Üçbucağın orta xətti

• 3.22
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Üçbucağın orta xətti

Gölün iki sahilindəki A və C nöqtələri arasında nə qədər məsafə var? Lent suyun üstündən keçmir. Quruda bir B nöqtəsi seç, BA və BC-nin ortalarını birləşdirən MN-i ölç: AC məhz 2 · MN-dir, çünki MN orta xətdir.

Bu dərsdə

• üçbucağın orta xəttini tanıyacaq və onu mediandan ayıracaqsan;
• orta xəttin üçüncü tərəfə paralel və onun yarısına bərabər olduğunu Fales teoremi və paraleloqramla isbat edəcəksən;
• üç orta xətt, perimetr, bərabəryanlı üçbucaq, tənliklər və Pifaqor teoremi ilə məsələlər həll edəcəksən.

• orta xətt
• üçüncü tərəf
• bərabər hissələr

Gölün enini quruda ölçmək

Başla Yenidən Yenidən

1. B-ni hərəkət etdir
2. Tərif və teorem
3. Niyə belədir?
4. Üç orta xətt
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

B-ni hara aparsan da…

Parçanı iki bərabər hissəyə bölən nöqtə onun orta nöqtəsidir. Üçbucaqda AC tərəfini 11 sm götürək və yerində saxlayaq, B təpəsini isə üç yerə aparaq. Hər dəfə M — AB-nin, N — BC-nin orta nöqtəsidir (bərabər hissələr eyni sayda çərtiklə işarələnib). MN-ə bax.

B nöqtəsini seç

İti bucaqlı Düzbucaqlı Korbucaqlı

B nöqtəsini hərəkət etdir

Lövhə 1AC sabit, B hərəkət edir1 xana = 0,5 sm

AB ≈ 8,1 sm, BC ≈ 9,9 sm. MN = 5,5 sm və MN üçüncü tərəf AC-yə paraleldir (ox işarələri).

AB = 6 sm, BC ≈ 12,5 sm, A-da düz bucaq var. Tərəflər tam dəyişdi, amma yenə MN = 5,5 sm və MN ∥ AC.

AB ≈ 14,9 sm, BC ≈ 5,8 sm, C-də kor bucaq var. MN üçbucağın içində qaldı, yenə MN = 5,5 sm və MN ∥ AC.

AB və BC dəyişir, MN isə dəyişmir: o, həmişə 11-in yarısıdır və AC-yə paraleldir. Bu təsadüf deyil — növbəti iki mərhələdə qaydanı yazıb isbat edəcəyik.

2 · Qayda

Orta xətt nədir?

Tərif

Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən parçaya bu üçbucağın orta xətti deyilir.

Teorem

Üçbucağın verilmiş iki tərəfinin ortasını birləşdirən orta xətti üçüncü tərəfə paralel olub, onun yarısına bərabərdir:

MN ∥ AC, MN = AC2 /

Orta xəttin adları

Lövhə 2Adlar və işarələr

M ilə N iki tərəfin ortasıdır, ona görə MN orta xətdir. AC — orta xəttin toxunmadığı «üçüncü tərəf»: MN ona paraleldir və ondan iki dəfə qısadır.

Median deyil

Median təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirir. Orta xəttin isə hər iki ucu tərəflərin ortasındadır, heç bir təpədən keçmir.

Üç orta xətt

Üçbucağın üç tərəfi var, hər cüt tərəfin ortaları bir orta xətt verir — cəmi üç orta xətt.

İki tərəfə işləyir

AC = 2 · MN

AC-ni bilsən MN-i, MN-i bilsən AC-ni taparsan.

3 · Niyə belədir?

İsbat: Fales və paraleloqram

İki aləti xatırlayaq. Fales teoremi: bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bir tərəfdə bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfdə də bərabər parçalar ayırır. Paraleloqramın xassəsi: qarşı tərəfləri bərabərdir. Lövhədə Başla düyməsini bas və cədvəli sətir-sətir izlə.

Teoremin isbatı: təklif və əsas

Teoremin isbatı

Lövhə 3İsbatın qurulması

Başla Yenidən Yenidən

Paralellik uzunluğu vermir

MN ∥ AC yalnız istiqaməti deyir. «Yarısı» paraleloqramdan gəlir: MN = AK, AK isə AC-nin yarısıdır.

Dərsliyin araşdırması

AB-nin ortasından AC-yə paralel çəkib BN və NC-ni ölçsən, onlar bərabər çıxar — bu, 1-ci addımdakı Fales teoremidir.

4 · Qayda

Üç orta xətt, dörd üçbucaq

Tərəfləri AB = 15 sm, BC = 17 sm, AC = 23 sm olan üçbucaqda üç orta nöqtəni — M, N, K-nı birləşdirək. Hər orta xətt özünə paralel tərəfin yarısıdır: MN = 23 : 2 = 11,5 sm, NK = 15 : 2 = 7,5 sm, MK = 17 : 2 = 8,5 sm.

Üç orta xətt və dörd üçbucaq

Lövhə 4Orta nöqtələr üçbucağı1 xana ≈ 0,77 sm

Başla Yenidən Yenidən

Yadda saxla

Perimetr yarıya enir: orta nöqtələr üçbucağının hər tərəfi bir tərəfin yarısıdır, ona görə

P(MNK) = P(ABC) : 2

Burada: (15 + 17 + 23) : 2 = 55 : 2 = 27,5 sm.

Dörd konqruyent üçbucaq. AMK-da AM = 7,5, MK = 8,5, AK = 11,5; MBN-də MB = 7,5, BN = 8,5, MN = 11,5; KNC və MNK-da da eyni üç ədəd. Üç tərəfinə görə konqruyentlik əlamətinə görə dörd üçbucaq konqruyentdir.

5 · Hesabla

Orta xətt məsələlərdə

Nümunə 1Neçə həll var?

Bərabəryanlı üçbucağın perimetri 46 sm, orta xətlərindən biri 9,5 sm-dir. Üçbucağın tərəflərini tapın.

İki hal

Lövhə 5İki hal1 xana ≈ 1,1 sm

1. Orta xəttin hansı tərəfə paralel olduğu deyilməyib: ya oturacağa, ya yan tərəfə. İki halı ayrıca yoxlayırıq.
2. 1-ci hal: oturacaq 2 · 9,5 = 19 sm, yan tərəflər (46 − 19) : 2 = 13,5 sm. 13,5 + 13,5 = 27 > 19 — üçbucaq var.
3. 2-ci hal: yan tərəf 2 · 9,5 = 19 sm, oturacaq 46 − 2 · 19 = 8 sm. 19 + 8 > 19 — üçbucaq var. İki həll: 13,5; 13,5; 19 sm və ya 19; 19; 8 sm

Nümunə 2Paraleloqramın perimetri

M, N, K nöqtələri ΔABC-nin AB, BC, AC tərəflərinin ortalarıdır. AM = 10,5 sm, BN = 8,5 sm, ΔABC-nin perimetri 50 sm-dir. AMNK dördbucaqlısının perimetrini tapın.

AMNK paraleloqramı

Lövhə 6AMNK1 xana ≈ 0,7 sm

1. Orta nöqtələrdən: AB = 2 · 10,5 = 21 sm, BC = 2 · 8,5 = 17 sm, onda AC = 50 − 21 − 17 = 12 sm və AK = 6 sm.
2. MN ∥ AC və NK ∥ AB (orta xətlər), deməli AMNK paraleloqramdır: MN = AK = 6 sm, NK = AM = 10,5 sm.
3. P = 2 · (10,5 + 6) = 33 sm. Diqqət et: bu, AB + AC = 21 + 12-dir. P(AMNK) = 33 sm

Nümunə 3x və y

Şəkildə M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. Verilənlərə görə x, y-in qiymətlərini və ΔABC-nin perimetrini tapın.

İfadələrlə verilmiş orta xətt

Lövhə 7İfadələr1 xana ≈ 0,7 sm

1. BM = MA: x + 4 = 2y − 3, yəni x = 2y − 7.
2. BN = NC: y + 1 = 3x − 3, yəni y = 3x − 4.
3. Yerinə qoyaq: x = 2(3x − 4) − 7 = 6x − 15, buradan x = 3, y = 5.
4. AB = 2 · 7 = 14 sm, BC = 2 · 6 = 12 sm, MN = 2 · 3 + 5 = 11 sm, deməli AC = 22 sm. x = 3, y = 5, P = 14 + 12 + 22 = 48 sm

Nümunə 4Pifaqorla birlikdə

ΔABC-də ∠C = 90°, AB = 25 sm, BC = 24 sm. M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. MN-i və MN ilə BC arasındakı bucağı tapın.

Düzbucaqlı üçbucaqda orta xətt

Lövhə 8Düz bucaq köçür1 xana = 0,8 sm

1. MN-in paralel olduğu tərəf AC-dir. Onu Pifaqor teoremi ilə tapırıq: AC = √(25² − 24²) = √49 = 7 sm.
2. MN = AC : 2 = 3,5 sm (BC-nin yarısı deyil!).
3. AC ⊥ BC və MN ∥ AC, ona görə MN ⊥ BC: paralel düz xətlərdən biri üçüncü düz xəttə perpendikulyardırsa, o biri də perpendikulyardır. MN = 3,5 sm, bucaq 90°

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

2-ni yanlış tərəfə yazmaq

Səhv

MN = 13,5 → AC = 6,75

Orta xətt tərəfdən qısadır, ona görə tərəf orta xətdən kiçik ola bilməz.

Düz

AC = 2 · 13,5 = 27

Tərəf orta xəttin iki mislidir; orta xətt tərəfin yarısıdır.

Orta nöqtələr üçbucağının perimetri

Səhv

P = 42 → 42 : 4 = 10,5

«Dörd üçbucaq» perimetri 4-ə bölmür: hər kiçik üçbucağın tərəfləri yarıdır, dörddəbir deyil.

Düz

42 : 2 = 21

Hər tərəf yarıya enir, deməli perimetr də yarıya enir.

Medianı orta xətt sanmaq

Səhv

BK — orta xətt

BK B təpəsindən çıxır: bu, mediandır və heç bir tərəfə paralel deyil.

Düz

MN — orta xətt

Hər iki ucu tərəflərin ortasındadır: M — AB-nin, N — BC-nin.

Median və orta xətt

Lövhə 9Median və orta xətt

7 · Həyatda

Orta xətt əşyalarda

Bir parçanın uclarını iki «ayaq» birləşdirirsə və ayaqların ortası bağlanırsa, bu bağ orta xətdir: o, parçaya paraleldir və onun yarısıdır.

A-şəkilli nərdivan

Lövhə 10Nərdivan

Qayış ayaqların ortalarını birləşdirir: ayaqlar 1,3 m aralananda qayış 0,65 m dartılır və döşəməyə paralel qalır.

Dam tiri

Lövhə 11Dam tiri

Dam tirlərinin ortasını bağlayan üfüqi tir 8,4 m-lik aşırımın yarısıdır — 4,2 m.

Nəyi ölçürük, nəyi tapırıq?

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan ΔDEF-də P nöqtəsi EF tərəfinin ortasıdır. DP parçası nədir? Sual 1 variantları orta xətt median hündürlük Düzdür! DP təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirir. Orta xəttin iki ucu da tərəflərin ortasındadır. DP isə D təpəsindən çıxır. Həllə bax D təpədir, P qarşı tərəfin ortasıdır — DP mediandır. Orta xətt üçün iki tərəfin ortası lazımdır; 90° haqda heç nə deyilməyib, ona görə hündürlük də demək olmaz.
2. Asan ΔABC-də AC = 15,4 sm. AB və BC tərəflərinin ortalarını birləşdirən parçanın uzunluğu nə qədərdir? Sual 2 variantları 30,8 sm 15,4 sm 7,7 sm Düzdür! Orta xətt üçüncü tərəfin yarısıdır. Orta xətt tərəfdən uzun və ya ona bərabər ola bilməz — yarısıdır. Həllə bax Parça AC-yə paralel orta xətdir: 15,4 : 2 = 7,7 sm.
3. Orta Üçbucağın orta xətləri 4 sm, 5,5 sm və 7,5 sm-dir. Üçbucağın perimetri nə qədərdir? Sual 3 variantları 17 sm 34 sm 68 sm Düzdür! Hər tərəf orta xəttin iki mislidir. 17 sm orta nöqtələr üçbucağının perimetridir; böyük üçbucağın tərəfləri iki dəfə uzundur, dörd dəfə yox. Həllə bax Tərəflər 8, 11 və 15 sm-dir (8 + 11 > 15). P = 8 + 11 + 15 = 34 sm, yəni 2 · 17.
4. Orta ΔABC-də ∠C = 90°. M — AB-nin, N — BC-nin ortasıdır. ∠BNM nəyə bərabərdir? Sual 4 variantları 90° 45° ∠A-ya Düzdür! MN ∥ AC, ona görə N-dəki bucaq C-dəki bucağa bərabərdir. ∠A M-dəki bucağa bərabərdir. N-dəki bucaq hansı bucağa uyğun gəlir? Həllə bax MN ∥ AC və BC kəsəndir: ∠BNM = ∠BCA = 90° (uyğun bucaqlar). M-dəki ∠BMN isə ∠A-ya bərabərdir.
5. Çətin Bərabəryanlı üçbucağın oturacağa paralel orta xətti 6 sm, yan tərəfi 9,5 sm-dir. Perimetri nə qədərdir? Sual 5 variantları 25 sm 21,5 sm 31 sm Düzdür! Oturacaq 12 sm, iki yan tərəf 19 sm. Orta xətt oturacağın özü deyil, yarısıdır. Və iki yan tərəfi də topla. Həllə bax Oturacaq = 2 · 6 = 12 sm. P = 12 + 9,5 + 9,5 = 31 sm. 9,5 + 9,5 > 12, üçbucaq var.
6. Çətin M, N, K — ΔABC-nin AB, BC, AC tərəflərinin ortalarıdır. AB = 13 sm, AC = 11 sm. AMNK dördbucaqlısının perimetri nə qədərdir? Sual 6 variantları 12 sm 24 sm 48 sm Düzdür! P(AMNK) = AB + AC. AMNK paraleloqramdır: dörd tərəfin hamısını topla — iki AM və iki AK. Həllə bax AM = 6,5, AK = 5,5; MN = AK, NK = AM (paraleloqram). P = 2 · (6,5 + 5,5) = 24 sm = 13 + 11.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Orta xətt: MN ∥ AC, MN = AC : 2İki tərəfin ortasını birləşdirən parça üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısıdır.
• Niyə: Fales + paraleloqramParalellik Fales teoremindən, «yarısı» AMNK paraleloqramından (MN = AK = KC) gəlir.
• Üç orta xətt: perimetr : 2Onlar üçbucağı dörd konqruyent üçbucağa bölür; orta nöqtələr üçbucağının perimetri yarıdır.

Növbəti mövzu: 3.23 Trapesiya — yalnız bir cüt qarşı tərəfi paralel olan dördbucaqlı.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», səh. 85: «Üçbucağın orta xətti» — tərif, teorem və onun isbatı (Fales teoremi və AMNK paraleloqramı), Araşdırma, öyrənmə tapşırıqları 7–11 (ideyaları burada başqa ədədlərlə işlənib). Fales teoremi və paraleloqramın xassələri əvvəlki mövzulardandır. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilib; lövhələr miqyasla çəkilib və etiketlər ölçülərlə uyğundur.