Paraleloqram

• 3.19
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Paraleloqram

Dənizçi xəritədə kursa paralel xətt çəkmək üçün paralel xətkeş işlədir: iki xətkeş iki bərabər çubuqla menteşəli bağlanıb. Xətkeşi nə qədər açsan da, üstdəki altdakına paralel qalır. Səbəb: qarşı tərəfləri bərabər olan dördbucaqlı paraleloqramdır.

Bu dərsdə

• paraleloqramı tərifə görə tanıyacaq, hündürlüyünü çəkəcək və xassələrini üçbucaqların konqruyentliyi ilə əsaslandıracaqsan;
• bucaqları, tərəfləri, perimetri və diaqonalların hissələrini xassələrlə hesablayacaqsan;
• üç əlamətlə dördbucaqlının paraleloqram olduğunu sübut edəcək, kifayət etməyən verilənləri əks-nümunə ilə rədd edəcəksən.

• bir ox: AD ∥ BC
• iki ox: AB ∥ DC
• cizgilər: bərabər parçalar
• əks-nümunə

Paralel xətkeş

Başla Yenidən Yenidən

A, B, C, D — menteşələr. Çubuqlar bərabərdir: AB = DC; hər xətkeşdə menteşələr arası eynidir: BC = AD. Üç açılışın hamısında üst xətkeş altdakına paraleldir.

1. Çərçivə
2. Tərif
3. Xassələr
4. Hesabla
5. Tənbölən
6. Əlamətlər
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Menteşəli çərçivə: nə dəyişir, nə qalır?

Konstruktorun dörd çubuğundan çərçivə yığaq: iki çubuq 8 sm, iki çubuq 5 sm, bərabərlər qarşı‑qarşıya. Künclərdə menteşə var, ona görə çərçivə əyilir. A bucağını seç və lövhəyə bax.

A bucağı

40° 75° 135°

Menteşəli çərçivə

Lövhə 1Menteşəli çərçivəmiqyasla

∠A = ∠C = 40°, ∠B = ∠D = 140°, 40° + 140° = 180°. Diaqonallar: AO = OC ≈ 6,1 sm, BO = OD ≈ 2,6 sm.

∠A = ∠C = 75°, ∠B = ∠D = 105°, 75° + 105° = 180°. Diaqonallar: AO = OC ≈ 5,2 sm, BO = OD ≈ 4,1 sm.

∠A = ∠C = 135°, ∠B = ∠D = 45°, 135° + 45° = 180°. Diaqonallar: AO = OC ≈ 2,8 sm, BO = OD ≈ 6,0 sm.

Tərəflər dəyişmir: AB = DC = 5 sm, AD = BC = 8 sm, perimetr P = 2(8 + 5) = 26 sm. Oxlar qarşı tərəflərin hər vəziyyətdə paralel olduğunu göstərir.

Üç vəziyyətin üçündə də eyni dörd şey baş verir:

• qarşı tərəflər bərabər və paraleldir;
• qarşı bucaqlar bərabərdir: bir qövslü bucaqlar bir‑birinə, iki qövslülər bir‑birinə;
• qonşu iki bucağın cəmi həmişə 180°‑dir;
• diaqonallar bərabər deyil, amma O nöqtəsində bir‑birini yarıya bölür (bir cizgili hissələr bərabərdir, iki cizgililər də).

Bu, təsadüf deyil. Əvvəl fiqura ad verək, sonra hər müşahidəni isbat edək.

2 · Qayda

Tərif və hündürlük

Tərif

Qarşı tərəfləri paralel olan dördbucaqlıya paraleloqram deyilir.

AD ∥ BC, AB ∥ DC

Təpələr ardıcıl oxunur: A ilə C, B ilə D qarşı təpələrdir; A ilə B qonşu təpələrdir. Şəkildə bir ox bir cüt paralel tərəfi, iki ox o biri cütü göstərir.

Paraleloqram və hündürlük

Lövhə 2Paraleloqram və iki hündürlük

BH ⊥ AD, CK ⊥ AD. K nöqtəsi AD‑nin uzantısına düşüb, amma CK də AD tərəfinə çəkilmiş hündürlükdür və BH‑a bərabərdir.

Dərslik hündürlüyü belə təyin edir: tərəfinin ixtiyari nöqtəsindən qarşı tərəfi özündə saxlayan düz xəttə çəkilmiş perpendikulyara paraleloqramın hündürlüyü deyilir. İki paralel düz xətt arasındakı məsafə hər yerdə eynidir, ona görə eyni tərəfə çəkilmiş bütün hündürlüklər bərabərdir: Lövhə 2‑də BH = CK = h.

İki cüt paralel

Tərifdə hər iki cüt lazımdır. Yalnız bir cüt tərəfi paralel olan dördbucaqlı paraleloqram deyil.

Hündürlük uzantıya düşə bilər

Perpendikulyarın oturacağı tərəfin özündə yox, onu saxlayan düz xətdə ola bilər (Lövhə 2‑də K).

3 · Qayda

Xassələr: niyə belədir?

İsbat üçün iki alət kifayətdir: paralel düz xətlərin kəsənlə əmələ gətirdiyi bucaqlar və üçbucaqların konqruyentlik əlamətləri (TBT, BTB, TTT).

Teorem 1

Paraleloqramın qonşu təpələrindəki daxili bucaqlarının cəmi 180°‑dir.

∠A + ∠B = 180°

Niyə: AD ∥ BC, AB isə kəsəndir. ∠A və ∠B daxili birtərəfli bucaqlardır, onların cəmi 180°‑dir. Eyni qayda ilə ∠B + ∠C, ∠C + ∠D, ∠D + ∠A da 180°‑dir. Deməli bir bucaq bilinirsə, qonşuları məlumdur: ∠B = ∠D = 180° − ∠A.

Diaqonal iki konqruyent üçbucaq yaradır

Diaqonal paraleloqramı iki konqruyent üçbucağa bölür

Lövhə 3AC diaqonalı və yarım dövr

Başla Yenidən Yenidən

Başla: CDA üçbucağının nüsxəsi O ətrafında yarım dövr fırlanır və ABC üçbucağının üstünə tam düşür.

ΔABC ≅ ΔCDA

Teorem 2, 3, 4

• Teorem 2. Paraleloqramın qarşı bucaqları konqruyentdir: ∠A ≅ ∠C, ∠B ≅ ∠D.
• Teorem 3. Paraleloqramın qarşı tərəfləri konqruyentdir: AB ≅ CD, AD ≅ BC.
• Teorem 4. Paraleloqramın diaqonalı onu iki konqruyent üçbucağa ayırır: ΔABC ≅ ΔCDA, ΔABD ≅ ΔCDB.

Diaqonallar bir‑birini yarıya bölür

Diaqonallar yarıya bölünür

Lövhə 4ΔAOB ≅ ΔCOD

ΔAOB ≅ ΔCOD

Teorem 5

Paraleloqramın diaqonalları kəsişir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünürlər.

AO = OC, BO = OD

Lövhə 3‑dəki fırlanma da bunu göstərir: yarım dövr A‑nı C‑yə, D‑ni B‑yə aparır, O isə yerində qalır. Deməli O hər iki diaqonalın ortasıdır.

4 · Hesabla

Xassələrlə hesablayırıq

Perimetr

Tərəfləri a və b olan paraleloqramda iki tərəf a, iki tərəf b‑dir:

P = 2(a + b)

Nümunə 1Fərqi verilən iki bucaq

Paraleloqramın bir bucağı digərindən 42° böyükdür. Bütün bucaqlarını tapın.

1. Qarşı bucaqlar bərabərdir. Bu iki bucaq fərqlidir, deməli qonşudur və cəmləri 180°‑dir.
2. Kiçiyi x olsun: x + (x + 42°) = 180°.
3. 2x = 138°, x = 69°; böyüyü 69° + 42° = 111°. 69°; 111°; 69°; 111°

Nümunə 2Nisbət və perimetr

ABCD paraleloqramında AB : BC = 7 : 12, perimetr 76 sm‑dir. Tərəfləri tapın.

1. P = 2(AB + BC), deməli AB + BC = 76 : 2 = 38 sm.
2. 7 + 12 = 19 hissə: bir hissə 38 : 19 = 2 sm.
3. AB = 7 · 2 = 14 sm, BC = 12 · 2 = 24 sm. Yoxlama: 2(14 + 24) = 76. AB = CD = 14 sm, BC = AD = 24 sm

Nümunə 3Diaqonalların yarıları

ABCD paraleloqramının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. AC = 24 sm, BD = 14 sm, AB = 13 sm. AOB üçbucağının perimetrini tapın.

Nümunə 3: diaqonalların yarıları

Lövhə 5Yarım diaqonallarmiqyasla

1. Teorem 5: AO = 24 : 2 = 12 sm.
2. BO = 14 : 2 = 7 sm.
3. P(AOB) = AO + BO + AB = 12 + 7 + 13 = 32 sm. 32 sm

COD üçbucağının da perimetri 32 sm‑dir: Lövhə 4‑ə görə ΔAOB ≅ ΔCOD.

5 · Tənbölən

Tənbölən bərabəryanlı üçbucaq kəsir

Yadda saxla

Paraleloqramın bucağının tənböləni qarşı tərəfi kəsəndə bərabəryanlı üçbucaq ayırır. Səbəb: tənbölən bucağı iki bərabər hissəyə bölür, paralel tərəflər isə daxili çarpaz bucaqlarla üçüncü bərabər bucaq yaradır. Üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, onların qarşısındakı tərəflər də bərabərdir.

Nümunə 4D bucağının tənböləni

ABCD paraleloqramında D bucağının tənböləni BC tərəfini M nöqtəsində kəsir. CD = 10 sm, BM = 6 sm. Paraleloqramın perimetrini tapın.

Nümunə 4: tənbölən bərabəryanlı üçbucaq kəsir

Lövhə 6Üç bərabər bucaqmiqyasla

1. ∠ADM = ∠MDC: DM tənböləndir.
2. ∠ADM = ∠CMD: AD ∥ BC, DM kəsəndir, daxili çarpaz bucaqlar.
3. Deməli ∠MDC = ∠CMD, DCM üçbucağı bərabəryanlıdır: CM = CD = 10 sm.
4. BC = 6 + 10 = 16 sm.
5. P = 2(10 + 16) = 52 sm. P = 52 sm

6 · Əlamətlər

Paraleloqram olduğunu necə sübut edək?

Xassələr «paraleloqramdırsa, nə doğrudur» sualına cavab verir. Əlamətlər tərsini deyir: hansı verilənlər dördbucaqlının paraleloqram olduğunu təmin edir.

Paraleloqramın əlamətləri

1. İki qarşı tərəfi konqruyent və paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır.
2. Qarşı tərəfləri konqruyent olan dördbucaqlı paraleloqramdır.
3. Dördbucaqlının diaqonalları kəsişirsə və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünürsə, bu dördbucaqlı paraleloqramdır.

Verilənləri seç

AD ∥ BC, AD = BC AB = CD, AD = BC AO = OC, BO = OD AD ∥ BC, AB = CD

Əlamət yoxlayıcısı

Lövhə 7Əlamət yoxlayıcısı

Paraleloqramdır (əlamət 1). Niyə: AC diaqonalını çək. AD = CB, AC ortaqdır, ∠DAC = ∠BCA (AD ∥ BC). TBT‑yə görə ΔACD ≅ ΔCAB, deməli ∠ACD = ∠CAB. Bu daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, ona görə AB ∥ CD.

Paraleloqramdır (əlamət 2). Niyə: AC diaqonalı ilə TTT‑yə görə ΔABC ≅ ΔCDA. Onda ∠BAC = ∠DCA və ∠BCA = ∠DAC: daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, deməli AB ∥ CD və BC ∥ AD.

Paraleloqramdır (əlamət 3). Niyə: ∠AOD = ∠COB (qarşılıqlı bucaqlar), AO = OC, DO = OB. TBT‑yə görə ΔAOD ≅ ΔCOB, deməli ∠OAD = ∠OCB və AD ∥ BC. Eyni yolla AB ∥ CD.

Kifayət deyil Bu dördbucaqlıda AD ∥ BC və AB = CD, amma o, bərabəryanlı trapesiyadır: AD ≠ BC, AB və CD paralel deyil. Paralel olan və bərabər olan eyni cüt deyil. Diqqət mərhələsində bunun niyə mümkün olduğunu görəcəksən.

Oxlar verilmiş paralellikləri, cizgilər verilmiş bərabərlikləri göstərir. Fiqurda başqa heç nə verilməyib.

7 · Diqqət

Dörd tez‑tez edilən səhv

Bir cüt paralel, o biri cüt bərabər

Bir cüt paralel, o biri cüt bərabər

Lövhə 8Bərabər tərəfin iki yeri

Başla Yenidən Yenidən

A, B, C nöqtələri verilib, BC ∥ AD. CD‑ni AB‑yə bərabər götürmək üçün pərgarı AB qədər açıb C‑dən qövs çəkirik. Qövs AD düz xəttini iki nöqtədə kəsir:

• D₁: ABCD₁ paraleloqramdır, CD₁ AB‑yə paraleldir;
• D₂: ABCD₂‑də də CD₂ = AB və BC ∥ AD, amma bu, bərabəryanlı trapesiyadır.

Verilənlər D‑nin hansı nöqtədə olduğunu seçmir, ona görə onlar paraleloqramı təmin etmir.

Səhv

AD ∥ BC, AB = CD

Paralel bir cüt, bərabər o biri cüt: trapesiya da ola bilər.

Düz

AD ∥ BC, AD = BC

Əlamət 1: eyni cüt həm paralel, həm bərabər olmalıdır.

Qarşı və qonşu bucaqları qarışdırmaq

Səhv

∠A = 69° ⇒ ∠C = 111°

A və C qarşı təpələrdir, cəmləri 180° deyil.

Düz

∠C = 69°, ∠B = 111°

Qarşı bucaqlar bərabərdir; 180°‑ə qonşu bucaqlar tamamlayır (Nümunə 1).

«Diaqonallar bərabərdir»

Səhv

AC = BD

Lövhə 1‑də 40°‑də AO ≈ 6,1 sm, BO ≈ 2,6 sm: diaqonallar çox fərqlidir.

Düz

AO = OC, BO = OD

Hər paraleloqramda doğru olan yalnız yarıya bölünmədir. Bərabər diaqonallar xüsusi paraleloqramlara aiddir (növbəti mövzu).

Tənbölən tərəfi yarıya bölür?

Səhv

BM = MC

Tənbölən bucağı yarıya bölür, qarşı tərəfi yox.

Düz

CM = CD

Kəsilən üçbucaq bərabəryanlıdır (Nümunə 4: 10 sm və 10 sm).

8 · Həyatda

Menteşəli paraleloqramlar

Dərsin əvvəlindəki paralel xətkeşə qayıdaq. Çubuqlar bərabərdir: AB = DC. Hər xətkeşdə menteşələr arası məsafə eynidir: BC = AD. Əlamət 2‑yə görə ABCD hər vəziyyətdə paraleloqramdır, deməli BC ∥ AD: üst xətkeşin kənarı boyunca çəkilən xətt alt xətkeşin kənarına paraleldir. Dənizçi xətkeşi addım‑addım xəritənin istənilən yerinə keçirir, istiqamət isə dəyişmir.

Eyni fikir başqa qurğularda da işləyir: dörd menteşəni elə qoşurlar ki, qarşı çubuqlar bərabər olsun.

Qarşı tərəflər bərabər → paralel qalır

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan ABCD paraleloqramında ∠D = 38°. ∠B neçə dərəcədir? Sual 1 variantları 142° 38° 52° Düzdür! B və D qarşı təpələrdir. B və D qonşu, yoxsa qarşı təpələrdir? Ardıcıllığa bax: A, B, C, D. Həllə bax Teorem 2: ∠B = ∠D = 38°. 180° − 38° = 142° isə qonşu bucaqlardır: ∠A və ∠C.
2. Asan Tərəfləri 10 sm və 4 sm olan paraleloqramın perimetri nə qədərdir? Sual 2 variantları 14 sm 28 sm 40 sm Düzdür! P = 2(10 + 4). Perimetr dörd tərəfin cəmidir, hər uzunluq iki dəfə gəlir. Həllə bax P = 2(a + b) = 2(10 + 4) = 28 sm. 14 sm yalnız iki tərəfin cəmidir.
3. Orta ABCD paraleloqramında A bucağının tənböləni BC tərəfini K nöqtəsində kəsir. AB = 8 sm, KC = 3 sm. AD‑ni tapın. Sual 3 variantları 6 sm 11 sm 8 sm Düzdür! BK = AB = 8 sm, BC = 11 sm. Tənbölən BC‑ni yarıya bölmür. ABK üçbucağına bax: hansı tərəfləri bərabərdir? Həllə bax ∠BAK = ∠KAD (tənbölən) və ∠KAD = ∠BKA (daxili çarpaz), deməli ABK bərabəryanlıdır: BK = AB = 8 sm. BC = 8 + 3 = 11 sm, AD = BC = 11 sm.
4. Orta ABCD dördbucaqlısının bucaqları ardıcıl 84°, 96°, 84°, 96°‑dir. O, paraleloqramdırmı? Sual 4 variantları Bəli Xeyr Bilmək olmaz Düzdür! Hər iki cüt qarşı tərəf paraleldir. Qonşu bucaqların cəmini hesabla. Daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°‑dirsə, düz xətlər necədir? Həllə bax ∠A + ∠B = 84° + 96° = 180°: AB kəsəni ilə daxili birtərəfli bucaqlar, deməli AD ∥ BC. ∠B + ∠C = 180°: BC kəsəni ilə, deməli AB ∥ CD. Tərifə görə ABCD paraleloqramdır.
5. Çətin ABCD paraleloqramının perimetri 42 sm, ABD üçbucağının perimetri 31 sm‑dir. BD diaqonalını tapın. Sual 5 variantları 21 sm 10 sm 11 sm Düzdür! AB + AD = 21 sm, BD = 31 − 21. ABD üçbucağına paraleloqramın neçə tərəfi daxildir? Əvvəl AB + AD‑ni tap. Həllə bax AB + AD = 42 : 2 = 21 sm. P(ABD) = AB + AD + BD, deməli BD = 31 − 21 = 10 sm. 42 − 31 = 11 sm çıxmaq səhvdir: üçbucaq tərəflərin yarısını yox, iki tərəfi və diaqonalı saxlayır.
6. Çətin ABCD paraleloqramında A bucağının tənböləni BC tərəfini E nöqtəsində kəsir, ∠AEB = 28°. ∠D‑ni tapın. Sual 6 variantları 56° 124° 152° Düzdür! ∠A = 56°, ∠D = 180° − 56°. Əvvəl ∠A‑nı tap: ∠AEB hansı bucağa daxili çarpaz bucaq kimi bərabərdir? Həllə bax ∠EAD = ∠AEB = 28° (AD ∥ BC, daxili çarpaz). AE tənböləndir: ∠A = 2 · 28° = 56°. ∠D qonşu bucaqdır: 180° − 56° = 124°. 56° ∠A‑nın özüdür, 152° isə 180° − 28°‑dir.

10 · Yekun

Üç nəticə

• XassələrQonşu bucaqların cəmi 180°, qarşı bucaqlar və tərəflər bərabər, diaqonallar yarıya bölünür. Hamısı diaqonalın yaratdığı konqruyent üçbucaqlardan çıxır.
• HesabP = 2(a + b); bir bucaq bütün bucaqları verir; tənbölən bərabəryanlı üçbucaq kəsir.
• ƏlamətlərBir cüt bərabər və paralel, iki cüt bərabər və ya yarıya bölünən diaqonallar kifayətdir. «Bir cüt paralel, o biri bərabər» kifayət deyil.

Növbəti mövzu: 3.20 Paraleloqramın növləri — hansı əlavə şərt paraleloqramın diaqonallarını bərabər edir?

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Paraleloqram» dərsi, səh. 75–78: tərif və hündürlük, Teorem 1–5, perimetr düsturu, paraleloqramın üç əlaməti və 3-cü əlamətin isbat ideyası, tənbölən məsələsinin ideyası. Teorem 5 burada ΔAOB ≅ ΔCOD ilə və yarım dövr fırlanma ilə izah olunur. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilib; lövhələr miqyasla çəkilib.