Üçhədlinin vuruqlara ayrılması: içində gizlənmiş tam kvadrat

Mətn (transkript)

Dərslikdə kiçik bir araşdırma tapşırığı var. Orada Səməd adlı bir şagird maraqlı bir iddia edir. Götürək bu üçhədlini: iks kvadrat, üstəgəl altı iks, üstəgəl on. Səməd deyir ki, iksin yerinə hansı ədədi yazsanız yazın, bu ifadənin qiyməti birdən kiçik olmayacaq. Yəni onun ala biləcəyi ən kiçik qiymət birdir. Gəlin bir neçə ədədlə yoxlayaq. İksin yerinə sıfır yazsaq, on alınır. Mənfi bir yazsaq, beş alınır. Mənfi üç yazsaq, düz bir alınır. Amma ədədlər sonsuzdur, hamısını yoxlamaq mümkün deyil. Bəs Səməd buna necə əmin olub? Bu dərsin sonunda onun sirrini açacağıq. Sirrin açarı isə iki sözdür: tam kvadrat. Salam! Bu gün yeddinci sinif riyaziyyatından danışırıq. Mövzumuz belədir: ikihədlinin kvadratı düsturlarından istifadə edərək üçhədlinin vuruqlara ayrılması. Yolumuz üç addımdır. Əvvəlcə tanış düsturu tərsinə oxuyacağıq. Sonra bir üçhədliyə baxıb onun tam kvadrat olub-olmadığını tanımağı öyrənəcəyik. Sonra isə tam kvadrata çatmayan hissəni tamamlayacağıq və Səmədin yanına qayıdacağıq. Əvvəlcə keçən dərsi xatırlayaq. Orada iki ifadənin cəmini kvadrata yüksəltmişdik. Qaydanı sözlə deyək. İki ifadənin cəminin kvadratı birinci ifadənin kvadratına, üstəgəl onların hasilinin iki mislinə, üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına bərabərdir. Fərqin kvadratında da eyni üç parça var, yalnız ortadakı hasilin iki misli çıxılır. Dərslik burada vacib bir şey deyir. Bu bərabərliklər eynilikdir, yəni hərflərin istənilən qiymətində doğrudur. Ona görə bərabərliyin sağ və sol tərəflərinin yerini dəyişmək olar. Soldan sağa oxuyanda mötərizəni açırıq. Sağdan sola oxuyanda isə əks işi görürük: üç toplanandan ibarət cəm bir ikihədlinin kvadratına çevrilir. Kvadrat isə iki eyni vuruğun hasilidir. Deməli, belə üçhədlini iki eyni ikihədlinin hasili kimi yazmaq olar. Bu, vuruqlara ayırmadır. İkihədlinin kvadratı kimi yazıla bilən üçhədliyə qısaca tam kvadrat deyirik. İndi ikinci addım: tam kvadratı necə tanıyaq? Onu şəxsiyyət vəsiqəsi kimi yoxlayaq. Dərslikdəki həll üç sual verir. Birinci sual: toplananlardan ikisi hansısa ifadələrin kvadratıdırmı, və nəyin kvadratıdır? İkinci sual: qalan toplanan o iki ifadənin hasilinin iki mislinə bərabərdirmi? Üçüncü sual: onun qarşısında hansı işarə var? Üstəgəl varsa, cəmin kvadratıdır. Çıx varsa, fərqin kvadratıdır. Bir nümunə götürək: iqrek kvadrat, üstəgəl on dörd iqrek, üstəgəl qırx doqquz. Birinci sual: iqrek kvadrat iqrekin kvadratıdır, qırx doqquz isə yeddinin kvadratıdır. İkinci sual: iqrek ilə yeddinin hasili yeddi iqrekdir, onun iki misli on dörd iqrek. Bəli, ortadakı toplanan məhz budur. Üçüncü sual: işarə üstəgəldir. Belə halda cavab hazırdır. Bu üçhədli iqrek ilə yeddinin cəminin kvadratıdır. Başqa sözlə, iki eyni mötərizənin hasilidir, və hər mötərizədə iqrek üstəgəl yeddi yazılır. İkinci nümunədə əmsal var: on altı iks kvadrat, çıx səkkiz iks, üstəgəl bir. On altı iks kvadrat dörd iksin kvadratıdır, çünki kvadrata həm hərf, həm də əmsal yüksəlir. Bir isə birin kvadratıdır. Dörd iks ilə birin hasili dörd iksdir, iki misli səkkiz iks. İşarə çıxdır. Deməli, bu üçhədli dörd iks ilə birin fərqinin kvadratıdır. Burada iki tələ var. Birinci tələ ikini unutmaqdır. Məsələn, a kvadrat, üstəgəl altı a, üstəgəl otuz altı. Otuz altı altının kvadratıdır. Amma a ilə altının hasilinin iki misli on iki a olmalı idi, altı a yox. Deməli, bu üçhədli tam kvadrat deyil. İkinci tələ orta əmsalı mötərizəyə köçürməkdir. İqrek kvadrat, çıx on dörd iqrek, üstəgəl qırx doqquz, iqrek ilə yeddinin fərqinin kvadratıdır, iqrek ilə on dördün fərqinin yox. Mötərizəyə ikinci ifadə düşür, yəni kvadratı qırx doqquz olan yeddi. İndi üçüncü addım. Bəzən üçhədli tam kvadrat olmur, amma ona bir addım qalır. Belə bir sual düşünün. İks kvadrat, üstəgəl iyirmi iks: buna hansı ədədi əlavə edək ki, tam kvadrat alınsın? Orta toplanan iks ilə ikinci ifadənin hasilinin iki mislidir. İyirmi iksin yarısı on iksdir, deməli ikinci ifadə ondur. Onun kvadratı isə yüz. Yüz əlavə etsək, iks üstəgəl on, bu cəmin kvadratı alınır. İndi Səmədin üçhədlisinə qayıdaq: iks kvadrat, üstəgəl altı iks, üstəgəl on. Altı iksin yarısı üç iksdir, deməli ikinci ifadə üçdür. Tam kvadrat olması üçün sonda doqquz lazımdır, çünki üç vur üç doqquzdur. Bizdə isə on var. On doqquzdan bir vahid çoxdur. Ona görə on ədədini doqquz ilə birin cəmi kimi yazırıq. İks kvadrat, altı iks və doqquz birlikdə tam kvadrat verir. Belə halda Səmədin üçhədlisi belə yazılır: iks üstəgəl üç, bu cəmin kvadratı, üstəgəl bir. Dərslik bu fəndə tam kvadrat ayırmaq deyir. İndi sirr açılır. Əsas fakt budur: heç bir ədədin kvadratı mənfi olmur. Müsbət ədədin kvadratı müsbətdir. Mənfi ədədin kvadratı da müsbətdir: mənfi üç vur mənfi üç, müsbət doqquz edir. Sıfırın kvadratı isə sıfırdır. Deməli, kvadratın ala biləcəyi ən kiçik qiymət sıfırdır. İndi Səmədin üçhədlisinə baxın: o, kvadrat üstəgəl birdir. Kvadrat sıfırdan kiçik ola bilmir, ona görə bütün ifadə birdən kiçik ola bilmir. Ən kiçik qiymət kvadrat sıfır olanda alınır, yəni iks üstəgəl üç sıfıra bərabər olanda. Bu da iks mənfi üç olanda baş verir. Yadınızdadırsa, mənfi üçü yoxlayanda düz bir almışdıq. Deməli, Səməd haqlıdır: ən kiçik qiymət birdir. Buradan daha bir nəticə çıxır: bu üçhədli iksin istənilən qiymətində müsbətdir, çünki birdən kiçik olmur. Amma hər üçhədli belə şanslı deyil. Dərslikdəki nümunədə a kvadrat, üstəgəl on dörd a, üstəgəl on var. Tam kvadrat üçün sonda qırx doqquz lazımdır, bizdə isə yalnız on var. Çatışanı əlavə edib dərhal geri çıxırıq ki, ifadənin qiyməti dəyişməsin. Belə halda a üstəgəl yeddi, bu cəmin kvadratı, çıx otuz doqquz alınır. Bu üçhədlinin ən kiçik qiyməti isə mənfi otuz doqquzdur. Gəlin Səmədin sualına qayıdaq. O, sonsuz sayda ədədi yoxlamadı. O, üçhədlinin içində gizlənmiş kvadratı gördü. Kvadrat heç vaxt mənfi ola bilmir, ona görə kənarda qalan bir vahid ifadənin ən kiçik qiyməti oldu. Bu dərsdən yadda saxlanacaq bir fikir var: ikihədlinin kvadratı düsturunu sağdan sola oxuyun. İki toplanan kvadratdırsa və üçüncüsü onların hasilinin iki mislidirsə, üçhədli tam kvadratdır və iki eyni vuruğa ayrılır. Tam kvadrata bir az çatmırsa, onu tamamlayın və artıq qalanı kənara ayırın. Yazılı addımları və yeni misalları oxu dərsində tapacaqsınız. Kağız götürün və özünüz yoxlayın: mötərizəni açanda yenidən həmin üçhədli alınmalıdır. Dinlədiyiniz üçün sağ olun!