Mətn
Hansı müstəvi yuxarıdakı tənliklə verilmiş müstəviyə perpendikulyardır?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Perpendikulyar müstəvilər — perpendikulyar normallar
Qayda
İki müstəvi perpendikulyardırsa, onların normalları da perpendikulyardır və tərsinə:
π₁ ⊥ π₂ ⇔ n₁ ⊥ n₂ ⇔ n₁ · n₂ = 0
Normalı tənliyin x, y, z əmsallarından oxuyuruq: ax + by + cz + d = 0 üçün n(a; b; c). Perpendikulyarlıq şərti: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 — üç hasilin hamısı toplanır, sərbəst hədlər iştirak etmir.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələVerilmiş müstəviyə perpendikulyar müstəvi
2x − y + 3z − 4 = 0 müstəvisinə perpendikulyar müstəvini variantlardan seçin.
- Normalı oxuyuruq. 2x − y + 3z − 4 = 0 ⇒ n(2; −1; 3). Sərbəst hədd −4 normala daxil deyil.
- Hər variantın normalı ilə skalyar hasili hesablayırıq (cədvəl aşağıdadır): a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂.
- Sıfır alınan yeganə hal: x + 5y + z − 1 = 0: 2·1 + (−1)·5 + 3·1 = 2 − 5 + 3 = 0. Deməli, bu müstəvi verilmiş müstəviyə perpendikulyardır.
Cavab: x + 5y + z − 1 = 0
Normallarla (2; −1; 3) skalyar hasil
| Müstəvi | Normal | Hasil |
|---|---|---|
| 4x − 2y + 6z + 1 = 0 | (4; −2; 6) | 28 |
| x + 5y + z − 1 = 0 | (1; 5; 1) | 0 |
| 3x + 6y − z = 0 | (3; 6; −1) | −3 |
| x + y − z + 3 = 0 | (1; 1; −1) | −2 |
| x + 2z + 2 = 0 | (1; 0; 2) | 8 |
Perpendikulyar müstəvilər və onların normalları
Perpendikulyar müstəvilər: π₁ ⊥ π₂ olduqda onların normalları da perpendikulyardır, n₁ · n₂ = 0.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
2·1 + (−1)·5 + 3·1 = 0 ✓. Normallar (1; 5; 1) və (2; −1; 3) kollinear deyil, deməli müstəvilər kəsişir və kəsişmə bucağı 90°-dir.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
4x − 2y + 6z + 1 = 0
Normallar mütənasibdir — bu, paralellik əlamətidir, perpendikulyarlıq yox.
Düzgün
n₁ · n₂ = 0
Perpendikulyar müstəvilərin normallarının skalyar hasili sıfırdır.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 4x − 2y + 6z + 1 = 0 — Bu müstəvinin normalı (4; −2; 6) = 2·(2; −1; 3), verilmiş normalla kollineardır: müstəvilər paraleldir, perpendikulyar deyil. Skalyar hasil 8 + 2 + 18 = 28 ≠ 0.
- 3x + 6y − z = 0 — Yalnız x və y hasilləri toplanıb: 2·3 + (−1)·6 = 0. z hasili də daxil olmalıdır: 6 − 6 + 3·(−1) = −3 ≠ 0.
- x + y − z + 3 = 0 — −y‑nin əmsalı +1 kimi götürülüb: 2 + 1 − 3 = 0. Düzgün hesab: 2·1 + (−1)·1 + 3·(−1) = −2 ≠ 0.
- x + 2z + 2 = 0 — Sərbəst hədlər də skalyar hasilə qatılıb: 2·1 + 3·2 + (−4)·2 = 0. Normal yalnız x, y, z əmsallarından ibarətdir: (2; −1; 3)·(1; 0; 2) = 8 ≠ 0.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.
