Üçbucağın orta xətti: bibinin xalça hanası

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: qış axşamı, Quba. Çöldə qar yağır, otaqda soba yanır, odun çırtıldayır. Pəncərənin yanında böyük taxta hana dayanıb. Hana xalça toxumaq üçün dəzgahdır. Səkkizinci sinifdə oxuyan Leyla bibisi Sitarəgilə qonaq gəlib. Sitarə bibi xalçaçıdır. Hanadakı xalçanın ortasında böyük bir üçbucaq naxışı var. Üçbucağın alt tərəfi bir sıra boyunca düz uzanır, təpəsi isə yuxarıdadır. Üçbucaq bir az əyridir: sol tərəfi sağ tərəfindən uzundur. Sitarə bibi xalçanı aşağıdan yuxarıya, sıra-sıra toxuyur. Hər yeni sıra əvvəlkinin üstünə düşür və alt tərəfə paralel gedir. Üçbucağın alt tərəfi bir metr iyirmi santimetrdir. Leyla santimetr lenti ilə üçbucağın sol tərəfini ölçür və onun düz ortasına qırmızı sap bağlayır. Bibisi ilmələrə baxıb sakitcə deyir: «Bu qırmızı sapdan keçən sıra o biri tərəfə, yəni sağ tərəfə də düz ortasında çatacaq. Üçbucağın içində bu sıranın uzunluğu isə altmış santimetr olacaq.» Üç gün sonra toxuma həmin sıraya çatır. Leyla lenti çəkib ölçür. Sıra sağ tərəfin düz ortasında bitir, uzunluğu da düz altmış santimetrdir. Leyla təəccüblənir: «Bibi, axı bu üçbucaq əyridir. Sol tərəfi uzun, sağ tərəfi qısadır. Sən bunu ölçmədən necə bildin?» Bibisi gülümsəyir: «Üçbucaq əyri olsa da, düz olsa da, bu sıra həmişə alt tərəfin yarısı qədər olur.» Bibi bunu necə bildi? Və niyə əyri üçbucaqda da cavab eynidir? Cavab bu günkü dərsimizdədir. Salam, əziz dinləyici! Bu gün səkkizinci sinif həndəsəsində üçbucağın orta xətti ilə tanış olacağıq. Bunun üçün üç tanış bilik lazımdır. Birincisi, parçanın orta nöqtəsi onu iki bərabər hissəyə bölür. İkincisi, keçən dərsdə öyrəndiyimiz Fales teoremi. Üçüncüsü, paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir. Bu üç bilikdən bu gün yeni bir qayda quracağıq. Əvvəlcə üçbucağa ad verək, çünki onu yalnız sözlə quracağıq. Üçbucağın sol alt küncünü A adlandıraq. Yuxarıdakı təpəni Be adlandıraq. Sağ alt küncü isə Ce adlandıraq. Beləliklə, alt tərəf A nöqtəsindən Ce nöqtəsinə qədər uzanır. Sol tərəf A nöqtəsindən yuxarıya, Be təpəsinə qalxır. Sağ tərəf isə Be təpəsindən aşağıya, Ce nöqtəsinə enir. İndi sol tərəfin orta nöqtəsini Em ilə işarə edək. Bu, Leylanın qırmızı sapıdır. Sağ tərəfin orta nöqtəsini isə En ilə işarə edək. İndi tərifi deyək. Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən parçaya bu üçbucağın orta xətti deyilir. Bizim üçbucaqda orta xətt Em En parçasıdır: o, sol tərəfin ortasını sağ tərəfin ortası ilə birləşdirir. Qalan tərəfə, yəni alt tərəfə, üçüncü tərəf deyəcəyik. Bir tələyə diqqət edin: orta xətti medianla qarışdırmayın. Median üçbucağın təpəsindən çıxır və qarşı tərəfin ortasına gedir. Orta xəttin isə hər iki ucu tərəflərin ortasındadır. Hər üçbucağın üç orta xətti var, çünki üç tərəfdən ikisini üç cür seçmək olar. İndi bu dərsin iki sirrinə keçək. Birinci sirr: qırmızı sapdan keçən sıra niyə sağ tərəfin düz ortasına çatır? Burada Fales teoremi köməyə gəlir. Xatırlayaq: bucağın bir tərəfində bərabər parçalar ayırıb onların uclarından paralel düz xətlər çəksək, bu düz xətlər bucağın o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bizim bucaq Be təpəsindəki bucaqdır. Bu bucağın bir tərəfi üçbucağın sol tərəfi, o biri tərəfi isə sağ tərəfidir. Sol tərəfdə Em nöqtəsi iki bərabər parça ayırır: Be təpəsindən Em nöqtəsinə qədər və Em nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər. İndi Em nöqtəsindən alt tərəfə paralel düz xətt çəkək. Xalçada bu, qırmızı sapdan keçən sıradır. Alt tərəf özü də bu sıraya paraleldir. Fales teoreminə görə sağ tərəfdə də iki bərabər parça alınır. Deməli, sıra sağ tərəfi düz ortasında, yəni En nöqtəsində kəsir. Em En orta xətti bu sıranın üzərində yatır. Buna görə orta xətt üçüncü tərəfə paraleldir. Bu, qaydanın birinci hissəsidir. İkinci sirr: orta xətt niyə düz yarıdır? Bunun üçün daha bir orta xətt çəkək. Alt tərəfin orta nöqtəsini Ka ilə işarə edək. İndi En nöqtəsindən sol tərəfə paralel düz xətt çəkək və onu aşağıya, alt tərəfə qədər uzadaq. Bu dəfə Ce təpəsindəki bucağa baxırıq. En nöqtəsi sağ tərəfin ortası olduğu üçün, Fales teoreminə görə bu düz xətt alt tərəfi də düz ortasında, yəni Ka nöqtəsində kəsir. Deməli, En Ka parçası da orta xətdir və sol tərəfə paraleldir. İndi dörd nöqtəyə baxaq: A, Em, En və Ka. Bu nöqtələr bir dördbucaqlı yaradır. Dördbucaqlının yuxarı tərəfi Em En parçası, aşağı tərəfi isə A Ka parçasıdır, və bu iki tərəf paraleldir. Sağ tərəfi En Ka, sol tərəfi isə A Em parçasıdır, və bu iki tərəf də paraleldir. Qarşı tərəfləri paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır. Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir. Deməli, Em En parçası A Ka parçasına bərabərdir. Ka alt tərəfin ortası olduğu üçün A Ka parçası alt tərəfin yarısıdır. Beləliklə, orta xətt üçüncü tərəfin düz yarısına bərabərdir. Diqqət edin: paralellik bizə yalnız istiqaməti verir. Uzunluğun yarı olduğunu isə paraleloqram və Ka orta nöqtəsi birlikdə göstərir. İndi qaydanı tam deyək. Üçbucağın orta xətti üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir. Tərsinə də demək olar: üçüncü tərəf orta xətdən iki dəfə uzundur. İndi özünüz yoxlayın. Sitarə bibinin ikinci xalçasında başqa bir üçbucaq naxışı var. Xalçanın aşağı hissəsi qatlanıb, ona görə üçbucağın alt tərəfi görünmür. Amma orta xəttin yerində qırmızı sap var və onun uzunluğu qırx üç santimetrdir. Üçbucağın alt tərəfi neçə santimetrdir? Fikirləşin. Orta xətt üçüncü tərəfin yarısıdır, deməli üçüncü tərəf orta xətdən iki dəfə uzundur. Qırx üçü ikiyə vururuq: alt tərəf səksən altı santimetrdir. Bir tələyə diqqət edin: burada qırx üçü ikiyə bölmək səhvdir. Bölsək, iyirmi bir tam onda beş alınar. Amma orta xətt həmişə kiçik parçadır, üçüncü tərəf isə böyük. Kiçik parçanı bilirsinizsə, böyüyünü tapmaq üçün ikiyə vurursunuz. İndi Sitarə bibinin ən sevdiyi naxışa keçək. O, üçbucağın hər üç tərəfinin ortasını tapır və üç orta xəttin hamısını toxuyur. Ortada yeni, kiçik bir üçbucaq yaranır və o, tərsinə durur: təpəsi aşağıya baxır. Bu kiçik üçbucağın təpələri böyük üçbucağın tərəflərinin orta nöqtələridir. Bu üçbucağa orta nöqtələr üçbucağı deyək. Böyük üçbucaq indi dörd kiçik üçbucağa bölünüb. Biri yuxarıda, Be təpəsinin yanındadır. Biri sol küncdə, A nöqtəsinin yanındadır. Biri sağ küncdə, Ce nöqtəsinin yanındadır. Dördüncüsü isə ortadadır. Bu dörd üçbucaq konqruyentdir, yəni tam eynidir. Səbəbi orta xətt qaydasıdır. Yuxarıdakı kiçik üçbucağa baxaq. Bu üçbucağın iki tərəfi sol və sağ tərəflərin yuxarı yarılarıdır. Üçüncü tərəfi Em En orta xəttidir, o da alt tərəfin yarısıdır. Qalan üç üçbucaqda da eyni şey baş verir: hər birinin tərəfləri böyük üçbucağın üç tərəfinin yarılarıdır. Üç tərəfi uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar konqruyentdir. İndi perimetrə baxaq. Böyük üçbucağın sərhəd sapının uzunluğu, yəni perimetri, bir metr altmış santimetrdir, yəni yüz altmış santimetr. Ortadakı üçbucağın perimetri neçə santimetrdir? Bəs hər kiçik üçbucağın perimetri? Fikirləşin. Ortadakı üçbucağın hər tərəfi böyük üçbucağın bir tərəfinin yarısıdır. Deməli, ortadakı üçbucağın perimetri də böyük perimetrin yarısıdır: yüz altmışın yarısı, yəni səksən santimetr. Dörd üçbucaq konqruyent olduğu üçün hər birinin perimetri səksən santimetrdir. Burada çox yayılmış bir səhv var: dörd üçbucaq görüb perimetri dördə bölmək. Qırx santimetr səhv cavabdır. Səbəbi budur: içəridəki hər orta xətt iki kiçik üçbucağa birdən aiddir. Dörd perimetri toplasaq, orta xətlər iki dəfə sayılır və cəm üç yüz iyirmi santimetr olur. Axşam çay süfrəsində Sitarə bibi Leylaya bir tapmaca deyir. Növbəti naxış bərabəryanlı üçbucaq olacaq. Bu üçbucağın iki tərəfi bərabərdir, onlara yan tərəflər deyilir. Üçüncü tərəf isə oturacaqdır. Sərhəd sapının uzunluğu, yəni perimetri, yüz səksən səkkiz santimetrdir. Bir orta xəttin uzunluğu otuz səkkiz santimetrdir. Üçbucağın tərəfləri neçə santimetrdir? Kiçik bir ipucu: əvvəlcə soruşun, bu orta xətt hansı tərəfə paraleldir? Fikirləşin. Birinci hal: orta xətt oturacağa paraleldir. Bu halda oturacaq orta xətdən iki dəfə uzundur, yəni yetmiş altı santimetrdir. Perimetrdən oturacağı çıxırıq və yüz on iki santimetr qalır. Bu, iki bərabər yan tərəfin cəmidir. Deməli, hər yan tərəf əlli altı santimetrdir. Yoxlayaq: əlli altı ilə əlli altının cəmi yetmiş altıdan böyükdür. Belə üçbucaq var. İkinci hal: orta xətt yan tərəflərdən birinə paraleldir. Bu halda hər yan tərəf yetmiş altı santimetrdir. İki yan tərəf birlikdə yüz əlli iki santimetr edir. Perimetrdən bunu çıxırıq və oturacaq otuz altı santimetr qalır. Yoxlayaq: yetmiş altı ilə otuz altının cəmi yetmiş altıdan böyükdür. Bu üçbucaq da var. Deməli, tapmacanın iki cavabı var. Belə məsələlərdə həmişə iki sual verin. Birincisi, orta xətt hansı tərəfə paraleldir? İkincisi, belə üçbucaq varmı? Üçbucaq olması üçün iki kiçik tərəfin cəmi ən böyük tərəfdən böyük olmalıdır. Gəlin yenidən Qubaya, sobanın yanındakı hanaya qayıdaq. Leyla artıq bibisinin sirrini bilir. Qırmızı sapdan keçən sıra alt tərəfə paraleldir və Fales teoreminə görə sağ tərəfin ortasından keçir. Bu sıra üçbucağın orta xəttidir. Paraleloqram isə göstərir ki, orta xətt alt tərəfin düz yarısıdır: bir metr iyirmi santimetrin yarısı altmış santimetrdir. Üçbucaq əyri olsa da, cavab eynidir, çünki isbatda yalnız orta nöqtələr və paralel düz xətlər işləndi. Sitarə bibi gülümsəyir: «Hana həndəsəni çoxdan bilir, qızım. Biz sadəcə sıraları sayırıq.» Bu günün bir fikrini yadda saxlayın. Üçbucağın iki tərəfinin ortalarını birləşdirən parça orta xətdir. Orta xətt üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir. Üç orta xətt üçbucağı dörd konqruyent üçbucağa bölür, ortadakı üçbucağın perimetri isə böyük perimetrin yarısıdır. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Və son sual: Leyla ortadakı üçbucağın da tərəflərinin ortalarını birləşdirsə, yeni, ən kiçik üçbucağın perimetri böyük üçbucağın perimetrinin hansı hissəsi olar? Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!