y = x² və y = √x: robotun çəkdiyi dərə və budaq

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: dərslər bitib, biz məktəbin robototexnika dərnəyindəyik. Döşəmədə böyük bir dama-dama kağız sərilib. Kağızın aşağı kənarına yaxın soldan sağa bir düz xətt çəkilib, ortadan isə yuxarıya başqa bir düz xətt qalxır. Xətlərin kəsişdiyi yerdə kiçik, dəyirmi bir robot dayanıb. Robotun altına flomaster bərkidilib: hara getsə, kağızda iz qoyur. Səkkizinci sinif şagirdi Aysu robotun yanında diz çöküb, dərnəyin rəhbəri Teymur isə noutbukun arxasındadır. Teymur oyunun şərtini deyir: «Robota gizli bir qayda yazmışam. Mən ona bir ədəd verirəm, o, ədədi qaydaya görə başqa ədədə çevirir və kağızda nöqtə qoyur. Sən qaydanı tapmalısan.» Robot birinci nöqtəni düz kəsişmə yerinə qoyur. Sonra sağa bir xana gedir, bir xana yuxarı qalxır və yeni nöqtə qoyur. Eyni şeyi sol tərəfdə də edir. Sonra sağa iki xana gedib, dörd xana yuxarı qalxır, bunu da sol tərəfdə təkrarlayır. Aysu ayağa qalxıb baxır: kağızda kiçik bir dərə görünür, dibi ortadadır, iki yamacı yuxarıya qalxır. Teymur gülümsəyir və robota on ədədini verir. Robot sağa on xana gedir, sonra yuxarı qalxır, qalxır, qalxır. Robot kağızın kənarına çatıb dayanır və siqnal verir. Kağız qurtarıb! Teymur deyir: «Bu nöqtənin ordinatı yüzdür. Kağızımızın hündürlüyü isə cəmi qırx xanadır.» Sonra Teymur başqa bir qayda yazır. Robot yenə kəsişmə yerindən başlayır. Teymur bir ədədini verir: robot sağa bir xana, yuxarı bir xana gedir. İndi Teymur mənfi bir yazır. Robot qısa bir siqnal verir və yerində donub qalır. Ekranda bir söz yanır: «Xəta». Sonra Teymur yüz yazır. Robot sağa gedir, gedir və kağızın sağ kənarında yenə dayanır. Teymur ekrana baxıb deyir: «Kağız uzun olsaydı, robot yüz xana sağa gedib, cəmi on xana yuxarıda nöqtə qoyacaqdı.» Aysu fikrə gedir. Bir qayda iki qolu olan dərə çəkir. O biri qayda isə yalnız sağa uzanır və çox yavaş qalxır. İkinci qayda mənfi ədədi görəndə niyə xəta verir? Bu iki qayda nədir? Cavabı dərsin sonunda birlikdə tapacağıq. Salam! Bu dinləmə dərsində iki funksiya ilə tanış olacağıq. Birincisi: igrek bərabərdir iks kvadrat. İkincisi: igrek bərabərdir kök altında iks. Bu dərs qrafiklər haqqındadır, mən isə yalnız səslə danışıram. Buna görə bir vərəq və karandaş götürün. Vərəqin aşağısına yaxın, soldan sağa üfüqi bir xətt çəkin. Bu, absis oxudur, yəni iks oxu. Vərəqin ortasından yuxarıya şaquli bir xətt çəkin. Bu, ordinat oxudur, yəni igrek oxu. Oxların kəsişdiyi nöqtə koordinat başlanğıcıdır. Əvvəlcə qrafikin nə olduğunu xatırlayaq. Funksiyaya verdiyimiz ədədə arqument, aldığımız ədədə isə funksiyanın qiyməti deyirik. Robot hər arqument üçün kağızda bir nöqtə qoyurdu. Nöqtənin absisi arqumentə bərabər idi, ordinatı isə funksiyanın qiymətinə. Belə nöqtələrin hamısı birlikdə funksiyanın qrafikini əmələ gətirir. Birinci qaydaya qayıdaq. Robot verilən ədədi özünə vururdu, yəni kvadrata yüksəldirdi. Gəlin cədvəli yavaş-yavaş, birlikdə quraq və nöqtələri vərəqə qoyaq. Arqument sıfırdırsa, kvadratı da sıfırdır. Birinci nöqtə koordinat başlanğıcındadır. Arqument birdirsə, kvadratı da birdir. Absisi bir, ordinatı isə bir olan nöqtəni qoyun. İndi mənfi bir götürək. Mənfi birin kvadratı müsbət birdir. Deməli, absisi mənfi bir, ordinatı isə bir. Arqument ikidirsə, kvadratı dörddür. Absisi iki, ordinatı isə dörd. Mənfi iki də eyni kvadratı verir. Absisi mənfi iki, ordinatı isə dörd. İndi vərəqinizdə beş nöqtə var. Bir neçə saniyə ayırın və onları hamar, səlis bir xətlə birləşdirin. Tələsməyin, karandaşı rahat aparın. Bəs niyə sınıq xətlə yox, hamar xətlə birləşdiririk? Çünki nöqtələrin arasında da saysız-hesabsız nöqtə var. Məsələn, arqument sıfır tam onda ikidirsə, kvadratı sıfır tam yüzdə dörddür. Bu nöqtə absis oxuna demək olar ki, yapışıb. Yəni dərənin dibi iti künc deyil. O, kasanın dibi kimi yumrudur. Robota nə qədər çox ədəd versək, nöqtələr bir o qədər sıx düzülər və hamar bir əyri yaranar. İndi bu əyrini yaxından tanıyaq. İgrek bərabərdir iks kvadrat funksiyasının qrafiki parabola adlanır. Bu funksiya iksin bütün qiymətlərində təyin olunub: robota istənilən ədədi vermək olar, müsbəti də, mənfini də. Amma istənilən ədədin kvadratı mənfi ola bilməz. Buna görə parabolanın yalnız bir nöqtəsi, koordinat başlanğıcı, absis oxunun üstündədir. Qalan bütün nöqtələri oxdan yuxarıdadır. Parabolanın ən gözəl xassəsi simmetriyadır. Bir ədəd və onun əksi eyni kvadratı verir. Deməli, sağ qoldakı hər nöqtənin sol qolda bir cütü var: eyni hündürlükdə, sadəcə ordinat oxunun o biri tərəfində. Ordinat oxu boyunca dik bir güzgü qoyduğunuzu təsəvvür edin. Sağ qolun güzgüdəki əksi düz sol qolun üstünə düşür. Buna görə ordinat oxu parabolanın simmetriya oxudur. Simmetriya oxunun parabola ilə kəsişdiyi nöqtə parabolanın təpə nöqtəsi adlanır. Bu parabolanın təpə nöqtəsi koordinat başlanğıcındadır. Maraqlıdır: «təpə» sözü bizə dağın zirvəsini xatırladır. Bu parabolanın təpə nöqtəsi isə dərənin ən dərin yeridir. Parabolanın qalan bütün nöqtələri ondan yuxarıdadır. Qolların necə qalxdığına da diqqət edin. Arqument birdən ikiyə keçəndə hündürlük birdən dördə qalxır. Arqument on olanda isə hündürlük artıq yüzdür. Robotun kağızı məhz buna görə qurtardı: ordinat oxundan uzaqlaşdıqca qollar getdikcə dikləşir. Vərəqinizə baxın. Dərənizin dibi yumrudurmu, qolları simmetrikdirmi? İndi parabolaya başqa bir sual verək. Absis oxuna paralel, üfüqi bir ipi tarım çəkdiyinizi təsəvvür edin. Tutaq ki, ipin hündürlüyü yüzdür. İp parabolanı neçə nöqtədə kəsir? İki nöqtədə: biri sağ qolda, biri sol qolda. Bu nöqtələrin absisləri on və mənfi ondur. Çünki on ədədinin kvadratı da, mənfi on ədədinin kvadratı da yüzdür. Ümumiyyətlə, ip istənilən müsbət hündürlükdə olsa, parabolanı iki nöqtədə kəsir. Bu nöqtələrin absisləri həmin hündürlüyün kvadrat kökü və mənfi kvadrat köküdür. Məsələn, ipin hündürlüyü iki yüzdürsə, absislər kök altında iki yüz və mənfi kök altında iki yüzdür. Bu ədədə hələ qayıdacağıq. İndi sizə sual. İpin hündürlüyü iki min beş yüzdür. Kəsişmə nöqtələrinin absisləri nəyə bərabərdir? Fikirləşin. Əlli və mənfi əlli. Çünki əllinin kvadratı da, mənfi əllinin kvadratı da iki min beş yüzdür. İndi ipi aşağı endirək. İp düz absis oxunun üstünə düşəndə parabolaya yalnız bir nöqtədə, təpə nöqtəsində toxunur. İpi oxdan da aşağı, məsələn, mənfi bir hündürlüyünə endirək. İndi ip ilə parabolanın heç bir ortaq nöqtəsi yoxdur, çünki parabola oxdan aşağı düşə bilmir. Dərslikdəki nəticə də budur. İks kvadrat müsbət ədədə bərabərdirsə, tənliyin iki kökü var. İks kvadrat sıfıra bərabərdirsə, yeganə kök sıfırdır. İks kvadrat mənfi ədədə bərabərdirsə, tənliyin həqiqi kökü yoxdur. İndi ikinci qaydaya keçək. Robot ikinci dəfə arqumentin hesabi kvadrat kökünü hesablayırdı. Bu, igrek bərabərdir kök altında iks funksiyasıdır. Mənfi bir verəndə robot niyə xəta verdi? Çünki mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur. Bu funksiya yalnız iksin mənfi olmayan qiymətlərində təyin olunub. Funksiyanın qiymətləri də mənfi ola bilməz, çünki hesabi kvadrat kök həmişə mənfi olmayan ədəddir. Cədvəli yenə birlikdə quraq. Arqument sıfırdırsa, kök də sıfırdır. Qrafik koordinat başlanğıcından başlayır. Arqument birdirsə, kök də birdir. Arqument yüzdürsə, kök ondur. Absisi yüz, ordinatı isə on. Arqument dörd yüzdürsə, kök iyirmidir. Absisi dörd yüz, ordinatı isə iyirmi. İndi bu ədədlərə diqqətlə qulaq asın. Absis sıfırdan yüzə qədər gedəndə qrafik on xana qalxır. Sonra absis daha üç yüz xana sağa gedir, qrafik isə cəmi on xana da qalxır. Koordinat başlanğıcından çıxan bir ağac budağı düşünün. Əvvəl dik qalxır, sonra getdikcə yatır, amma sağa getdikcə həmişə bir az da yuxarı qalxır. Dərslik də bu qrafiki elə belə adlandırır: parabolanın budağı. Budaq birinci rübdə yerləşir, yəni koordinat başlanğıcından sağda və yuxarıda. İndi bu budağı da vərəqinizə çəkin: koordinat başlanğıcından sağa və yuxarıya, əvvəl dik, sonra yatıq. Budağın ən vacib xassəsini dərslik belə deyir: iksin böyük qiymətinə igrekin böyük qiyməti uyğundur. Yəni kökaltı ədəd böyüdükcə kök də böyüyür. Məsələn, otuz üç ilə otuz yeddini götürək. Otuz yeddi böyükdür. Deməli, kök altında otuz yeddi də böyükdür. Bu qayda kökləri hesablamadan müqayisə etməyə kömək edir. Bayaq ipin hündürlüyü iki yüz idi və absis kök altında iki yüz alınmışdı. Sual belədir: hansı böyükdür, on dörd, yoxsa kök altında iki yüz? İpucu: on dördü də kök şəklində yazın. Fikirləşin. On dördün kvadratı yüz doxsan altıdır. Deməli, on dörd ədədi kök altında yüz doxsan altıya bərabərdir. İki yüz isə yüz doxsan altıdan böyükdür. Buna görə kök altında iki yüz bir az böyükdür, on dörd isə bir az kiçik. Budaq üzərində absisi iki yüz olan nöqtə daha sağdadır, ona görə də daha yuxarıdadır. Gəlin indi dərnəyə, robotun yanına qayıdaq. Birinci qayda ədədi kvadrata yüksəldirdi. Dərənin iki qolu var idi, çünki ədəd də, onun əksi də eyni kvadratı verir. Dibi koordinat başlanğıcında idi, çünki kvadrat mənfi ola bilməz. Kağız da tez qurtardı, çünki qollar getdikcə dikləşir. İkinci qayda isə hesabi kvadrat kökü tapırdı. Robot mənfi bir görəndə xəta verdi, çünki mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur. Budaq həmişə yuxarıda qaldı, çünki hesabi kök mənfi ola bilməz. Yüz xana sağa gedib cəmi on xana qalxdı, çünki budaq getdikcə yatır, amma yenə də hər addımda bir az yuxarı qalxır. Yadda saxlamalı bir fikir belədir. Parabola dibi koordinat başlanğıcında olan, iki qolu simmetrik bir dərədir. Kök altında iksin qrafiki isə oradan yalnız sağa və yuxarıya uzanan bir budaqdır: iksin böyük qiymətinə igrekin böyük qiyməti uyğundur. Bu qrafikləri gözlə görmək üçün oxu dərsinə və videoya baxın, vərəqinizdəki dərəni və budağı isə saxlayın. Növbəti dərsdə görüşənədək!