bucağı 60° olan romb kvadrat deyil (Nümunə 4).

Düz

«kvadrat rombdur» — həmişə

Kvadratın bütün tərəfləri bərabərdir; «romb kvadratdır» isə bəzən doğrudur.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı xassə hər rombda doğrudur, amma hər düzbucaqlıda doğru deyil? Sual 1 variantları diaqonalları bərabərdir diaqonalları perpendikulyardır diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür Düzdür! Perpendikulyar diaqonallar rombun xüsusi xassəsidir. Bərabər diaqonallar düzbucaqlınındır, yarıya bölünmə isə hər paraleloqramda var. Həllə bax Rombun diaqonalları perpendikulyardır (Teorem 1). Düzbucaqlının diaqonalları ümumiyyətlə perpendikulyar deyil (Lövhə 1, 7 × 5: ∠AOB ≈ 71°). Diaqonalların yarıya bölünməsi hər ikisində var, bərabərlik isə düzbucaqlının xassəsidir.
2. Asan ABCD düzbucaqlısında ∠DBC = 29°. ∠ACB-ni tapın. Sual 2 variantları 61° 151° 29° Düzdür! OB = OC, ona görə BOC bərabəryanlıdır. Diaqonalların yarıları bərabərdir: OB = OC. BOC üçbucağının oturacaq bucaqlarına bax. Həllə bax Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir və yarıya bölünür: OB = OC. BOC bərabəryanlıdır, ∠OCB = ∠OBC = 29°, yəni ∠ACB = 29°. 61° isə ∠ACD-dir — digər tərəflə bucaq.
3. Orta ABCD rombunda ∠ABD = 57°. ∠BAD-ni tapın. Sual 3 variantları 66° 114° 33° Düzdür! 180° − 2 · 57° = 66°. BD B bucağını yarıya bölür. ∠ABC-ni tap, sonra qonşu bucağı. Həllə bax BD tənböləndir: ∠ABC = 2 · 57° = 114°. Qonşu bucaq: ∠BAD = 180° − 114° = 66°. Başqa yol: ABD bərabəryanlıdır (AB = AD), ∠ADB = 57°, ∠BAD = 180° − 114° = 66°.
4. Orta Hansı təklif bəzən doğrudur? Sual 4 variantları düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir rombun bir diaqonalı onun tərəfinə bərabərdir rombun diaqonalları perpendikulyar deyil Düzdür! Bucağı 60° olan rombda bəli, kvadratda yox. Seçdiyin təklif ya hər fiqur üçün doğrudur, ya da heç biri üçün. Bir nümunə və bir əks nümunə axtar. Həllə bax Bucağı 60° olan rombda kiçik diaqonal tərəfə bərabərdir (Nümunə 4), kvadratda isə heç bir diaqonal tərəfə bərabər deyil — bəzən. Düzbucaqlının diaqonalları həmişə bərabərdir; rombun diaqonalları həmişə perpendikulyardır, ona görə üçüncü təklif heç vaxt doğru deyil.
5. Çətin ABCD rombunun diaqonalları O nöqtəsində kəsişir, ∠OBA ∠OAB-dən 28° böyükdür. Rombun böyük bucağını tapın. Sual 5 variantları 59° 149° 118° Düzdür! 31° + 59° = 90°, böyük bucaq 2 · 59° = 118°. AOB üçbucağında O-da düz bucaq var. Tapdığın bucaq rombun bucağının yarısıdır. Həllə bax ∠AOB = 90°, ona görə ∠OAB + ∠OBA = 90°. x + (x + 28°) = 90°, x = 31°: ∠OAB = 31°, ∠OBA = 59°. Diaqonallar bucaqları yarıya bölür: ∠A = 62°, ∠B = 118°.
6. Çətin ABCD düzbucaqlısının diaqonalları O-da kəsişir, ∠AOD ∠OAD-dən 2 dəfə böyükdür. ∠AOD nəyə bərabərdir və ABCD nədir? Sual 6 variantları 120°; ABCD kvadrat deyil 90°; ABCD kvadratdır 90°; ABCD kvadrat deyil Düzdür! Diaqonallar perpendikulyardır, düzbucaqlı həm də rombdur. AOD bərabəryanlıdır (OA = OD): onun iki bucağı x-dir. Sonra perpendikulyar diaqonallar haqqında əlaməti xatırla. Həllə bax OA = OD, ona görə ∠ODA = ∠OAD = x, ∠AOD = 2x. x + x + 2x = 180°, x = 45°, ∠AOD = 90°. Diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur; romb olan düzbucaqlı kvadratdır.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Düzbucaqlı: AC = BDDiaqonalları bərabər olan paraleloqram düzbucaqlıdır; yarılar dörd bərabəryanlı üçbucaq yaradır.
• Romb: AC ⊥ BDDiaqonallar perpendikulyardır və bucaqları yarıya bölür; tərsinə, diaqonalları perpendikulyar olan paraleloqram rombdur.
• Kvadrat: hər ikisiHər kvadrat həm düzbucaqlı, həm rombdur; diaqonalı tərəflə 45° bucaq əmələ gətirir.

Növbəti mövzu: 3.21 Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Paraleloqramın növləri» dərsi, səh. 79–82: düzbucaqlının, rombun və kvadratın tərifləri, düzbucaqlının diaqonalları haqqında teorem və əlamət, rombun Teorem 1 və 2 (isbatın ideyası ilə), kvadratın xassələri, Venn diaqramı, «həmişə / bəzən / heç vaxt» təklifləri. Bütün ədədlər, nümunələr və suallar öyrətmək üçün yenidir; lövhələr miqyasla çəkilib, laboratoriyadakı ölçülər çəkilmiş fiqurdan hesablanıb və yuvarlaqlaşdırılıb.