y = x² və y = √x funksiyaları

• 3.3
• 8-ci sinif
• Kvadrat kök. Həqiqi ədədlər

y = x2 və y = x kökü funksiyaları

y = x2 qrafikini y = x düz xətti boyunca güzgüdə əks etdirsək, onun sağ yarısı hansı əyrinin üstünə düşər? Cavab: y = x kökü qrafikinin — kvadrata yüksəltmə ilə kökalmanın qrafikləri bir-birinin güzgü əksidir.

Bu dərsdə

• y = x2 və y = x kökü qrafiklərini qiymətlər cədvəlindən quracaq, parabolanın simmetriya oxunu və təpə nöqtəsini tanıyacaqsan;
• hər funksiyanın hansı x-lərdə təyin olunduğunu, hansı qiymətlər aldığını və qrafikin hansı rüblərdə yerləşdiyini deyəcəksən;
• qrafiklərlə x2 = c və x kökü = c tənliklərini həll edəcək və ədədləri müqayisə edəcəksən.

y = x² parabolası, y = x düz xətti və y = √x qrafiki

BaşlaYenidənYenidən

1. Cədvəldən qrafikə
2. Parabola
3. Laboratoriya
4. y = √x
5. Güzgü
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Cədvəldən qrafikə

Funksiyanın qrafikini qurmaq üçün əvvəlcə qiymətlər cədvəli tərtib edirik: arqumentə (x-ə) bir neçə qiymət verib funksiyanın uyğun qiymətini hesablayırıq. y = x2 üçün hər x-i kvadrata yüksəldirik. Mənfi ədədin kvadratı müsbətdir: (−1,6)2 = 2,56, (−0,6)2 = 0,36.

Hər sütun bir nöqtədir: absisi x, ordinatı x2. Məsələn, (−1,6; 2,56) və (0,6; 0,36). Nöqtələri koordinat müstəvisində qeyd edib səlis xətlə birləşdiririk.

y = x² funksiyasının qrafikinin qurulması

BaşlaYenidənYenidən

Mavi nöqtələr cədvəldəki on bir cütdür. Onların arasında da qrafikin nöqtələri var (məsələn, x = 0,6 ilə x = 1 arasında), ona görə nöqtələri sınıq xətlə yox, səlis əyri ilə birləşdiririk.

«Koordinat müstəvisində absisləri arqumentin qiymətlərinə, ordinatları funksiyanın uyğun qiymətlərinə bərabər olan nöqtələr çoxluğu funksiyanın qrafikini əmələ gətirir.» — dərslik, səh. 18

2 · Qayda

Parabola: simmetriya oxu və təpə

Yadda saxla

y = x2 funksiyası x-in bütün qiymətlərində təyin olunub və mənfi olmayan qiymətlər alır. Onun qrafiki parabola adlanır.

• Parabolanın yalnız bir nöqtəsi — O(0; 0) — absis oxu üzərindədir, qalan nöqtələri x oxundan yuxarıdadır (I və II rüblərdə).
• (−x)2 = x2 olduğundan hər A(x; y) nöqtəsinə ordinat oxuna nəzərən simmetrik B(−x; y) nöqtəsi uyğundur: ordinat oxu parabolanın simmetriya oxudur.
• Simmetriya oxu ilə parabolanın kəsişmə nöqtəsi təpə nöqtəsi adlanır; y = x2 parabolasının təpəsi koordinat başlanğıcındadır.

Parabolanın simmetriya oxu və təpə nöqtəsi

A(1,6; 2,56) və B(−1,6; 2,56): ordinatlar eyni, absislər əks ədədlərdir. Parabolanı y oxu boyunca qatlasaq, sol budaq sağ budağın üstünə düşər.

Harada təyin olunub?

x — istənilən ədəd

İstənilən ədədi kvadrata yüksəltmək olar.

Hansı qiymətləri alır?

y ≥ 0

Kvadrat mənfi olmur; y = 0 yalnız x = 0 olanda.

3 · Laboratoriya

Parabola və y = c düz xətti

Parabola üzərində ordinatı c olan nöqtə axtarmaq x2 = c tənliyini həll etmək deməkdir. Qrafikdə bu, parabolanın y = c üfüqi düz xətti ilə kəsişməsidir. c-ni dəyiş və kəsişmə nöqtələrini say.

c-ni seç

c = 3,61 c = 0 c = −2

Parabola və y = c düz xətti

c = 3,61 > 0: düz xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir. Onlar y oxuna nəzərən simmetrikdir, absisləri 3,61 kökü = 1,9 və −3,61 kökü = −1,9: həm 1,92 = 3,61, həm də (−1,9)2 = 3,61.

c = 0: düz xətt x oxunun özüdür; parabola onunla yalnız təpə nöqtəsində, O(0; 0)-da görüşür. x2 = 0 tənliyinin yeganə kökü 0-dır.

c = −2 < 0: düz xətt x oxundan aşağıdadır, parabola isə yuxarıda — ortaq nöqtə yoxdur. x2 = −2 tənliyinin həqiqi kökü yoxdur.

Lime xətt seçilmiş y = c düz xəttidir, lime nöqtələr kəsişmələrdir; qırmızı xəttin parabola ilə ortaq nöqtəsi yoxdur.

Nəticə

x2 = a tənliyinin: a > 0 olduqda iki müxtəlif kökü var: x1 = a kökü, x2 = −a kökü; a < 0 olduqda həqiqi kökü yoxdur; a = 0 olduqda tənliyi ödəyən yeganə ədəd 0-dır. — dərslik, səh. 18

4 · Qayda

y = x kökü funksiyası və onun qrafiki

İndi y = x kökü funksiyasına baxaq. x kökü yalnız x ≥ 0 olduqda mənalıdır, ona görə cədvələ yalnız mənfi olmayan x-lər yazırıq. Kvadratı məlum olan onluq kəsrlər seçsək, köklər dəqiq alınır: 2,56 kökü = 1,6, çünki 1,6 ≥ 0 və 1,62 = 2,56.

y = √x funksiyasının qrafikinin qurulması

BaşlaYenidənYenidən

Narıncı nöqtələr cədvəldəki cütlərdir. Əyri koordinat başlanğıcından başlayır və sağa getdikcə yuxarı qalxır; y oxundan solda heç bir nöqtəsi yoxdur.

Yadda saxla

y = x kökü funksiyası arqumentin mənfi olmayan qiymətlərində (x ≥ 0) təyin olunmuşdur, qiymətlər çoxluğu da mənfi olmayan ədədlərdir (y ≥ 0): mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur, hesabi kvadrat kök isə mənfi olmur.

• y = x kökü funksiyasının qrafiki parabolanın budağıdır.
• x = 0 olduqda y = 0 — koordinat başlanğıcı qrafikə aiddir; x > 0 olduqda y > 0 — qrafik I rübdə yerləşir.
• x-in böyük qiymətinə y-in böyük qiyməti uyğundur.

Cədvəldən

3,61 > 2,56 ⇒ 3,61 kökü > 2,56 kökü

Yəni 1,9 > 1,6.

Kökü dəqiq alınmayanda da

6,3 > 5,9 ⇒ 6,3 kökü > 5,9 kökü

Kökləri hesablamadan müqayisə edirik.

5 · Kəşf et

Güzgü: kvadrat və kök

y = x kökü qrafiki niyə «parabolanın budağı» adlanır? Cədvəllərə bax: parabolada (1,6; 2,56) var, y = x kökü qrafikində isə (2,56; 1,6) — eyni ədədlər, yerləri dəyişib. Bu təsadüf deyil: a ≥ 0 olduqda a2 = b və b kökü = a bərabərlikləri eyni faktı deyir. Kökalma kvadrata yüksəltmənin tərsidir (3.1).

Cütü seç

0,6 ↔ 0,36 1,3 ↔ 1,69 1,9 ↔ 3,61

Parabolanın sağ budağı y = x düz xəttinə nəzərən əks olunur

BaşlaYenidənYenidən

A(0,6; 0,36) parabolada: 0,62 = 0,36. A′(0,36; 0,6) y = x kökü qrafikində: 0,36 kökü = 0,6.

A(1,3; 1,69) parabolada: 1,32 = 1,69. A′(1,69; 1,3) y = x kökü qrafikində: 1,69 kökü = 1,3.

A(1,9; 3,61) parabolada: 1,92 = 3,61. A′(3,61; 1,9) y = x kökü qrafikində: 3,61 kökü = 1,9.

Hər iki oxda vahid eynidir. Başla düyməsi parabolanın sağ budağını y = x boyunca qatlayır: budaq y = x kökü qrafikinin üstünə düşür.

Koordinatlarının yerini dəyişəndə nöqtə y = x düz xəttinə nəzərən simmetrik nöqtəyə keçir: A və A′-nü birləşdirən parça bu düz xəttə perpendikulyardır, ortası isə onun üzərindədir. Deməli, parabolanın sağ budağını (x ≥ 0) y = x boyunca qatlasaq, o, y = x kökü qrafikinin üstünə düşür. Sol budaq bu qatlamada x oxundan aşağıya düşərdi — orada x kökü-in qiyməti yoxdur, çünki hesabi kök mənfi olmur.

6 · Hesabla

Qrafiklə oxu, hesabla yoxla

Qrafik həm yoxlamağa, həm də tənlikləri «gözlə» həll etməyə kömək edir. Hər nümunədə əvvəl qrafikdən oxuyur, sonra hesabla yoxlayırıq.

Nümunə 1Nöqtə qrafikdədirmi?

(−1,3; 1,69) və (−1,3; −1,69) nöqtələrindən hansı y = x2 parabolasının üzərindədir? (1,69; 1,3), (1,69; −1,3) və (−1,69; 1,3) nöqtələrindən hansı y = x kökü qrafikinin üzərindədir?

1. Absisi düsturda yerinə yazırıq: (−1,3)2 = 1,69. Deməli (−1,3; 1,69) parabola üzərindədir; (−1,3; −1,69) yox — parabolanın nöqtələrinin ordinatı mənfi olmur.
2. 1,69 kökü = 1,3, çünki 1,3 ≥ 0 və 1,32 = 1,69. Deməli (1,69; 1,3) y = x kökü qrafikindədir.
3. (1,69; −1,3): ordinat mənfidir, x kökü isə mənfi olmur. (−1,69; 1,3): x < 0, orada x kökü təyin olunmayıb. y = x2: (−1,3; 1,69); y = x kökü: (1,69; 1,3)

Nümunə 2Tənliyi qrafiklə həll et

x2 = 9,6 tənliyini həll edin və y = x2 parabolasının köməyi ilə köklərin təqribi qiymətini onda birlərə qədər tapın.

1. 9,6 > 0, deməli iki kök var: x1 = 9,6 kökü, x2 = −9,6 kökü.
2. y = 9,6 düz xətti parabolanı iki simmetrik nöqtədə kəsir; qrafikdən onların absisləri təqribən 3,1 və −3,1-dir.
3. Yoxlayırıq: 32 = 9 < 9,6 < 9,61 = 3,12, həm də 3,052 = 9,3025 < 9,6. Deməli 3,05 < 9,6 kökü < 3,1 və onda birlərə qədər 9,6 kökü ≈ 3,1. x1 = 9,6 kökü ≈ 3,1; x2 = −9,6 kökü ≈ −3,1

x² = 9,6 tənliyinin qrafiklə həlli

Kəsişmə nöqtələrindən x oxuna enən qırıq xətlər kökləri göstərir.

Nümunə 3Bir kök, iki kök, kök yoxdur

Tənlikləri həll edin: a) x kökü = 3,7; b) x2 = 13,69; c) x kökü = −2.

1. a) y = x kökü qrafiki y = 3,7 düz xəttini bir nöqtədə kəsir: qrafik yalnız sağa-yuxarı gedir. x = 3,72 = 13,69; yoxlama: 13,69 kökü = 3,7.
2. b) Parabola y = 13,69 düz xəttini iki nöqtədə kəsir: x = ±13,69 kökü = ±3,7.
3. c) x kökü mənfi olmur: y = −2 düz xətti x oxundan aşağıdadır, y = x kökü qrafiki isə I rübdədir — ortaq nöqtə yoxdur. a) 13,69; b) 3,7 və −3,7; c) həlli yoxdur

Nümunə 4Qrafiklə müqayisə

Müqayisə edin: a) 13,5 kökü və 3,7; b) (−3,8)2 və 3,62.

1. a) Nümunə 3-dən 3,7 = 13,69 kökü. 13,5 < 13,69, y = x kökü üçün isə x-in böyük qiymətinə y-in böyük qiyməti uyğundur: 13,5 kökü < 13,69 kökü = 3,7.
2. b) Parabola simmetrikdir: (−3,8)2 = 3,82 — parabolanın absisləri −3,8 və 3,8 olan nöqtələri eyni hündürlükdədir. Sağ budaqda nöqtə sağa getdikcə yuxarı qalxır; 3,8 > 3,6, deməli 3,82 > 3,62. a) 13,5 kökü < 3,7; b) (−3,8)2 > 3,62

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

✗ Səhv

x2 = 7,3 ⇒ x = 7,3 kökü

Yalnız müsbət kök yazılıb, simmetrik nöqtə unudulub.

✓ Düz

x = 7,3 kökü və x = −7,3 kökü

y = 7,3 düz xətti parabolanı iki nöqtədə kəsir.

✗ Səhv

x = −1,1 ⇒ y = −1,12 = −1,21

Mötərizəsiz yazanda yalnız 1,1 kvadrata yüksəlir.

✓ Düz

y = (−1,1)2 = 1,21

Mənfi ədədi mötərizədə kvadrata yüksəldirik; parabola x oxundan aşağı düşmür.

✗ Səhv

A(2,6; 6,76) ⇒ B(2,6; −6,76)

Bu, x oxuna nəzərən simmetrik nöqtədir, parabolada deyil.

✓ Düz

B(−2,6; 6,76)

Ordinat oxuna nəzərən simmetriyada absisin işarəsi dəyişir, ordinat qalır.

✗ Səhv

−1,69 kökü = −1,3

y = x kökü qrafiki y oxundan sola keçmir.

✓ Düz

x < 0: x kökü yoxdur

y = x kökü yalnız x ≥ 0 olduqda təyin olunub; (−1,3)2 = 1,69, −1,69 deyil.

A nöqtəsinə ordinat oxuna nəzərən simmetrik nöqtə

A-ya ordinat oxuna nəzərən simmetrik nöqtə B parabolanın sol budağındadır; x oxuna nəzərən simmetrik nöqtə (qırmızı) parabolada deyil.

8 · Həyatda

Kvadrat otağın tərəfi

Kvadrat şəkilli otağın döşəməsinin sahəsi S = a2-dir (a — tərəfin uzunluğu). Tərsinə, sahəsi məlum kvadratın tərəfi a = S kökü-dir: tərəf mənfi ola bilməz, ona görə hesabi kök götürülür. a-nın S-dən asılılığının qrafiki y = x kökü qrafikinin özüdür — yalnız oxların adı başqadır.

Kvadrat otağın döşəməsi

Döşəmənin sahəsi 15,2 m²-dir. Tərəfi neçə metrdir?

Kvadrat otağın tərəfi sahəsindən asılıdır: a = √S

S = 15,2-dən yuxarı qalx, əyriyə çatanda sola dön: a oxunda təqribən 3,9 oxunur.

1. a = 15,2 kökü; qrafikdən a ≈ 3,9.
2. Yoxlama: 3,92 = 15,21 — 15,2-yə çox yaxındır; 3,852 = 14,8225 < 15,2, deməli a > 3,85. Otağın tərəfi təqribən 3,9 m-dir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan Hansı nöqtə y = x2 parabolasının üzərindədir? Cavab variantları (−4,3; −18,49)(−4,3; 18,49)(4,3; 8,6)(4,3; 1,849) Düzdür: (−4,3)2 = 18,49 — mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. Yox. Absisi özünə vur: (−4,3) · (−4,3). Parabolanın ordinatı mənfi olmur və 2x-ə bərabər deyil. Həllə bax (−4,3)2 = 4,3 · 4,3 = 18,49, deməli (−4,3; 18,49). (−4,3; −18,49) — −4,32 kimi hesablanıb; (4,3; 8,6) — kvadrat əvəzinə 2-yə vurulub; (4,3; 1,849) — vergül yeri səhvdir.
2. Asan y = x kökü funksiyasının qiymətlər çoxluğu hansıdır? Cavab variantları bütün ədədləry ≥ 0y > 0y ≤ 0 Düzdür: hesabi kök mənfi olmur, x = 0 olanda isə y = 0. Yox. Qrafik O-dan başlayır və I rübdədir: hansı y-lər alınır? 0-ı unutma. Həllə bax x kökü ≥ 0 həmişə; y = 0 alınır (x = 0), istənilən müsbət y də alınır (x = y2). «y > 0» 0-ı itirir, mənfi qiymətlər isə heç alınmır.
3. Orta c-nin hansı qiymətində x2 = c tənliyinin həqiqi kökü yoxdur? Cavab variantları c = 4,7c = 0c = −4,7 Düzdür: y = −4,7 düz xətti x oxundan aşağıdadır, parabola ilə kəsişmir. Yox. Laboratoriyanı xatırla: c > 0 — iki kök, c = 0 — bir kök. Kök hansı halda yoxdur? Həllə bax c = 4,7: iki kök ±4,7 kökü; c = 0: bir kök 0; c = −4,7: kvadrat mənfi olmur — həqiqi kök yoxdur.
4. Orta y = x kökü qrafikinin ordinatı 4,1 olan nöqtəsinin absisi neçədir? Cavab variantları 2,058,216,811,681 Düzdür: 16,81 kökü = 4,1, çünki 4,12 = 16,81. Yox. x kökü = 4,1 olmalıdır — x 4,1-in kvadratıdır, 2 dəfə böyüyü deyil. Həllə bax x kökü = 4,1 ⇒ x = 4,12 = 16,81. 8,2 — 2-yə vurulub; 2,05 — 2-yə bölünüb; 1,681 — vergül yeri səhvdir (4,12 = 16,81).
5. Çətin y = x2 parabolasının P(3,4; 11,56) nöqtəsi y = x düz xəttinə nəzərən əks etdirilib. Alınan nöqtə hansıdır? Cavab variantları (−3,4; 11,56)(11,56; 3,4)(11,56; −3,4)(3,4; −11,56) Düzdür: koordinatlar yer dəyişir və nöqtə y = x kökü qrafikinə düşür: 11,56 kökü = 3,4. Yox. y = x-ə nəzərən əksdə koordinatların yeri dəyişir, işarələri yox. Həllə bax (a; b) → (b; a): (3,4; 11,56) → (11,56; 3,4). (−3,4; 11,56) — y oxuna nəzərən simmetrik nöqtədir; (3,4; −11,56) — x oxuna nəzərən; (11,56; −3,4) — yer dəyişib, amma işarə də dəyişdirilib.
6. Çətin y = x2 və y = x kökü qrafiklərinin neçə ortaq nöqtəsi var? Cavab variantları 0124 Düzdür: O(0; 0) və (1; 1). Yox. Güzgü şəklinə bax: əyrilər harada görüşür? 02 = 0 kökü və 12 = 1 kökü. Həllə bax Ortaq nöqtədə x ≥ 0 olmalıdır (x kökü üçün). x = 0: 02 = 0 kökü = 0; x = 1: 12 = 1 kökü = 1. 0 < x < 1 olanda x2 < x kökü (məs. 0,36 < 0,6), x > 1 olanda x2 > x kökü (məs. 2,56 > 1,6), ona görə başqa ortaq nöqtə yoxdur. Sol budaq sayılmır: x < 0 olanda x kökü yoxdur.

10 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• y = x2 — parabolaBütün x-lərdə təyin olunub, y ≥ 0; simmetriya oxu y oxu, təpəsi O(0; 0).
• y = x kökü — parabolanın budağıx ≥ 0, y ≥ 0; O-dan başlayır, I rübdədir; x-in böyük qiymətinə y-in böyük qiyməti uyğundur.
• Qrafiklə həllx2 = c: iki, bir və ya heç bir kök; x kökü = c (c ≥ 0): bir kök x = c2.

Növbəti mövzu: 3.4 Hesabi kvadrat kökün xassələri

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», səh. 18–20 («y = x2 və y = x kökü funksiyaları»): qrafikin tərifi, parabolanın və y = x kökü qrafikinin xassələri, x2 = a tənliyi haqqında nəticə (sitatlar). Bütün cədvəl, nümunə, şəkil və sual ədədləri bu dərs üçün yeni seçilib; otaq məsələsi dərslikdən deyil. Bütün əyri nöqtələri hesablanaraq çəkilib.