Pifaqor teoreminin tətbiqi: göydəki gizli üçbucaq

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: yaz günüdür, şəhərdən kənarda, açıq bir təpənin başındayıq. Külək otları dalğalandırır, quşlar oxuyur. Nərminin əlində makara var, göydə isə rəngli bir uçurtma. Uçurtma küləyə qarşı dartınır, uzun quyruğu havada qıvrılır. Nərmin makaranı axıradək açıb. Makaranın üstündə yazılıb: ipin uzunluğu əlli metrdir. İp tam dartılıb və düz bir xətt kimi göyə uzanır. Kiçik qardaşı Kamran başını qaldırıb soruşur: «Uçurtma nə qədər hündürdədir?» Sual sadədir, cavab isə çətin. Göyə dırmaşmaq olmaz, heç bir ruletka ora çatmaz. İpin uzunluğu da hündürlük deyil, çünki ip maili gedir. Bu hündürlüyü ölçmək mümkün deyil. Amma onu hesablamaq mümkündür. Bunun üçün göydə gizlənmiş bir üçbucağı görmək lazımdır. Bu gün o üçbucağı birlikdə tapacağıq. Salam, əziz dinləyici! Bu dərsin mövzusu Pifaqor teoreminin tətbiqidir. Pifaqor teoremini və tərs teoremi artıq bilirsiniz. Bu gün onları işə salacağıq: ölçülə bilməyən məsafələri hesablayacağıq, üçbucağın növünü yalnız tərəflərinə görə müəyyən edəcəyik, iki xüsusi düzbucaqlı üçbucaqla tanış olacağıq, hündürlükləri və diaqonalları tapacağıq. Sonda isə yunan alimi Teodorun spiralını quracağıq. Əvvəlcə uçurtmaya qayıdaq. Kamran ipin altı ilə addımlayır və uçurtmanın düz altındakı nöqtəyə çatır. Sonra bu yolu ölçür: Nərmindən otuz metr. İndi təsəvvürümüzdə üç xətt çəkək. Birincisi, Nərminin əlindən uçurtmaya qədər dartılmış ipdir. İkincisi, uçurtmadan şaquli olaraq yerə enən xətdir, yəni axtardığımız hündürlük. Üçüncüsü, yerdə Kamranın addımladığı otuz metrlik yoldur. Hündürlük yerlə düz bucaq əmələ gətirir. Deməli, göydə düzbucaqlı üçbucaq asılıb! İp düz bucağın qarşısındadır, yəni hipotenuzdur. Hündürlük və yerdəki yol isə katetlərdir. Qalan işi teorem görür. Hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir. Əllinin kvadratı iki min beş yüzdür, otuzun kvadratı doqquz yüz. Naməlum katetin kvadratını tapmaq üçün çıxırıq: iki min beş yüzdən doqquz yüz çıxsaq, min altı yüz qalır. Min altı yüzün kvadrat kökü qırxdır. Uçurtma qırx metr hündürlükdədir! Bu üsulun sirrini yadda saxlayın. Ölçə bilmədiyimiz məsafənin yanında düz bucaq axtarırıq, düzbucaqlı üçbucağı tamamlayırıq və hipotenuzun hansı tərəf olduğunu müəyyən edirik. Çayın eni, ağacın boyu da belə tapılır. Dərsliyimizdə belə məsələlər çoxdur: helikopter, uçurtma, enişli yol, çadır. Hər birində həll gizli düz bucaqdan başlayır. Bir şeyi də unutmayaq: biz Nərminin əlinin yerdən hündürlüyünü nəzərə almadıq və ipi tam düz saydıq. Riyazi model həyatı bir az sadələşdirir. İndi başqa bir sual: üçbucaqda düz bucaq yoxdursa, nə edək? Teorem onda da susmur. O, üçbucağın növünü yalnız tərəflərinə baxıb deməyə kömək edir. Bunu öz qolunuzda hiss edə bilərsiniz. Çiyindən dirsəyə qədər bir tərəfdir, dirsəkdən biləyə qədər ikinci tərəf. Üçüncü tərəf isə çiyinlə bilək arasındakı məsafədir. Dirsəyi düz bucaq altında bükün. İndi qolunuzu bir az da bükün: bilək çiyinə yaxınlaşır, üçüncü tərəf qısalır. Qolunuzu açın: bilək uzaqlaşır, üçüncü tərəf uzanır. Qolun hissələri dəyişmir, yalnız dirsəkdəki bucaq dəyişir, üçüncü tərəf də onunla birlikdə böyüyür və ya kiçilir. Dirsək düz bucaq altında olanda üçüncü tərəfin kvadratı o biri iki tərəfin kvadratları cəminə tam bərabərdir. Bucaq kiçiləndə üçüncü tərəfin kvadratı bu cəmdən kiçik olur, bucaq böyüyəndə isə ondan böyük. Dərsliyimiz bunu qayda kimi yazır. Üçbucağın ən böyük tərəfini götürün. Onun kvadratı qalan iki tərəfin kvadratları cəminə bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Cəmdən kiçikdirsə, üçbucaq itibucaqlıdır. Cəmdən böyükdürsə, korbucaqlıdır. Gəlin yoxlayaq. Tərəfləri altı, yeddi və doqquz olan üçbucaq hansı növdəndir? Bir anlıq fikirləşin. Ən böyük tərəf doqquzdur, onun kvadratı səksən birdir. Qalan iki tərəfin kvadratları otuz altı və qırx doqquzdur, cəmi səksən beş. Səksən bir səksən beşdən kiçikdir, deməli, üçbucaq itibucaqlıdır. İndi tərəfləri beş, altı və doqquz olan üçbucağa baxaq. İyirmi beşlə otuz altının cəmi altmış birdir, bu isə səksən birdən kiçikdir. Ən böyük tərəfin kvadratı cəmdən böyükdür, deməli, bu üçbucaq korbucaqlıdır. İki səhvdən çəkinin. Birincisi, həmişə ən böyük tərəfi müqayisə edin. Kiçik tərəfi götürsəniz, hər üçbucaq sizə itibucaqlı görünəcək, hətta korbucaqlı olsa belə. İkincisi, üçbucağın bir iti bucağı olması onu itibucaqlı etmir. Hər üçbucaqda ən azı iki iti bucaq var. Qərarı ən böyük tərəfin qarşısındakı bucaq verir. İndi elə iki düzbucaqlı üçbucaqla tanış olaq ki, onların tərəfləri arasındakı əlaqəni bir dəfə öyrənsəniz, hər dəfə yenidən hesablamağa ehtiyac qalmasın. Birincisini hər evdə tapmaq olar. Kvadrat formalı bir ipək kəlağayı götürün və onu küncdən küncə qatlayın. Kəlağayı üçbucağa çevrilir. Bu üçbucağın iki tərəfi kəlağayının kənarlarıdır: onlar bərabərdir və aralarında düz bucaq var. Qatlanan xətt isə kvadratın diaqonalıdır, üçbucağın hipotenuzudur. Diaqonal kvadratın küncündəki düz bucağı tən yarıya bölür, ona görə üçbucağın o biri iki bucağı qırx beş dərəcədir. Dərsliyimizin birinci teoremi belədir: bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqlarda hipotenuz hər bir katetdən ikinin kvadrat kökü dəfə böyükdür. Niyə? Çünki iki bərabər katetin kvadratlarını toplayanda bir katetin kvadratının iki misli alınır. Ondan kök alanda katetin özü ikinin kvadrat kökünə vurulmuş şəkildə çıxır. İkinin kvadrat kökü təxminən bir tam yüzdə qırx birdir. Deməli, tərəfi doxsan santimetr olan kəlağayının qatlanan kənarı təxminən yüz iyirmi yeddi santimetrdir. İkinci üçbucaq bərabərtərəfli üçbucaqdan doğulur. Bərabərtərəfli üçbucağın bütün tərəfləri bərabərdir, bütün bucaqları altmış dərəcədir. Onun təpəsindən qarşı tərəfə hündürlük endirin. Hündürlük üçbucağı iki eyni düzbucaqlı üçbucağa bölür. Hər birinin bucaqları otuz, altmış və doxsan dərəcədir. Hipotenuz bərabərtərəfli üçbucağın tam tərəfidir, otuz dərəcəli bucağın qarşısındakı katet isə həmin tərəfin yarısıdır. Dərsliyimizin ikinci teoremi də elə bunu deyir: iti bucaqlarından biri otuz dərəcə olan düzbucaqlı üçbucaqlarda hipotenuz kiçik katetdən iki dəfə böyükdür, böyük katet isə kiçik katetdən üçün kvadrat kökü dəfə böyükdür. Kiçik katet həmişə otuz dərəcəli bucağın qarşısındadır, onun yanında yox. Bu, ən çox edilən səhvdir. İndi yenə uçurtmaya baxaq. Tutaq ki, əlli metrlik ip yerlə otuz dərəcəlik bucaq əmələ gətirir. Uçurtmanın hündürlüyü bu bucağın qarşısındadır, deməli, kiçik katetdir. İp isə hipotenuzdur. Kiçik katet hipotenuzun yarısıdır: uçurtma iyirmi beş metr hündürlükdədir. Nə kvadrat lazım oldu, nə kök. Bir bucaq və bir qayda kifayət etdi. Hündürlüyün üçbucağı iki düzbucaqlı üçbucağa bölməsi bizə başqa hündürlükləri də tapmağa imkan verir. Gəlin gecə üçün çadır quraq. Çadırın ön tərəfi bərabəryanlı üçbucaqdır. İki maili tərəfin hər biri iki tam onda altı metrdir, döşəmənin eni isə düz iki metr. Çadırın ortasında boy boyda dayanmaq olarmı? Bərabəryanlı üçbucağın hündürlüyü oturacağı tən yarıya bölür. Ona görə hər yarıda bir düzbucaqlı üçbucaq alınır: hipotenuz iki tam onda altı metr, bir katet isə bir metrdir. İkinci katet, yəni hündürlük, iki tam onda dörd metr çıxır. Bu ədədlər tanışdır. Beş, on iki və on üç Pifaqor üçlüyünün hər ədədini beşə bölsək, bir, iki tam onda dörd və iki tam onda altı alınır. Deməli, çadırın ortasında böyük adam da rahat dayanar. Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü də belə tapılır, sadəcə daha qısa yolla. Hündürlük onu otuz, altmış, doxsan dərəcəli iki üçbucağa bölür və böyük katet olur. Deməli, hündürlük tərəfin yarısından üçün kvadrat kökü dəfə böyükdür. Məsələn, tərəfi iyirmi santimetr olan üçbucağın hündürlüyü təxminən on yeddi santimetrdir. Diqqət edin: tərəfin özünü yox, yarısını üçün kvadrat kökünə vururuq. Diaqonallar da eyni yolla tapılır. Düzbucaqlının diaqonalı onu iki düzbucaqlı üçbucağa bölür, diaqonal isə hipotenuz olur. Kvadratın diaqonalı kəlağayının qatlanan kənarı kimi tərəfdən ikinin kvadrat kökü dəfə böyükdür. Damalı kağızda iki nöqtə arasındakı məsafə də belə tapılır: üfüqi və şaquli xanalar katetlərdir, nöqtələri birləşdirən parça isə hipotenuz. Axşam düşür. Ocaq çırtıldayır, Nərmin isə ocağın yanında bir çubuqla qumun üstündə nəsə çəkir. O, Pifaqor teoremi ilə bir spiral qurur. Əvvəlcə katetləri bir vahid olan düzbucaqlı üçbucaq çəkir. Onun hipotenuzu ikinin kvadrat köküdür. Sonra bu hipotenuzun ucundan ona perpendikulyar olaraq yenə bir vahidlik parça çəkir və yeni hipotenuzu çəkib üçbucağı tamamlayır. Bu dəfə hipotenuz üçün kvadrat kökü olur. Növbəti addımda dördün kvadrat kökü, yəni düz iki alınır, sonra beşin kvadrat kökü. Hər yeni üçbucaq əvvəlkinin hipotenuzuna söykənir və şəkil ilbiz qabığı kimi burularaq böyüyür. Bu fiqur Teodor spiralı adlanır. Dərsliyimiz yazır ki, Pifaqordan yüz il sonra yaşamış yunan alimi Teodor düzbucaqlı üçbucaqlardan qurulmuş bu spiralvari formanın riyazi modelini yaradıb və forma onun adını daşıyır. Spiralın köməyi ilə istənilən natural ədədin kvadrat kökü uzunluğunda parçanı qurmaq olar, özü də yalnız vahid parçalar və düz bucaqlarla. Dərslik spiralın yanında günəbaxanın, dəniz ilbizi qabığının və aloe bitkisinin şəkillərini verir: təbiətdə də spirallar az deyil. Gəlin yenidən təpəyə qayıdaq. Külək səngiyir, Nərmin uçurtmanı yavaş-yavaş endirir. Kamran göyə dırmaşmadı, ruletkadan da istifadə etmədi, amma uçurtmanın qırx metr hündürlükdə uçduğunu bilir. O, sadəcə göydəki gizli üçbucağı gördü. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: ölçə bilmədiyiniz məsafənin yanında düz bucaq axtarın. Düz bucaq varsa, Pifaqor teoremi məsafəni hesablayacaq. Tərəflər məlumdursa, ən böyük tərəfin kvadratı üçbucağın növünü deyəcək. Bucaqlar qırx beş və ya otuz, altmış dərəcədirsə, hazır qaydalar işi qısaldacaq. Addım-addım həllər və şəkillər üçün bu mövzunun oxu dərsinə və videosuna baxın. Növbəti dəfə uçurtma uçuranda göydəki üçbucağı xatırlayın. Sağ olun, görüşənədək!